高一数学:函数期中必考专项练习
- 2026-11-07 15:19:30
函数期中必考专项练习
单调性 · 奇偶性 · 对称性 · 周期性 综合应用 ｜ 小贺老师 · 高中数学
一、四性基础概念速记
单调性：增函数随 x 增大而增大，减函数随 x 增大而减小。关键：只有在同一单调区间内才能“脱 f”比大小。
奇偶性：偶函数 ⇔ 关于 y 轴对称（f(-x)=f(x)）；奇函数 ⇔ 关于原点对称（f(-x)=-f(x)）。
对称性：轴对称 f(a+x)=f(a-x) ⇔ 关于直线 x=a 对称；中心对称 f(a+x)+f(a-x)=0 ⇔ 关于点 (a,0) 对称。
周期性：若存在非零常数 T，使 f(x+T)=f(x) 对定义域内任意 x 恒成立，则 T 是 f(x) 的一个周期。作用：把大自变量化到已知区间。
二、知二推二（周期推导核心结论）
①两条对称轴x=a 和 x=b（a≠b）⇒ 一个周期 T=2|b-a|
②两个对称中心(a,0) 和 (b,0)（a≠b）⇒ 一个周期 T=2|b-a|
③一条对称轴 x=a + 一个对称中心 (b,0)（a≠b）⇒ 一个周期 T=4|b-a|
④奇函数 + 对称轴x=a（a≠0）⇒ 一个周期 T=4|a|
⑤偶函数 + 对称中心(a,0)（a≠0）⇒ 一个周期 T=4|a|
口诀：两轴两点周期两倍，一轴一点周期四倍。
三、做题三步法（万能套路）
第一步：判性质——看到函数等式，先判断是对称还是周期
→ 括号内 x同号（如 f(x+2)=f(x)）：多半是周期
→ 括号内 x相加为定值（如 f(2+x)=f(2-x)）：多半是对称
第二步：化同区间——利用对称性/周期性把自变量转化到同一单调区间
→ 偶函数：f(x)=f(-x)；若图像另关于直线 x=a 对称，则 f(x)=f(2a-x)
→ 奇函数：f(x)=-f(-x)
→ 周期：f(x)=f(x+nT)
第三步：脱 f 比大小——在同一单调区间内，用单调性脱去 f
→ 增函数：f(a)>f(b) ⇔ a>b
→ 减函数：f(a)>f(b) ⇔ a<b
⚠️ 易错点提醒
1.脱 f 必须在同一单调区间！跨区间不能直接脱 f。
2. 奇函数定义域含 0 时，f(0)=0，这是隐含条件。
3. 偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反。
4. 解不等式前先看定义域，别漏了定义域限制。
5. 抽象函数记不住公式时，可代入具体函数（如 f(x)=sin x）帮助理解、猜想或排除选项，但不能代替一般性证明。
题型1单调性与奇偶性相结合
解题套路
① 偶函数：在关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数：在关于原点对称的两个区间上单调性相同。
② 解 f(x)>0 或 f(x)<0 的不等式，先利用奇偶性转化到同一单调区间，再用单调性脱去 f。
例1已知 f(x) 是定义在 ℝ 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上单调递减，f(2)=0，则不等式 f(x)>0 的解集为（ ）
A. (-2, 2)
B. (-∞,-2) ∪ (2,+∞)
C. (-2, 0)
D. (-∞,-2)
【详解】
因为 f(x) 是偶函数，在 [0,+∞) 上单调递减，f(2)=0，
所以 f(x) 在 (-∞,0] 上单调递增，且 f(-2)=f(2)=0。
当 x≥0 时，f(x)>0 ⇔ f(x)>f(2) ⇔ 0≤x<2；
当 x<0 时，f(x)>0 ⇔ f(x)>f(-2) ⇔ -2<x<0。
综上，解集为 (-2,2)。
答案：A
变式1已知定义在 ℝ 上的奇函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，且 f(1)=0，则不等式f(x)-f(-x)x< 0 的解集为（ ）
A. (-1,0) ∪ (1,+∞)
B. (-1,0) ∪ (0,1)
C. (-∞,-1) ∪ (1,+∞)
D. (-∞,-1) ∪ (0,1)
【详解】
因为 f(x) 是奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，原不等式等价于2f(x)x< 0，即 x·f(x)<0。
因为 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，f(1)=0，
所以当 0<x<1 时，f(x)<0；当 x>1 时，f(x)>0。
又因为奇函数，当 -1<x<0 时，f(x)>0；当 x<-1 时，f(x)<0。
所以 x·f(x)<0 的解集为 (-1,0) ∪ (0,1)。
答案：B
题型2奇偶性与周期性相结合
核心结论
① 奇函数 + 周期 T ⇒ 必过原点（若定义域含 0），f(0)=0。
② 若 f(x+m)=-f(x)（m≠0），则 f(x+2m)=f(x)，即 2m 是一个周期（无需奇偶性前提）。
③ 求函数值：利用周期性把大自变量化到已知区间，再用奇偶性转化。
例2已知定义在 ℝ 上的偶函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x)，且当 x∈[0,1] 时，f(x)=x，则 f(1.5)=（ ）
A. 0.5
B. -0.5
C. 1.5
D. -1.5
【详解】
因为 f(x) 满足 f(x+2)=f(x)，所以 2 是一个周期。
所以 f(1.5)=f(1.5-2)=f(-0.5)。
又因为 f(x) 是偶函数，所以 f(-0.5)=f(0.5)。
当 x∈[0,1] 时，f(x)=x，所以 f(0.5)=0.5。
答案：A
变式2已知奇函数 f(x) 满足 f(x+4)=f(x)，且当 x∈(0,2) 时，f(x)=2x2，则 f(7)=（ ）
A. 2
B. -2
C. 98
D. -98
【详解】
因为 f(x+4)=f(x)，所以 4 是一个周期。
所以 f(7)=f(7-8)=f(-1)。
又因为 f(x) 是奇函数，所以 f(-1)=-f(1)。
当 x∈(0,2) 时，f(x)=2x2，所以 f(1)=2。
所以 f(7)=-f(1)=-2。
答案：B
题型3奇偶性与对称性相结合
核心结论
① f(x) 是偶函数 ⇔ 图像关于直线 x=0（y 轴）对称。
② f(x) 是奇函数 ⇔ 图像关于点 (0,0) 对称。
③ 若 f(a+x)=f(a-x)，则图像关于直线 x=a 对称。
④ 若 f(a+x)+f(a-x)=0，则图像关于点 (a,0) 中心对称。
例3已知函数 f(x) 是定义在 ℝ 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上单调递增，则（ ）
A. f(3)<f(-2)<f(1)
B. f(1)<f(-2)<f(3)
C. f(-2)<f(1)<f(3)
D. f(3)<f(1)<f(-2)
【详解】
因为 f(x) 是偶函数，所以 f(-2)=f(2)。
又因为 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递增，且 1<2<3，
所以 f(1)<f(2)<f(3)，即 f(1)<f(-2)<f(3)。
答案：B
变式3设 f(x) 是 ℝ 上的偶函数，且 f(x+1)=-f(x)，下面关于 f(x) 对称性的说法正确的是（ ）
A. 图像关于直线 x=1 对称
B. 图像关于点 (1,0) 对称
C. 图像关于直线 x=12对称
D. 图像关于点 (0,1) 对称
【详解】
因为 f(x) 是偶函数，所以 f(-x)=f(x)。
在 f(t+1)=-f(t) 中令 t=-x，得 f(1-x)=-f(-x)=-f(x)。
又因为 f(1+x)=-f(x)，所以 f(1+x)=f(1-x)，图像关于直线 x=1 对称。
答案：A
题型4周期性与对称性相结合
核心结论（知二推二）
① 两条对称轴 x=a 和 x=b（a≠b）⇒ 一个周期 T=2|b-a|。
② 两个对称中心 (a,0) 和 (b,0)（a≠b）⇒ 一个周期 T=2|b-a|。
③ 一条对称轴 x=a + 一个对称中心 (b,0)（a≠b）⇒ 一个周期 T=4|b-a|。
例4已知定义在 ℝ 上的函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x-2)，且 f(2+x)=f(2-x)，则 f(x) 的一个周期为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【详解】
由 f(x+2)=f(x-2)，得 f(x+4)=f(x)，所以 4 是一个周期。
由 f(2+x)=f(2-x)，得图像关于直线 x=2 对称。
再验证：因为对称轴为 x=2，且 4 是一个周期，
所以 f(x)=f(4-x)=f(-x)，即 f(x) 是偶函数。
综上，4 是一个周期。
答案：B
变式4已知 f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，且满足 f(2+x)=f(2-x)，则 f(x) 的一个周期为（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【详解】
因为 f(x) 是奇函数，所以图像关于点 (0,0) 对称。
又因为 f(2+x)=f(2-x)，所以图像关于直线 x=2 对称。
一条对称轴 x=2 + 一个对称中心 (0,0)，
所以 4×|2-0|=8 是 f(x) 的一个周期。
答案：D
题型5单调性与对称性相结合
解题套路
① 利用对称性把自变量转化到同一单调区间。
② 再用单调性比较大小或解不等式。
③ 关键：“脱 f”前后必须在同一单调区间内。
例5已知函数 f(x) 关于直线 x=1 对称，且在 [1,+∞) 上单调递增，则满足 f(2x-1)<f(3) 的 x 的取值范围是（ ）
A. (0, 2)
B. (-1, 1)
C. (1, 2)
D. (2,+∞)
【详解】
因为 f(x) 关于直线 x=1 对称，所以 f(1+x)=f(1-x)。
所以 f(3)=f(1+2)=f(1-2)=f(-1)。
又因为 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，所以在 (-∞,1] 上单调递减。
f(2x-1)<f(3) 等价于 |2x-1-1|<|3-1|，即 |2x-2|<2。
解得 -2<2x-2<2，即 0<x<2。
答案：A
变式5已知偶函数 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，比较 f(-3)，f(1)，f(2) 的大小关系（ ）
A. f(-3)>f(2)>f(1)
B. f(1)>f(2)>f(-3)
C. f(-3)>f(1)>f(2)
D. f(2)>f(1)>f(-3)
【详解】
因为 f(x) 是偶函数，所以 f(-3)=f(3)。
又因为 f(x) 在 [0,+∞) 上单调递减，且 1<2<3，
所以 f(1)>f(2)>f(3)，即 f(1)>f(2)>f(-3)。
答案：B
题型6单调性 + 奇偶性 + 对称性
例6已知定义在 ℝ 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)=-f(x)，且当 x∈[0,1] 时，f(x)=x，则下列说法错误的是（ ）
A. f(1.5)=0.5
B. 图像关于直线 x=1 对称
C. 4 是 f(x) 的一个周期
D. f(x) 在 [1,2] 上单调递增
【详解】
A：f(1.5)=f(-0.5+2)=-f(-0.5)=f(0.5)=0.5，正确。
B：因为 f(x+2)=-f(x)，且 f(x) 是奇函数，
所以 f(2+x)=f(-x)，即图像关于直线 x=1 对称，正确。
C：由 f(x+2)=-f(x)，得 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以 4 是一个周期，正确。
D：当 x∈[0,1] 时，f(x)=x 单调递增，
由对称性知在 [1,2] 上单调递减，错误。
答案：D
题型7奇偶性 + 周期性 + 对称性
例7已知定义在 ℝ 上的偶函数 f(x) 满足 f(x+2)=f(x)，且当 x∈[0,1] 时，f(x)=2x-1，则 f(log210)=（ ）
A.35
B.53
C. -35
D. -53
【详解】
因为 f(x+2)=f(x)，所以 2 是一个周期。
log210 = log2(2×5) = 1 + log25，而 log25 ∈ (2,3)。
所以 f(log210) = f(log210 - 4) = f(log210 - log216) = f(log2(10/16)) = f(log2(5/8))。
因为 f(x) 是偶函数，所以 f(log2(5/8)) = f(-log2(5/8)) = f(log2(8/5))。
log2(8/5) ∈ (0,1)，所以 f(log2(8/5)) = 2log2(8/5)- 1 = 8/5 - 1 =35。
答案：A
题型8单调性 + 奇偶性 + 周期性 + 对称性（综合压轴）
例8已知定义在 ℝ 上的函数 f(x) 满足：① f(x+1) 为偶函数；② 当 x≥1 时，f(x)=x2-2x。则满足 f(2x)<f(x+1) 的 x 的取值范围是（ ）
A. (13, 1)
B. (-∞,1)
C. (-1,13)
D. (-1, 1)
【详解】
因为 f(x+1) 为偶函数，所以 f(x+1)=f(-x+1)，即图像关于直线 x=1 对称。
当 x≥1 时，f(x)=x2-2x=(x-1)2-1，在 [1,+∞) 上单调递增。
由对称性知，在 (-∞,1] 上单调递减。
所以 f(2x)<f(x+1) 等价于 |2x-1|<|(x+1)-1|，即 |2x-1|<|x|。
两边平方：4x2-4x+1<x2，即 3x2-4x+1<0，
因式分解：(3x-1)(x-1)<0，解得13<x<1。
答案：A
综合练习拓展与巩固
练习1已知 f(x) 是定义在 ℝ 上的奇函数，且在 [0,+∞) 上单调递增，若 f(a)+f(2a-3)<0，则 a 的取值范围是 ______。
【详解】
因为 f(x) 是奇函数，所以 f(2a-3)<-f(a)=f(-a)。
又因为 f(x) 在 ℝ 上单调递增（奇函数对称区间单调性相同），
所以 2a-3<-a，解得 3a<3，即 a<1。
答案：(-∞,1)
练习2定义在 ℝ 上的偶函数 f(x) 满足 f(x+4)=f(x)，且当 x∈[0,2] 时，f(x)=2x-x2，则 f(8)+f(-3)= ______。
【详解】
因为 4 是一个周期，所以 f(8)=f(0)=0。
又因为是偶函数，所以 f(-3)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=f(1)。
当 x∈[0,2] 时，f(x)=2x-x2，所以 f(1)=2-1=1。
所以 f(8)+f(-3)=0+1=1。
答案：1
练习3已知函数 f(x) 关于点 (2,0) 对称，且 f(x) 在 [2,+∞) 上单调递增，若 f(a)<0，则 a 的取值范围是 ______。
【详解】
因为 f(x) 关于点 (2,0) 对称，所以 f(2+x)=-f(2-x)。
所以 f(2)=0（对称中心的函数值为 0）。
因为 f(x) 在 [2,+∞) 上单调递增，所以当 x>2 时，f(x)>f(2)=0；
由对称性知，当 x<2 时，f(x)<0。
所以 f(a)<0 的解集为 (-∞,2)。
答案：(-∞,2)
