四川大学概率统计期中真题解析1
- 2026-11-05 19:58:19
四川大学《概率统计（理工）》历年期中真题系列第一期：完整试题、参考答案、详细解析、易错点与考前知识总结。
期中考试临近，概率统计应该如何复习？
相比反复背诵公式，更有效的方法是通过历年真题掌握常见题型、理解公式背后的概率思想，并总结容易丢分的地方。
从本期开始，我们将连续三期整理四川大学《概率统计（理工）》历年期中考试试题，补充详细解析、知识点归纳与解题技巧。
本期为 2025—2026 学年第一学期期中考试 A 卷。
全文分为三个部分：
完整试题：建议先独立完成。 逐题解析：包括计算过程与易错点。 考前总结：归纳核心公式和常见题型。
第一部分：2025—2026 学年期中试题
四川大学 · 概率统计（理工）期中考试
2025—2026 学年第一学期 · A 卷
考试形式：闭卷
总分：100 分
一、填空题（共 18 分）
1.投掷两枚均匀骰子，设事件
，
，
则
2.有一根长度为 3 米的线，拉直后在任意位置剪断，剪得的两段长度都不小于 1 米的概率为
3.设随机变量 的密度函数为
则
4.掷一枚“偏”六面骰，其概率分布为
则
5.若随机变量的分布函数 在点 处存在跳跃，则该跳跃的大小等于
6.设三个电子元件的寿命 相互独立，且均服从率参数为 2 的指数分布（时间单位为年）。
将这三个元件并联，其平均寿命为
二、解答题（共 82 分）
第 1 题（10 分）
盒中有三枚硬币：
硬币 A：抛出正面的概率为 ； 硬币 B：抛出正面的概率为 ； 硬币 C：抛出正面的概率为 。
随机取一枚硬币，连续抛掷 3 次，结果均为正面。
求该硬币是 B 的后验概率。
第 2 题（15 分）
已知随机变量 的密度函数为
$$f_X(x)=kx(2-x),\quad 0<x<2 $$="" $$f_x(x)="\frac{k}{x^2},\quad" x\geq2="" 其他位置密度为零。求：
（1）常数 ；
（2）的分布函数 ；
（3）随机变量 的密度函数 。
第 3 题（16 分）
设二维随机变量 在区域 上均匀分布，区域 由曲线
和
围成。
求：
（1）联合密度函数 ；
（2）边缘密度 和 ；
（3）概率 ；
（4）条件密度 ，并计算
第 4 题（10 分）
设随机变量 相互独立，且均服从
求随机变量
的分布函数 。
第 5 题（16 分）
设二维随机变量 的联合密度函数为 。
（1）证明随机变量
的密度函数为
（2）若已知
其他位置密度为零。
利用上述公式计算 的密度函数。
第 6 题（15 分）
某商品的供应量 与需求量 相互独立，且
设实际销售量为
单位售价为 ；若供大于求，每单位剩余库存成本为 ；若供不应求，每单位缺货损失成本为 。
求：
（1）平均销售量 ；
（2）写出利润函数 ，并计算 。
第二部分：参考答案与详细解析
一、填空题解析
第 1 题：古典概型与条件概率
答案：
解析：
根据条件概率公式，
投掷两枚骰子共有
种等可能结果。
首先考虑事件 ：至少有一枚骰子出现 6。
第一枚出现 6 有 6 种结果，第二枚出现 6 也有 6 种结果，但 被重复计算一次。
因此
接下来考虑 ：至少有一枚出现 6，并且点数和为偶数。
由于 6 是偶数，另一枚骰子也必须出现偶数。
满足条件的结果为
共 5 种。
因此
所以
得到
易错点：
计算“至少有一个”时，不能直接将两个事件的概率相加，否则会重复计算交集。
记住：
第 2 题：几何概型
答案：
解析：
设剪断位置到线段左端点的距离为 。
由于剪断位置均匀随机，
剪断后的两段长度分别为
题目要求两段长度都不小于 1 米，即
且
联立得到
因此
所以
易错点：
几何概型的基本公式为
前提是随机点在相应区域内均匀分布。
第 3 题：概率密度归一化与正态分布
答案：
解析：
概率密度函数必须满足
因此
利用高斯积分公式
其中 。
取
得到
所以
最终得到
另一种思路：识别正态分布。
正态分布的密度为
比较指数部分：
所以
因此
易错点：
正态分布中的 是标准差，而 才是方差。
第 4 题：离散型随机变量的归一化
答案：
解析：
离散型随机变量的所有概率之和必须等于 1。
因此
代入
得到
由于
所以
易错点：
题目中的“偏骰子”不是均匀分布，不能认为每个点数的概率都是 。
第 5 题：分布函数的跳跃
答案：
解析：
根据分布函数的定义，
而左极限满足
因此
所以
易错点：
分布函数总是右连续，但不一定左连续。
如果在某点存在跳跃，跳跃高度就是随机变量在该点的概率质量。
第 6 题：指数分布与并联系统寿命
答案：
解析：
三个元件的寿命相互独立，且
对于并联系统，只要至少一个元件仍然工作，整个系统就能够继续运行。
因此，并联系统的寿命为
注意，指数分布的分布函数为
所以
由独立性，
因此
展开得到
对于非负随机变量，有尾积分公式
因此
分别积分：
通分得到
最终
知识拓展：串联与并联的区别。
串联系统：所有元件都正常工作，系统才能正常工作。
因此
并联系统：只要至少一个元件正常工作，系统就能正常工作。
因此
对于 个独立同分布的 元件，
串联系统寿命满足
所以平均寿命为
并联系统的平均寿命为
这是可靠性理论中的经典结论。
二、解答题解析
第 1 题：贝叶斯公式（10 分）
答案：
解析：
设事件 分别表示选中三枚硬币中的某一枚。
设 表示一次抛掷出现正面，表示连续三次均出现正面。
由于随机取一枚硬币，
根据题意，
连续三次抛掷同一枚硬币，在给定硬币的条件下，各次抛掷相互独立。
因此
根据贝叶斯公式，
其中
所以
约去共同因子 ：
分母为
因此
最终得到
易错点一：混淆先验概率和后验概率。
先验概率是
后验概率是观察到三次正面之后的
两者一般不同。
易错点二：重复试验次数写错。
本题是连续抛掷三次，因此似然为三次方，而不是平方。
如果题目改为连续抛掷两次，结果才是
易错点三：没有考虑所有可能的硬币。
贝叶斯公式分母必须使用全概率公式，包含 A、B、C 三种情况。
考点总结：
遇到“已知观察结果，反推原因”的问题，优先考虑贝叶斯公式。
第 2 题：分段密度、分布函数与绝对值变换（15 分）
第一问：求 k
由概率密度的归一化条件，
得到
计算第一项：
第二项：
所以
即
因此
第二问：求分布函数
根据
需要分段讨论。
当 时，
当 $0<x<2$ 时，<="" p="">
得到
当 时，可以使用补事件：
因此
得到
综上，
第三问：求 的密度
这是本题最值得掌握的一问。
由于
因此对于 ，方程
有两个可能的解：
以及
根据随机变量函数变换的密度公式，
但必须注意原随机变量 的取值范围。
情况一：当
此时
所以
同时
因此
所以
代入 ：
其中 。
情况二：当
此时
不属于 的正密度区间。
因此只有
这一支贡献密度。
所以
其中 。
情况三：当
由于 ，且 没有零点概率质量，
最终答案：
易错点一：绝对值变换只考虑一个分支。
对于
通常需要同时考虑
与
易错点二：忘记根据原变量的定义域分段。
本题中，当 时，左侧分支不再有效。
易错点三：没有检查 Jacobian。
本题两个分支的导数绝对值均为 1，因此无需额外乘其他系数。
第 3 题：二维均匀分布与条件密度（16 分）
第一问：求联合密度
区域 由
和
围成。
先求两条曲线的交点：
所以
因此区域可表示为
区域面积为
得到
由于 在 上均匀分布，
其他位置为零。
第二问：求边缘密度
首先求 。
根据边缘密度公式，
对于固定的 ，
所以
得到
其他位置为零。
接下来求 。
由于区域关于直线 对称，需要分段讨论。
当 时，
所以
得到
当 时，
因此
得到
综上，
第三问：求
要求
需要确定区域 中满足 的部分。
由于
若 ，则必有 。
因此积分区域为
所以
先对 积分：
得到
第四问：求条件密度
根据公式，
当 时，
因此
其中
当 时，
因此
其中
在上述各条件支持区间之外，条件密度为零。
接下来计算
当 时，
因此
最终得到
易错点一：二维区域没有画图。
对于由曲线围成的二维区域，建议先确定交点，再分别考虑水平截线和竖直截线。
易错点二：边缘密度的积分方向错误。
求 时，对 积分。
求 时，对 积分。
易错点三：条件密度忘记除以边缘密度。
条件密度的核心公式是
其中要求 。
第 4 题：随机变量比值的分布（10 分）
设
令
求分布函数 。
解析：
对于随机变量的比值，通常优先考虑分布函数法。
根据定义，
即
因为 ，所以
又因为 相互独立，且均服从 ，因此联合密度为
情况一：当
由于 ，
情况二：当
此时对于所有 ，
因此
先对 积分：
得到
情况三：当
此时直线
与正方形上边界 相交于
因此积分需要分成两部分：
第一部分：
第二部分：
所以
得到
最终答案：
易错点一：没有根据 z 的范围分段。
当 从小于 2 变为大于 2 时，直线与单位正方形的交点位置发生变化，因此积分区域也随之改变。
易错点二：忽略 X 的正负号。
本题由于 ，不等式两边乘以 时方向不变。
如果分母随机变量可能取负值，就必须更加谨慎。
易错点三：混淆密度函数和分布函数。
本题要求的是 ，不需要再求导。
第 5 题：随机变量之差与卷积公式（16 分）
第一问：证明密度公式
设
根据分布函数定义，
即
利用联合密度，
对 求导，在适当的可积条件下，
得到
证毕。
第二问：计算具体密度
已知
其他位置为零。
令
根据第一问，
代入后得到
积分区域必须同时满足
$$0<x<1 $$="" 以及即
因此需要分段讨论。
情况一：当
此时
不存在满足条件的 。
所以
情况二：当
此时积分区间为
因此
计算得到
因此
情况三：当
此时对于所有 ，均有 。
因此
得到
综上，
知识拓展：和与差的卷积公式
如果 相互独立，则对于
有
对于
有
注意：
这两个公式的区别在于 与 。
易错点一：直接套公式但没有确定积分范围。
即使写对了卷积公式，如果积分上下限错误，仍然无法得到正确答案。
易错点二：没有先判断 Z 的取值范围。
本题中
因此
易错点三：把联合密度公式与独立情形的卷积公式混淆。
第一问的公式不要求 独立。
只有在独立时，才能进一步写成两个边缘密度的乘积。
第 6 题：随机供应、需求与期望利润（15 分）
已知
且 相互独立。
实际销售量为
第一问：求平均销售量
对于非负随机变量 ，有
由于
因此
由独立性，
当 $0<t<2$ 时，<="" p="">
而当 时，
所以
即
积分得到
所以
最终得到
第二问：建立利润函数
实际销售收入为
剩余库存为
缺货量为
因此利润函数为
接下来计算期望。
根据期望的线性性质，
这里有一个非常重要的简化技巧。
因为
所以
又因为
因此
所以
得到
同理，
因此
由于
所以
因此
得到
代回利润期望：
最终得到
易错点一：实际销售量不是供应量，也不是需求量。
实际销售量必须满足供给与需求的双重限制，因此
易错点二：剩余库存与缺货量的方向写反。
剩余库存为
缺货量为
易错点三：把两个正部函数直接合并。
虽然
但如果库存成本与缺货成本不同，就不能直接合并成本项。
易错点四：忽略期望的线性性质。
本题最简洁的思路不是计算三个二重积分，而是先求
再利用恒等式求剩余库存与缺货量的期望。
第三部分：考前核心知识总结
一、本套试卷的六大核心考点
1. 条件概率、全概率与贝叶斯公式
条件概率：
全概率公式：
贝叶斯公式：
考试技巧：
如果题目要求“观察到某种结果后，判断原因属于哪一种情况”，通常应考虑贝叶斯公式。
2. 概率密度与分布函数
密度函数的归一化：
分布函数：
在可导点，
考试技巧：
遇到分段密度时，先求归一化常数，再逐段积分。
对于后续区间，不能遗漏前面已经累计的概率。
3. 二维随机变量的边缘密度与条件密度
边缘密度：
条件密度：
其中 。
考试技巧：
二维连续型随机变量问题中，先确定积分区域，再写积分表达式。
如果区域由曲线围成，建议画出区域并确定交点。
4. 随机变量函数的分布
对于
如果 单调且可逆，则可以使用密度变换公式：
如果 不是单调函数，需要考虑所有有效的反函数分支。
例如
对于 ，通常需要考虑
和
两个分支。
考试技巧：
对于绝对值、平方等非单调变换，特别注意反函数可能不止一个。
5. 随机变量之和与之差
若 相互独立，
对于
有
对于
有
考试技巧：
卷积公式最容易出错的不是积分本身，而是变量代换与积分区间。
6. 期望与非负随机变量的尾积分
对于非负随机变量 ，
对于两个非负随机变量 ，
若 相互独立，则
另外，
考试技巧：
遇到最大值、最小值、正部函数时，优先考虑尾积分公式或代数恒等式。
二、考前最容易丢分的五个问题
第一：条件概率的方向写反。
一般情况下二者不相等。
第二：没有正确划分积分区域。
尤其是二维均匀分布、随机变量比值和卷积问题。
第三：分段密度漏写定义域。
一个概率密度函数不仅需要表达式正确，还必须明确在哪些区间非零。
第四：随机变量变换漏掉分支。
例如绝对值变换与平方变换，通常需要考虑多个反函数。
第五：只会积分，不会利用概率恒等式。
第六题就是典型例子。
如果能够灵活使用
就能显著简化计算。
三、参考答案速查
填空题
解答题
第 1 题：
第 2 题：
分布函数和 的密度均见前文分段表达式。
第 3 题：
第 4 题：
第 5 题：
第 6 题：
四、最后总结
通过这套 2025—2026 学年期中考试，可以发现，概率统计的核心并不是复杂的积分技巧，而是如何将概率问题准确转化为数学表达式。
尤其需要掌握三个基本步骤：
第一步：明确随机变量及其取值范围。
第二步：根据概率定义建立正确的表达式。
第三步：选择合适的公式、积分方法或变量变换进行计算。
对于二维连续型随机变量问题，建议始终坚持：
先画区域，再列积分，最后计算。
对于贝叶斯公式、卷积公式和随机变量函数的分布，则需要重点理解公式的适用条件，而不是机械记忆。
希望这套真题解析能够帮助大家在期中复习中查漏补缺，形成更加完整的概率统计知识体系。
本期核心知识点：
古典概型｜条件概率｜全概率公式｜贝叶斯公式｜几何概型｜指数分布｜概率密度｜分布函数｜二维均匀分布｜边缘密度｜条件密度｜随机变量函数的分布｜卷积公式｜数学期望｜随机收益模型
下一期：四川大学《概率统计（理工）》2024—2025 学年期中真题解析。
