八年级数学上册|《分式》超全知识点总结+练习题
- 2026-11-09 19:34:57
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一、先看全局
整章按“认识分式 → 分式运算 → 分式方程”层层递进。先把这张框架图存下来，后面每个知识点都能对号入座：
图1 第18章《分式》知识框架图
二、18.1 分式及其基本性质
【知识点1】分式的概念
知识点：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 叫做分式。其中 A 叫分子，B 叫分母。分式是分数的“字母版”——分母从数字变成了含字母的式子。
图2 分式与分数的类比：关键是“分母含字母”
【例题】判断下列各式哪些是分式：① 1/x② x/2③ 2/(x+1)④ x²/3⑤ 3x/(x−1)。
解：判断是不是分式，只看分母是否含字母，与分子无关。 ① 1/x，分母含 x → 是分式； ② x/2，分母 2 是常数 → 不是分式（是整式）； ③ 2/(x+1)，分母含 x → 是分式； ④ x²/3，分母是常数 → 不是分式； ⑤ 3x/(x−1)，分母含 x → 是分式。 答：是分式的有 ①③⑤。
【建议】① 判断“是不是分式”唯一标准：分母含不含字母；② π、e 等是常数，不是字母，分母含 π 不算分式；③ 分子可以是数字，关键看分母。
【知识点2】分式有意义、无意义、值为0的条件
知识点：分式表示“除法”，所以：
分式有意义 | 分母B ≠ 0 |
分式无意义 | 分母B = 0 |
分式值为0 | 分子A = 0且分母B ≠ 0 |
图3 分式取值的三种状态判断
【例题】当 x 取什么值时，分式 (x²−1)/(x−1) ① 有意义；② 无意义；③ 值为 0？
解：分母为 x−1。 ① 有意义：x−1 ≠ 0 → x ≠ 1； ② 无意义：x−1 = 0 → x = 1； ③ 值为0：分子 x²−1 = 0 且分母 x−1 ≠ 0 → x = ±1 且 x ≠ 1 → x = −1。
【建议】“值为0”是高频易错点，必须两个条件同时成立：先让分子为0，再把求出的解代回分母，舍去使分母为0的值。
【知识点3】分式的基本性质
知识点：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变：
A/B = (A·C)/(B·C) ， A/B = (A÷C)/(B÷C) （C ≠ 0）
这就是约分和通分的“总依据”。
【例题】不改变分式的值，填空使等式成立：a/(a+b) = ()/(a²−b²)。
解：因为 a²−b² = (a+b)(a−b)，分母由 (a+b) 变成了 (a+b)(a−b)，相当于同乘了 (a−b)。根据基本性质，分子也要同乘 (a−b)： a·(a−b) = a²−ab。 答：应填 a²−ab。
【建议】用基本性质时，乘或除以的必须是同一个非零整式；它和分数的基本性质完全类比，记住“同乘同除、不能为0”即可。
【知识点4】约分
知识点：根据基本性质，把分子与分母的公因式约去，叫约分。约到分子分母没有公因式时，得到最简分式（或整式）。
图4 约分 vs 通分对比
【例题】约分：(x²−9)/(x²+6x+9)。
解：先因式分解，再约去公因式： 原式 = (x−3)(x+3) / (x+3)² = (x−3)/(x+3)。
【建议】约分先分解、后约分：分子分母先提公因式、用公式法分解，再看共同的因式约掉；结果必须是最简分式或整式。
【知识点5】通分
知识点：把几个异分母分式化成与原来相等的同分母分式，叫通分。通分的公分母取最简公分母：各分母所有因式的最高次幂之积；分母是多项式要先分解因式。
【例题】通分：1/(x+2) 与 1/(x−2)。
解：最简公分母 = (x+2)(x−2) = x²−4。 1/(x+2) = (x−2)/(x²−4)； 1/(x−2) = (x+2)/(x²−4)。
【建议】通分的难点是“找最简公分母”：① 分母是多项式先分解；② 相同因式取最高次幂；③ 不同因式都保留相乘。
三、18.2 分式的乘除法与乘方
【知识点6】分式的乘除与乘方
知识点：
乘法 | a/b × c/d = ac/bd |
除法 | a/b ÷ c/d = a/b × d/c （颠倒除式，化除为乘） |
乘方 | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ （ n为正整数） |
运算顺序：先分解因式 → 先约分再计算 → 乘除混合统一为乘法。
图5 分式乘除与乘方法则
【例题】计算：(x²−1)/(x²+2x+1) ÷ (x−1)/(x+1)。
解：化除为乘，再因式分解约分： 原式 = (x−1)(x+1)/(x+1)² × (x+1)/(x−1) = (x−1)(x+1)(x+1) / [(x+1)²(x−1)] = 1。
【建议】乘除混合题牢记三步：① 除法变乘法（倒数）；② 分子分母分别因式分解；③ 整体约分后再算，别急着展开。
四、18.3 分式的加减法
【知识点7】分式的加减法
知识点：
同分母 | a/c ± b/c = (a±b)/c （分母不变，分子相加减） |
异分母 | 先通分→化为同分母→再加减 |
混合运算顺序：先乘方 → 再乘除 → 后加减；有括号先算括号内；结果化为最简分式。
图6 分式加减法法则与混合运算顺序
【例题】计算：1/(x+1) + 1/(x−1) − 2x/(x²−1)。
解：最简公分母 = (x+1)(x−1) = x²−1。 原式 = (x−1)/(x²−1) + (x+1)/(x²−1) − 2x/(x²−1) = (x−1+x+1−2x)/(x²−1) = 0/(x²−1) = 0。
【建议】异分母加减必须先通分，不能直接分子加分子；最后一步别忘把结果约成最简分式。
五、18.4 整数指数幂与科学记数法
【知识点8】整数指数幂与科学记数法
知识点：
负整数指数幂 | a⁻ⁿ = 1/aⁿ （ a ≠ 0 ， n为正整数） |
科学记数法 | 绝对值小于 1 的数写成a×10ⁿ ， 1 ≤ |a| < 10 ， n为负整数 |
记忆口诀：负指数“底数倒过来，指数变正”；科学记数法里，小数点向右移几位，n 就是负几。
图7 整数指数幂与科学记数法
【例题】① 计算 (2⁻²)⁻¹ + (1/3)⁻²；② 把 0.000 050 7 用科学计数法表示。
解：① (2⁻²)⁻¹ = 2² = 4；(1/3)⁻² = 3² = 9；和为13。 ② 0.000 050 7 = 5.07×10⁻⁵（小数点向右移5位）。
【建议】算负指数别慌，先“取倒数、指数变正”再算；科学记数法写完后检查：a 是否在 [1,10) 之间、n 的符号与位数是否对应。
六、18.5 分式方程
【知识点9】分式方程及其解法
知识点：分母中含未知数的方程叫分式方程。解法三步：
图8 解分式方程步骤（检验是必做！）
① 去分母 | 两边同乘各分式的最简公分母，化为整式方程 |
② 解整式方程 | 用已学方法求解 |
③ 检验 | 把根代入最简公分母： ≠0是原方程的根； =0是增根，舍去 |
【例题】解方程：2/(x−3) = 3/x。
解：两边同乘最简公分母 x(x−3)： 2x = 3(x−3) → 2x = 3x − 9 → x = 9。 检验：当 x = 9 时，x(x−3) = 9×6 = 54 ≠ 0，∴ x = 9 是原方程的根。
【建议】“检验”是分式方程必不可少的一步！去分母可能扩大未知数范围产生增根，不检验就会多解或错解。
【知识点10】分式方程的应用
知识点：列方程解应用题六步：审 → 设 → 列（分式方程） → 解 → 检验（既验根又验题意） → 答。常见类型：行程问题、工程问题、利润/经济问题。
【例题】A、B 两地相距 480 km。一辆汽车比原计划每小时多行 20 km，结果提前 2 小时到达。求原计划的速度。
解：设原计划速度为 x km/h，则实际速度为 (x+20) km/h。 由题意：480/x − 480/(x+20) = 2。 两边同乘 x(x+20)：480(x+20) − 480x = 2x(x+20) 9600 = 2x² + 40x → x² + 20x − 4800 = 0 (x+80)(x−60) = 0 → x = −80（舍去）或x = 60。 检验：x = 60 时分母均不为0，且符合实际。∴ 原计划速度为60 km/h。
【建议】应用题检验要“双保险”：既看是不是增根，又看是否符合实际意义（速度、时间、人数等应为正且合理）。
七、配套自测练习题（题目 + 答案）
下面这套题覆盖全章，题目与答案合并在一起，做完一题立刻对答案，方便自查。建议先盖住答案自测，再核对。
题1．下列式子中，是分式的是（ ） A. x/3B. 3/xC. x+1D. √x /2 答案：B（只有 B 的分母含字母）。
题2．若分式 (x−2)/(x+3) 的值为 0，则 x = ____。 答案：x = 2（分子为0且分母不为0）。
题3．分式 (x²−4)/(x−2)：有意义的条件是 ____；值为 0 时 x = ____。 答案：x ≠ 2；x = −2。
题4．约分：(a²−2a)/(a²−4) = ____。 答案：a(a−2)/[(a−2)(a+2)] = a/(a+2)。
题5．通分 1/(x−1) 与 2/(x+1)：最简公分母是 ____；通分后分别为 ____、____。 答案：(x−1)(x+1)=x²−1；(x+1)/(x²−1)，2(x−1)/(x²−1)。
题6．计算：(x²−1)/x · x/(x+1) = ____。 答案：(x−1)(x+1)/x · x/(x+1) = x−1。
题7．计算：a²/b ÷ (−a/b²) = ____。 答案：a²/b × (−b²/a) = −ab。
题8．计算：1/(x+2) − 1/(x−2) = ____。 答案：(x−2−x−2)/(x²−4) = −4/(x²−4) = −4/[(x−2)(x+2)]。
题9．用科学记数法表示：0.000 030 5 = ____；2.5×10⁻⁴ 写成小数是 ____。 答案：3.05×10⁻⁵；0.000 25。
题10．解分式方程：3/x = 2/(x+1)。 答案：两边乘 x(x+1)：3(x+1)=2x → 3x+3=2x → x=−3。检验：x=−3 时 x(x+1)=6≠0，∴ x=−3 是根。
题11．解分式方程：1/(x−2) + 3 = (x−1)/(x−2)。 答案：两边乘 (x−2)：1+3(x−2)=x−1 → 1+3x−6=x−1 → 2x=4 → x=2。检验：x=2 时 x−2=0，是增根，原方程无解。
题12．应用题：一件工作，甲单独做需 6 小时，乙单独做需 4 小时。两人合做 1 小时后，余下的由乙单独完成，还需几小时？ 答案：设还需 x 小时。1/6 + 1/4 + x/4 = 1 → 5/12 + x/4 = 1 → x/4 = 7/12 → x = 7/3（小时）。答：还需 7/3 小时（约 2 小时 20 分）。
八、结语
分式这一章，本质是“把分数的玩法搬到了字母世界”。概念看分母、运算看通分约分、方程看检验——抓住这三条，整章就通了。
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