2027届高三一轮复习讲义:椭圆

椭圆是圆锥曲线的核心载体，其主线是“坐标法”：把几何条件（到两定点距离之和、到定点与定直线距离之比）翻译成代数方程，再用方程与不等式反推几何性质。知识结构自上而下分为定义、方程、几何性质、直线与椭圆位置关系、综合应用五个层级。

01 从离心率说起：题目“有没有角”

离心率 ，而  恒成立，所以它还有第二种写法 。

两种写法指向同一件事： 是半焦距与长半轴的比值，只要拿到  中任意两个的比例， 就定了。

而决定解法的是题面给了什么，一般有两类：

• 能画出焦点三角形，并且题面给了一个角。 比如给出 、顶角大小、焦点三角形面积、某条焦半径，这类题用几何法。
• 没有可直接使用的角，只有一般几何关系。 比如“点在椭圆上”“两直线垂直”“圆与椭圆相切”“被直线截得的线段长为 ”，这类题用方程法。

02 几何法： 和  都被一个三角形装住了

设椭圆焦点为 、， 为椭圆上任一点，。三角形的三条边分别是两条焦半径 、 和焦距 ；由定义 ，于是周长  固定、底边  固定。三角形只剩一个自由度，就是顶角。

对  用余弦定理，得

与  联立，即得

这句话的含义是：角定了，两条焦半径的积就定了。 再由

 与  的关系（也就是 ）就被这个角锁死。

由此还顺手得到两个常用结论。

面积式。 一方面

另一方面

两式相等，于是“给  的纵坐标”等价于“给角”，这类题往往一步就到位。

短轴端点特例。 当  移到短轴端点  时，三角形变成等腰三角形，半底为 、腰为 ，。此时顶角取到最大值，所以凡是“求最大顶角”“由顶角范围反求 ”的题，答案总在短轴端点处。

03 方程法：没有角，就把条件写成齐次式

很多题不给角，只给关系。这时画不出可直接使用的三角形，只能把关系写成关于  的等式，再整理成每一项次数相同的齐次式，最后除以  把比例归一。步骤只有三步：

1. 条件代数化。 点在椭圆上就代入方程；两线垂直写斜率之积为 （或用向量点积为 ）；弦长、焦距套现成公式。这一步只求写得对，不求化简。
2. 齐次化。 逐项检查关于  的次数是否相同。相同即可直接除；不同说明式子里混进了具体长度，先用已知量把它换成 、 或直接化成比值。
3. 除以 。 齐次式除完只剩  与  两个比值，必然落成  的一元方程或不等式，最后按  取舍。

以 2024 新课标 1 卷第 16 题为例，题面只给椭圆上两点，求离心率。做法是先由两点定出 ，再用  读出结果，全程不需要联立，也不需要角——走的就是“代数化 + 归一”。

两套方法不是两个知识点，而是同一件事的两种写法。几何法给出的 ，平方后必须等于 ；对不上，说明哪一步把长度当成了比值。 这一步互校，比多做十道题有用。

04 焦半径：和是定值，各自多少看横坐标

椭圆上一点到某个焦点的线段叫这一点的焦半径，每个点有两条。定义只保证它们的和固定：

公式要把“和固定”细化为“各自多少”。设 ，把纵坐标用椭圆方程换成横坐标，再用  归并，得

左焦点配加号、右焦点配减号，俗称“左加右减”。它不是记忆口诀，而是单调性： 越大，点离左焦点越远、离右焦点越近。两端正好是最短与最长：在左顶点时一条为 、另一条为 ，所以两条焦半径的取值范围都是 。

用法有四条，都围绕“不必再设坐标”：求一条的另一条；两式相减得 ，横坐标由差直接读出；与和、差联立时整体仍是齐次式，除以  就落回 ；放进焦点三角形后，余弦定理与面积公式可以直接代入。

05 联立：判别式、弦长、中点弦

直线与椭圆的位置关系，本质是一次翻译：联立消元得一元二次方程， 相交、 相切、 相离。这一步一经确立，凡是直线与椭圆同题出现的题目，都先落到一个一元二次方程上。判别式不成立，后面的弦长、面积、范围全部作废。

弦长： 设两交点横坐标为 、，则

其中  不必解出两根再相减，用韦达定理即得 （ 为二次项系数）。斜率不存在时改写成关于纵坐标的同形公式。

中点弦与点差法： 设 、 在椭圆上， 为其中点，则

推导只做两件事：把两端点分别代入椭圆方程，两式相减并因式分解。全程没有解方程，所以叫点差法。它的价值在于：题面给出中点，就能直接写出弦的斜率，不必反解两个交点。

但点差法给出的是必要条件。只要弦存在，这个乘积关系就成立；反过来，任给一个点，按公式算出的斜率未必真能截出以该点为中点的弦。所以用完必须回头验一件事：中点是否落在椭圆内部，即

等号时中点在椭圆上，弦退化为一个点；大于号时点在椭圆外，这样的弦根本不存在。这一步是整套方法里最容易被漏掉的一步。

06 参数代换：一个参数顶两个变量，但  不是倾角

从椭圆方程出发，让横坐标除以 、纵坐标除以 ，两个比值的平方和恒等于 ，于是可以取同一个角：

它的几何来历是压缩：先把椭圆沿纵向拉回半径为  的辅助圆，圆上的点用圆心角  表示，再把纵坐标按  压回来。所以这里的  是辅助圆上那条半径的圆心角，不是点与原点连线的倾角。 两者一般不相等，把它认成倾角是最常见的错。

参数化的好处有三条：一个参数代替两个变量，“点在椭圆上”自动成立，不必回代方程； 与  分开出现，式子结构一眼看清，通常化成正弦余弦的线性组合；正弦余弦都有界，最值可以直接由振幅读出，也可以交给基本不等式。

07 三道真题，各验证一条线

线一：焦点三角形 + 面积式。 2023 全国甲卷第 12 题，椭圆 ，已知 ，求 。由方程得 、、。设半角为 ，由  得 ，于是 ；又 ，得 ，代回椭圆得 ，所以 ，选 B。同一题也可以用中线长公式

收尾，路线不同，结论一致。

线二：点差法 + 截距条件。 2022 新高考 2 卷第 16 题，椭圆 ，直线与椭圆在第一象限交于 、，与两坐标轴交于 、，且 、。设  中点为 ，点差法给出

由截距 、 得 ，代入解得 （正根舍去）；再由  得 。直线为

整道题没有解出 、 的坐标，靠的就是“减法与因式分解”。

线三：消参得轨迹，再看中心与形状。 2026 全国 II 卷第 18 题，由通径长  定出 、、；第二问用两条直线的交点坐标消去参数，代回椭圆得

配方后看一次项，中心为 ； 时二次项系数为零，方程是抛物线、没有中心； 时平移后为椭圆， 时为双曲线。判断形状的唯一依据是平移后两个平方项系数的符号。

08 下载复习讲义

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