1. 在空间直角坐标系下, 求平面内与直线垂直相交的直线的一般方程.
解: 设该直线的方向向量. 直线的方向向量:
平面法向量.
故，即
令，有，即.
与的交点满足:
故所求直线方程为，一般方程可写为:
2. 在空间直角坐标系下, 设和是如下两个球面:
求曲线绕轴旋转得到的曲面的方程.
解: 设为上的点, 为旋转曲面上的点, 满足:
由得:
将代入，结合，得:
化简得:
计算:
结合与，得旋转曲面方程:
3. 在空间直角坐标系下, 设双曲抛物面的一般方程为.
(1) 证明: 对中任一点, 有两条直线经过它;
(2) 求中所有垂直相交直线交点构成图形的方程.
解: 先求的直线方程: . 得两组直线方程: ①，参数化得，即
②，参数化得到，即
(1) 对于，代入①得:
代入②得:
这说明中任意一点, 有以上两条直线经过.
(2) ①的方向向量，②的方向向量，由得:
由，代入得:
又由得，故交点构成图形的方程为:
