一道题为什么会被教练放进讲义?高联训练,连“下一题”都有讲究
- 2026-11-15 03:33:52
讲义选题 · 明晓杨浦
前一道教什么，后一道留哪一步。
—— 明晓杨浦
一道题讲完，孩子说“听懂了”。紧接着做下一道，又不知道从哪里下手。
这种情况，家长并不陌生。
因此，讨论一份竞赛讲义，可以先看一个具体问题：前一道题教了什么？后一道题准备让孩子自己完成哪一步？
把这两件事说清楚，选题和排题的用意也就清楚了。今天用两道示例题，聊聊这个过程。
第一道，帮孩子学会按余数分类；第二道，让孩子根据新的要求，自己调整分类。
本文看点
01
为什么选第一道
02
两个追问
03
变式改了什么
01
PICK
为什么选第一道题？让孩子找到解题的起点
先看题目：
第一道
任意给出 6 个整数，证明：一定能从中选出两个数，它们的差能被 5 整除。
这道题适合用来引入一个方法：遇到整除问题，可以尝试从余数入手。
为什么这样选？因为它几乎没有复杂计算，学生可以把注意力集中在“第一步怎么想”上。
题目要找两个数，要求它们的差能被 5 整除。我们先想：什么样的两个数，容易满足这个要求？
除以 5 的余数相同，就可以。
比如 12 和 27，除以 5 都余 2。相减时，两个余数抵消，得到的 15 就是 5 的倍数。
现在，目标就变清楚了：在这 6 个数里，找到两个除以 5 余数相同的数。
一个整数除以 5，余数只有 0、1、2、3、4，共 5 种。把 6 个数按照余数分成 5 类，总有一类至少包含两个数。选出这两个数，它们的差就能被 5 整除。
想让差被 5 整除 → 寻找余数相同的两个数 → 6 个数、5 种余数，必有两个同类
这里，“按余数分类”用到了数论的知识；“6 个数放进 5 类，必有两个同类”用到了组合中的抽屉原理。
一道短题，就把两个方法联系了起来。
02
CHECK
讲完以后，先检查孩子有没有想明白
题目讲完，能复述答案，还需要进一步看看孩子理解到了哪一步。可以用两个追问来检查。
两个追问
为什么想到看余数？
孩子如果能解释“余数相同，相减以后就能被 5 整除”，说明他理解了方法与题目要求之间的联系。
如果只是记住“这类题要看余数”，下一次题目换个样子，他可能仍然不知道怎样下手。此时可以再用 12 和 27 这样的具体数字，把相减的过程讲清楚。
为什么一定找得到两个余数相同的数？
这里需要孩子说出：余数只有 5 种，而题目给了 6 个数，所以至少有两个数属于同一类。
如果孩子只试了几组数字，发现“好像都可以”，就需要帮他分清：举例能帮助发现规律，证明还要说明规律为什么对任意 6 个整数都成立。
选这道题的价值，也在于老师能据此判断：孩子需要补的是方法的来由，还是证明的理由。
这些环节清楚了，再往后增加难度，学生才知道自己在前一道题中学到了什么。
03
TWIST
为什么接这道变式？让孩子自己决定“怎么分”
接下来，可以安排：
第二道
任意给出 6 个整数，证明：一定能从中选出两个数，它们的和或差能被 9 整除。
这道变式的训练目标很明确：沿用按余数分类的思路，但让孩子重新决定分类方式。
先看题目改了哪里：
“被 5 整除”变成了“被 9 整除”
只要求“差”，变成了“和或差”均可
如果照着上一题，把除以 9 的余数分成 0 到 8 这 9 类，就会卡住：6 个数放进 9 类，无法保证有两个属于同一类。
下一步的线索，就在新增加的那个“和”字里。
余数相同，两个数的差能被 9 整除；余数相加等于 9，两个数的和也能被 9 整除。
比如 10 和 17，除以 9 分别余 1 和 8，两数相加得到 27，恰好能被 9 整除。这样，我们就可以把余数重新分成 5 组：
新的五组
第一组
0
第二组
1、8
第三组
2、7
第四组
3、6
第五组
4、5
6 个数分到这 5 组里，总有两个数落在同一组。落在同一组的两个数，只有两种情况：
余数相同，就看差；余数不同，就看和。
按照上面的分组，两种情况都能满足题目要求。至此，第二道题也解出来了。
学生已经知道可以按余数分类，现在需要想明白：怎样分组，才能让同一组的两个数一定符合题目要求。
04
STEP
两道题放在一起，要练到哪一步？
回头看，这两道题之间的递进很具体。
同一个方法，两步台阶
第一道题
每一种余数单独成为一类，就足以解决问题。
老师带着梳理：目标是什么，为什么这样分类。
第二道题
需要读懂“和或差”的新要求，把能够配对的余数合并成组，才能继续使用前面的方法。
留出时间：让学生先试着自己分组。
所以，在这样的教学安排里，第一道题可以带着学生梳理思路，第二道题则适合留出时间，让学生先试着自己分组。
如果孩子仍然分成 9 类，可以提示他注意“和”；如果他已经写出 5 组，可以再请他解释，每一组为什么这样安排。
题目要求什么，我为什么这样分，这样分之后为什么一定成立。
从跟着讲解完成第一题，到独立解释第二题中的分类依据，这就是这组练习希望完成的一步训练。
∞
EPILOGUE
寒假学高联，可以关注这样的训练过程
对准备学习高联的孩子来说，积累知识、练习计算、学习证明，都需要落实到一道道具体的题目中。
选题时有明确的训练目标，讲解时把关键理由说清，练习时再安排恰当的变化，孩子才有机会把刚学到的方法真正用起来。
明晓教育杨浦校区的老师擅长数论与组合教学。即将开设的寒假高联课程，将结合专题授课、课堂演练和作业批改，帮助学生逐步积累知识与解题方法。
两个班型
高联一试课程
侧重基础知识与综合运用。
适合先把学过的方法练稳。
高联二试课程
围绕同余进阶、整除进阶、计数、组合极值等专题开展训练。
适合已有基础、想继续深入的学生。
两份课程表的具体安排如下，点击图片可放大查看。
高联一试综合集训班 · 课程安排
高联二试集训班 · 课程安排
家长可以结合孩子已经学过的内容、近期练习中的困难，向课程老师咨询适合的班型与课程安排。
课程咨询
于老师：13152159708
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