八年级上册数学《因式分解》超全知识点总结+练习题
- 2026-11-05 13:47:45
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本文内容大纲
• 一、什么是因式分解（定义 + 与整式乘法的互逆关系）
• 二、提公因式法（含例题1~3）
• 三、公式法（一）：平方差公式
• 四、公式法（二）：完全平方公式
• 五、综合运用：先提公因式，再用公式
• 六、阅读与思考：x²+(p+q)x+pq 型与十字相乘法
• 七、易错点提醒（避坑指南）
• 八、同步练习题（题目 + 答案，无分值）
一、什么是因式分解
【知识点】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解（也叫分解因式）。 |
关键点：①结果必须是"几个整式相乘"；②因式分解与整式乘法是
方向相反的恒等变形。整式乘法是"和差化积"的逆过程，因式分解是"积化和差"。
【例题】判断下列变形，哪些是因式分解？(1) 6ax − 3ax² = 3ax(2 − x) ✔ 是（化成整式乘积）(2) a² − b² + 1 = (a+b)(a−b) + 1 ✘ 不是（结果仍是和，不是积）(3) (a−b)² = a² − 2ab + b² ✘ 不是（这是整式乘法，方向反了） |
【建议】判断时记住"三看"：一看结果是不是乘积形式；二看每个因式是不是整式；三看与原式是否相等。把整式乘法和因式分解看成"拆—拼"的互逆，就不会搞反方向。 |
二、17.1 提公因式法
【知识点】多项式各项都含有的公共因式叫公因式。把公因式提取出来，写成"公因式 × 另一因式"的形式，就是提公因式法。 |
怎么找公因式？分三步：
① 系数：取各项系数的最大公因数；
② 字母：取各项都含有的字母；
③ 指数：取相同字母的最低次幂。
【例题】例1 分解因式：(1) mx² + my² = m(x² + y²)(2) 3x² − 4xy² + x = x(3x − 4y² + 1) ← 注意：第三项 x 提走 x 后还剩 1，不能漏写！ |
【例题】例2 分解因式：8a³b² + 12ab³c分析：系数 8 和 12 的最大公因数是 4；字母取 a、b；a 的最低次是 a¹，b 的最低次是 b² → 公因式 = 4ab²。解：原式 = 4ab²·2a² + 4ab²·3bc = 4ab²(2a² + 3bc) |
【例题】例3 分解因式：(1) 2a(b+c) − 3(b+c) = (b+c)(2a − 3) （把 b+c 整体当作公因式）(2) 4(a−b)³ + 8(b−a)²解：因为 (b−a)² = (a−b)²，所以原式 = 4(a−b)²·(a−b) + 4(a−b)²·2 = 4(a−b)²(a−b+2) |
【建议】① 提公因式后括号里每一项都不能再含公因式；② 某一项全部被提走时，括号里要补 1；③ 遇到 (a−b) 与 (b−a) 要统一符号（奇次变号、偶次不变）。 |
三、17.2 公式法（一）：平方差公式
【知识点】两个数的平方差，等于这两个数的和与差的积：a² − b² = (a + b)(a − b)适用条件：多项式必须是"两项的平方差"，且符号一正一负。 |
【例题】例1 分解因式：(1) 4x² − 9 = (2x)² − 3² = (2x+3)(2x−3)(2) a² − 25b² = a² − (5b)² = (a+5b)(a−5b) |
【例题】例2 分解因式：(1) x² − y⁴ = x² − (y²)² = (x+y²)(x−y²)(2) (x+p)² − (x+q)² = [(x+p)+(x+q)][(x+p)−(x+q)] = (2x+p+q)(p−q)（把 x+p、x+q 分别看作整体 a、b） |
【建议】用公式前先"配方"：把每一项都写成某个式子的平方，再看是否符合□² − □²的结构。底数可以是一个多项式，别被括号吓到。 |
四、17.2 公式法（二）：完全平方公式
【知识点】两个数的平方和，加上（或减去）这两个数积的 2 倍，等于这两个数之和（或差）的平方：a² + 2ab + b² = (a + b)² a² − 2ab + b² = (a − b)²识别口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 |
【例题】例3 分解因式：(1) x² + 4x + 4 = x² + 2·x·2 + 2² = (x+2)²(2) 16x² − 24x + 9 = (4x)² − 2·4x·3 + 3² = (4x−3)² |
【例题】例4 分解因式：(1) (a+b)² − 12(a+b) + 36 = (a+b)² − 2·(a+b)·6 + 6² = (a+b−6)²(2) −x² + 4xy − 4y² = −(x² − 4xy + 4y²) = −(x−2y)² |
【建议】① 首项系数为负或有"−"开头时，先提负号再配方；② 把 (a+b) 这类整体当成"一个数"看；③ 中间项系数必须是首尾平方根乘积的 2 倍，否则不是完全平方式。 |
五、综合运用：先提公因式，再用公式
【知识点】遇到复杂多项式，一般按"先提公因式，再用公式，分解要彻底"的顺序进行。每个因式都要分到不能再分为止。 |
【例题】例5 分解因式：(1) x⁴ − y⁴ = (x²+y²)(x²−y²) = (x²+y²)(x+y)(x−y) （连续用平方差）(2) a³b − ab = ab(a²−1) = ab(a+1)(a−1) （先提 ab，再用平方差） |
【例题】例6 分解因式：(1) 3ax² + 6axy + 3ay² = 3a(x²+2xy+y²) = 3a(x+y)²(2) −ax² + 2a²x − a³ = −a(x²−2ax+a²) = −a(x−a)² |
【建议】"彻底"是易错点：分解完要回头检查每个括号里的因式还能不能再分。例如 x⁴−y⁴ 第一次分解出 (x²−y²) 后还要继续分解为 (x+y)(x−y)。 |
六、阅读与思考：x²+(p+q)x+pq 型与十字相乘法
【知识点】对于二次项系数为 1 的二次三项式：x² + (p+q)x + pq = (x + p)(x + q)方法（十字相乘法）：把常数项拆成 p·q，使 p+q 等于一次项系数，即可直接写出分解结果。 |
【例题】例 分解 x² + 3x + 2：常数项 2 = 1×2，一次项系数 3 = 1+2 → x² + 3x + 2 = (x+1)(x+2)。练习：x²+7x+10 = (x+2)(x+5)；x²−2x−8 = (x+2)(x−4)；x²+7x−18 = (x+9)(x−2)。 |
【建议】十字相乘是"秒杀"二次三项式的利器，但要先确认二次项系数为 1。它和完全平方式有联系：当 p=q 时，(x+p)(x+q) 就变成 (x+p)²。 |
七、易错点提醒（避坑指南）
⚠ 漏写"1"：提公因式后某项被提空，括号里要补 1，如 x²y − xy = xy(x − 1) 不是 xy(x)。
⚠ 符号出错：(b−a)² = (a−b)²，但 (b−a)³ = −(a−b)³，奇次变号、偶次不变。
⚠ 分解不彻底：x⁴−y⁴ 要分到 (x²+y²)(x+y)(x−y)，不能停在 (x²+y²)(x²−y²)。
⚠ 公式套错：平方差是"两项一正一负"，完全平方是"三项且首尾为平方、中间为 2 倍积"，别混。
⚠ 没先提公因式：见到 3ax²+6axy+3ay² 先提 3a，再配方，顺序乱了容易错。
八、同步练习题（题目 + 答案，无分值）
以下题目覆盖本章全部方法，建议先独立完成，再看答案核对。答案紧跟每题之后。
1. 判断：下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？ (1) x(x−2)=x²−2x (2) a²−1=(a+1)(a−1) (3) x²+2x+1=x(x+2)+1
答：(1) 不是（这是整式乘法）；(2) 是；(3) 不是（结果不是乘积形式）。
2. 分解因式：8m²n + 2mn
答：2mn(4m + 1)。
3. 分解因式：2a(y−z)³ − 4b(z−y)³
答：因为 (z−y)³ = −(y−z)³，原式 = 2a(y−z)³ + 4b(y−z)³ = 2(y−z)³(a + 2b)。
4. 分解因式：4x² − 9y²
答：(2x + 3y)(2x − 3y)。
5. 分解因式：(x+p)² − (x+q)²
答：(2x + p + q)(p − q)。
6. 分解因式：x² − 12x + 36
答：(x − 6)²。
7. 分解因式：−x² + 4xy − 4y²
答：−(x − 2y)²。
8. 分解因式：x⁴ − y⁴
答：(x² + y²)(x + y)(x − y)。
9. 分解因式：3ax² + 6axy + 3ay²
答：3a(x + y)²。
10. 先分解因式，再求值：4a²(x+7) − 3(x+7)，其中 a=−5，x=3
答：原式 = (x+7)(4a²−3)；代入得 (3+7)×(4×25−3)=10×97=970。
11. 分解因式（十字相乘）：x² + 5x + 6
答：6=2×3，5=2+3，故 (x+2)(x+3)。
12. 分解因式（十字相乘）：x² − 3x − 10
答：−10=2×(−5)，−3=2+(−5)，故 (x+2)(x−5)。
13. 利用因式分解简便计算：999² + 999
答：999(999+1)=999×1000=999000。
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