真题详解|等腰直角三角形旋转题,中点为什么要倍长
- 2026-11-14 03:30:40
两个等腰直角三角形，一个中点。图形转开以后，先看看这个中点还给了我们什么，再用全等把长度和方向同时找出来。
题目
北京市三帆中学八上12月月考第24题（2025—2026学年）
如图，在△ACB与△ADE中，AC＝BC，AD＝ED，∠ACB＝∠ADE＝90°。将△ADE绕点A逆时针旋转，连接CD、BE。F为BE的中点，连接DF、CF。
（1）若点D在AC边上，在图1中补全图形，直接写出线段CF与DF的数量关系和位置关系。
（2）当△ADE绕点A旋转至图2所示位置时，判断△CDF的形状，并证明。
（3）在旋转过程中，设∠CAD＝α，∠ACD＝β。当点A、D、F共线时，直接写出α、β之间的数量关系。
图1 原题的两个位置
这道题卡在哪里？
从已知条件先试哪一步？
转到图2后，CF 和 DF 都跟着变，眼下只有题设直接给出的等长和直角关系。
F 始终平分 BE，所以 BF＝EF。CF 也经过 F，两条线交在同一个点。
可以试着沿 CF 越过 F 取一段同样长的线。这样就有两组等边，再看看 F 处的夹角能不能用。
夹角恰好是对顶角，可以用 SAS 验证全等。全等会把 CB 的长度和方向带到 E 旁边。
图2 先观察中点 F
详细解答
第（1）问 补全图1
题设已经确定了 F 的位置。连接 BE，取中点 F，再连 CF、DF。补全图1后，可直接写出CF＝DF，CF⊥DF。这两个关系也可用第二问的同一构造验证。
图3 图1补全，F 是 BE 的中点
第（2）问 从同一个中点得到一对全等三角形
BF 和 EF 是现成的一对等边。CF 与 BE 在 F 相交。沿 CF 越过 F 取一点，可以自己补出第二对等边，而两条直线相交又会给出一对对顶角。
图4 延长 CF 到 G，构造 F 两侧的两个三角形
延长 CF 到 G，使 FG＝FC，连接 EG。因为 BF＝EF，CF＝GF，且 ∠BFC＝∠EFG（对顶角），所以 △BFC≌△EFG（SAS）。
由对应边得 EG＝BC。由对应角得 ∠FBC＝∠FEG，所以 EG∥CB。B、E 位于 F 两侧，C、G 也位于 F 两侧，图中射线 EG 和 CB 同向。再用 AC＝BC，得到EG＝AC。
为什么会想到绕 D 再转一次？
题设的 DA、DE 等长，方向恰好差逆时针 90°。刚得到的 EG 又与 AC 等长。AC 向下，CB 向右，EG 与 CB 同向，所以 AC 转过同样的 90° 就沿 EG 的方向。两组线索指向同一次旋转。
图5 A 对应 E，C 对应 G，DC 对应 DG
以 D 为中心逆时针转 90°，A 落到 E。AC 转后与 EG 同向，且 AC＝EG，所以 C 落到 G。旋转保持长度，并使 DC 转过 90°，因此 DC＝DG，∠CDG＝90°。
在大三角形里重新看 F
构造时已经让 F 平分 CG。现在 DC＝DG，CG 是等腰直角三角形 CDG 的斜边，DF 正好是底边上的中线。
图6 DF 垂直于 CG，C 处的锐角为 45°
由等腰三角形的性质，DF⊥CG。又因为 ∠DCG＝45°，且 F 在 CG 上，所以 ∠DCF＝45°。于是△CDF 是以 F 为直角顶点的等腰直角三角形。
第（3）问 共线时，从 D 看方向
前面已经得到 ∠CDF＝45°。A、D、F 共线时，射线 DA 和 DF 共用起点 D，可能同向，也可能反向。两种方向分别决定 ∠ADC，再由三角形 ADC 的内角和算出 α＋β。
图7 左图 DA 与 DF 反向，右图 DA 与 DF 同向
反向时，∠ADC＝180°－45°＝135°，所以α＋β＝45°。
同向时，∠ADC＝∠CDF＝45°，所以α＋β＝135°。
两种位置都能转到吗？
由绕 D 的旋转，DG 在 DC 的逆时针 90° 方向上。DF 平分 ∠CDG，所以 DF 始终在 DC 的逆时针 45° 方向上。由图1出发，D 在 A、C 之间时 ∠ADC＝180°，转到半圈处，DA 和 DC 同向，∠ADC＝0°。
前半圈内，D 位于 AC 右侧，DA 位于 DC 的顺时针侧。∠ADC 连续经过 135° 时，DA 与 DF 反向。后半圈内，D 位于 AC 左侧，DA 位于 DC 的逆时针侧，∠ADC 连续变回 180°，经过 45° 时，DA 与 DF 同向。题目没有限制旋转角度，所以两种位置都能取到。
方法回顾
看到两条线经过同一个点，其中一条已被平分，可以试着倍长另一条。两组等边和一对对顶角能给出 SAS，再从对应边和对应角里找新的长度与方向。
阿慢几何，讲清楚为什么。
