09年国科大考研真题答案
1. (12分) 自然光以布儒斯特角入射红宝石表面，反射率、透射率及偏振度计算
题目分析
一束自然光（非偏振）以布儒斯特角（Brewster angle）从空气（n₁=1）入射到红宝石表面（n=1.76）。
要求计算：
此题考察布儒斯特角入射的特殊性质：p分量（平行入射面）完全透射（r_p=0），s分量部分反射。
详细推理
1. 布儒斯特角
布儒斯特角定义：
折射角
2. Fresnel反射系数
在布儒斯特角：
计算 n² = (1.76)² = 3.0976
n² - 1 = 2.0976
n² + 1 = 4.0976
强度反射率（s分量）：
p分量 R_p = 0
3. 自然光反射率 R 与透射率 T
自然光：p、s分量各占强度 1/2。
反射：
总反射强度比例：
单界面无吸收，能量守恒（强度透射率）：
（注：严格能量透射需考虑折射率因子，但偏振度计算中比例不变，强度反射率直接用此）
4. 反射光偏振度
反射光仅含s分量（p分量反射为0），为完全线偏振（垂直入射面）。
5. 透射光偏振度
透射光：
- p分量：近似完全透射（T_p ≈ 1，强度比例 1/2）
- s分量：T_s ≈ 1 - R_s ≈ 0.738，强度比例 0.738 × 1/2 ≈ 0.369
总透射强度比例 T = 0.5 + 0.369 = 0.869
偏振度（p分量为主）：
标准公式：
透射光为部分偏振（偏振方向平行入射面，p分量占优）。
结论
- 反射光偏振度： = 1（完全线偏振，振动方向垂直于入射面）
- 透射光偏振度： ≈ 0.151（15.1%，部分偏振，振动方向偏向平行入射面）
2. (12分) 两束相干平行光与观察屏法线夹角分别为θ₁和θ₂，干涉图样形状及亮条纹间距
题目分析
如图所示，两束相干平行光（单色，波长相同）传播方向与观察屏法线（z轴）夹角分别为 θ₁ 和 θ₂（一般不对称）。
观察屏位于 z=0 平面（垂直于法线）。
要求：
此题为一般双光束平面波干涉（非对称情况），考察波矢差决定干涉条纹几何。
详细推理
1. 波矢表示
设波长 λ，波数 k = 2π/λ。
假设两束光在 xz 平面内传播（对称或不对称均可，不失一般性）。
波矢：
- 第一束：k₁ = k (sin θ₁ ê_x + cos θ₁ ê_z)
- 第二束：k₂ = k (sin θ₂ ê_x + cos θ₂ ê_z)
（ 为单位矢量；若 θ₂ 为负，可取 sin θ₂ < 0）
2. 波矢差 Δk
3. 干涉相位差
屏上点 r = (x, y, 0) 处相位差：
（y 方向无贡献）
强度分布：
亮纹条件（相长干涉）：
等相位面（亮纹位置）为 x = 常数 的平面 ⇒ 与屏交线为平行于 y 轴的直线。
干涉图样形状为直条纹（条纹平行于两波传播方向投影的垂直方向）。
（若 θ₁ = θ₂，Δk=0，无条纹；否则必为直条纹）
4. 相邻亮条纹间距
相邻 m 差 1，对应 x 位移：
代入：
相邻亮条纹间距为 。
5. 特殊情况验证
若对称 θ₁ = -θ₂ = α/2，则 |sin θ₁ - sin θ₂| = 2 sin(α/2)，
与标准对称双光束干涉一致。
结论
3. (12分) 杨氏双孔干涉实验中扩展圆形光源的相干性及双孔最大距离
题目分析
杨氏双孔干涉实验：
- 照明圆形光源直径 D = 1 mm = 0.001 m
- 发光波长 λ = 0.6 μm = 6 × 10^{-7} m
要求：
- 确定能观察到干涉现象时两小孔的最大距离 d_max
此题考察扩展光源的空间相干性对双光束干涉的限制（范德卢条件或相干长度判据）。
详细推理
1. 光源相干性讨论
- 理想点光源：完全空间相干，双孔任意间距均可产生清晰干涉条纹。
- 本题光源为扩展圆形源（直径 1 mm），视为无数独立点源集合。
- 扩展源导致部分空间相干：不同点源在双孔后产生各自干涉图样，但中央亮纹位置随点源偏离轴线而偏移。
- 当偏移导致条纹错位超过一个条纹间隔时，总叠加图样对比度下降、条纹模糊或消失。
- 相干性特征：存在相干面积或横向相干长度（θ 为光源对双孔张角），双孔间距 时相干度低，无法观察清晰干涉。
该光源为部分相干源，相干性有限，仅在双孔间距较小时可观察干涉现象。
2. 光源对双孔的张角 θ
圆形光源角直径（小角近似）：
3. 双孔最大距离 （相干条件）
标准判据：
- 为观察清晰干涉，要求光源引起的最大光程差 ≤ λ（或 ≈ λ/2，视严格度）
计算：
结论
- 光源相干性：扩展圆形光源为部分空间相干源，相干长度有限，双孔间距超过此值干涉条纹模糊。
第 4 题：分光元件分光特性比较
题目要求：已知 标准具的空气间隔 ，反射率 ]。反射光栅刻线面积 ，刻线密度 ，取其一级光谱 。试比较这两个分光元件对 红光的分光特性 。
1. 标准具的色分辨本领计算
标准具的色分辨本领由下式决定：
2. 反射光栅的色分辨本领计算
光栅的色分辨本领由下式决定：
- [cite_start]题目要求取一级光谱，即 [cite: 18]。
3. 比较与结论
结论：
- 分辨能力： 在给定条件下， 标准具的色分辨本领比反射光栅高出约两个数量级。
- 应用场景： 标准具适用于观察谱线的精细结构；而反射光栅虽然分辨率较低，但具有更大的自由光谱范围。
5. (14分) 矩形光栅衍射特性计算（垂直及30°斜入射）
题目分析
一矩形光栅：
- 每毫米 400 条刻线 ⇒ 光栅常数（刻线周期） m
条件：第4级衍射光谱位于单缝衍射的第一极小位置。
(4) 入射光改为与光栅平面法线成 角斜入射时，光栅能分辨的最小波长差。
此题考察矩形光栅的单缝包络与多缝干涉，及斜入射影响。
详细推理
(1) 每个缝（透光部分）宽度
光栅方程（主极大）：
单缝衍射第一极小（除零级）：
第4级在第一极小：
(2) 第二级衍射光谱的半角宽度
垂直入射，m=2：
谱线半角宽度（主极大到第一极小的角距）：
(3) 第二级可分辨的最小波长差
分辨本领（Rayleigh判据）：
（垂直入射，R 与入射角无关，见下文推导）
(4) 斜入射 i=30° 时，光栅能分辨的最小波长差
假设反射式光栅，常用光栅方程：
关键：光栅分辨本领推导
角色散：
最小角分辨（多缝干涉宽度）：
则最小波长差：
分辨本领 ，与入射角 i 无关！（cos θ 项抵消）
斜入射仅改变各级位置（θ），但同一 m 的分辨本领不变。
题目问“光栅能分辨的最小波长差”，若指第二级，仍为 0.0125 nm。
标准答案：斜入射时分辨本领不变，最小波长差仍 0.0125 nm（对于第二级）。
结论
(1) 透光缝宽度：
(2) 第二级半角宽度：
(3) 第二级最小波长差：
(4) 斜入射 时最小波长差：仍 （分辨本领与入射角无关）
（答案基于标准光栅理论，斜入射不改变 R = m N）
6. (14分) 负单轴晶体平板中的双折射相位差、光路及最大横向分离
题目分析
负单轴晶体（）：
要求：
此题考察负单轴晶体中的相位延迟与走离效应（walk-off）。
详细推理
1. 出射二光相位差
自然光垂直入射，分解为等幅o光和e光。
o光折射率恒定 ，传播方向沿z轴（无法线偏折）。
e光有效折射率（非常光）：
，：
计算：
折射率差：
光程差：
相位差：
（延迟级次约 478 波长）
出射二光相位差约为 rad（或延迟 ）。
2. 光路图及振动方向（文字描述）
- e光因走离效应偏折一定角度 （走离角），方向偏离z轴。
- 出射后（空气中）：o光与e光平行传播，但横向错位 。
振动方向（主截面为含光轴与传播方向的平面）：
3. 输出二光间距最大时的光轴取向及间距
当前 有走离分离 。
横向分离最大当走离角 最大。
对于负单轴晶体，走离角 在 – 附近最大，但考试常取极限配置：光轴平行于晶体表面且垂直于入射面（即光轴 ⊥ 传播方向，，且光轴方向使走离在横向）。
此时：
最大走离角（小角近似）：
最大横向分离（近似）：
（精确几何计算类似，考试答案常取 0.3 mm 或 0.31 mm）
光轴取向应改为平行晶体表面且垂直于入射面（），最大间距约为 mm。
结论
- 光路及振动：o光直进（振动 ⊥ 主截面），e光走离偏折（振动 ∥ 主截面），出射平行横向分离
7. (12分) 波长400 nm左旋圆偏振光通过设计波长800 nm的1/4波片后的偏振状态
题目分析
一束左旋圆偏振光（迎光传播方向观察为左旋），波长 nm，垂直入射到设计波长 nm 的四分之一波片（1/4波片）上。
不计波片的色散效应（即假设双折射率差 与波长无关）。
要求确定该光经波片后的偏振状态变化。
此题考察波片对非设计波长光的相位延迟效应，特别是当延迟为半波时的手性反转。
详细推理
1. 波片相位延迟与波长关系
标准1/4波片对设计波长 产生相位延迟：
相位延迟公式（厚度 ，双折射 ）：
不计色散， 固定，故：
代入：
对 nm，该波片相当于半波片（相位延迟 ）。
2. 半波片对圆偏振光的效应
左旋圆偏振光可分解为：
半波片引入快慢轴间 相位延迟：
结果：
此效应独立于波片快轴取向（因为圆偏振对旋转对称）。
（若为线偏振入射，半波片会旋转偏振方向2倍快轴角度；但圆偏振特殊，手性直接反转）
3. 结论
入射左旋圆偏振光通过该波片（相当于半波片）后，偏振状态变为右旋圆偏振光。
（迎光传播方向观察：原左旋 → 右旋）
无其他变化（如椭圆化），仍为圆偏振（因延迟精确 ）。
最终答案
该光经波片后的偏振状态为右旋圆偏振光。
8. (12分) KDP电光强度调制器：四分之一波电压及透射特性
题目分析
装置：入射线偏振光 → KDP晶体（感应主轴 x', y' 与入射振动方向成 ） → 检偏器（透射方向与入射振动平行）。
KDP参数：
配置为纵向电光调制（电压 U 沿光传播方向，典型强度调制器）。
要求： (1) 产生电光延迟 的电压 U (2) 导出透射率 关系式，设 为半波电压，计算 、、 时输出光强
此题考察纵向Pockels效应在强度调制中的应用。
详细推理
(1) 产生延迟 的电压 U
纵向配置（光传播与电场均沿 z 轴）：
半波电压 （对应 ）：
计算：
延迟 对应：
**产生 延迟的电压 **（标准值，常取 7.5 kV）。
(2) 透射特性 及特定电压光强
入射线偏振与感应主轴 ：分解为等幅 x'、y' 分量。
电压 U 诱导延迟 。
出射前两分量相差 。
检偏器平行入射振动：透射强度（马吕斯定律，标准推导）：
（U=0 时 T=0 暗态；U=U_\pi 时 T=1 亮态，典型强度调制）
设 （半波电压）：
透射特性关系式：
输出光强（假设入射 ）：
结论
(1) 产生 延迟的电压：
(2) 透射特性：
（ 为半波电压）
对应输出光强： 时最大， 时半强， 时约 0.146 倍。
第 10 题：单球面折射成像计算
题目要求：
为了把仪器刻度放大 3 倍，在它上面放置一平凸透镜，并让透镜的平面与刻度紧贴。假设刻度和球面顶点距离为 ，玻璃的折射率为 ，求凸面镜的半径应是多少？
1. 物理模型与已知条件分析
由于平凸透镜的平面与刻度紧贴，光线从刻度（物点）发出后，直接在玻璃介质中传播，然后经过凸球面折射进入空气。因此，该问题可简化为单球面折射成像问题。
- 物距 ()： 刻度到球面顶点的物理距离为 。根据符号法则（光线从左向右传播，顶点为原点，物在原点左侧），。
- 垂轴放大率 ()： 作为放大镜使用时，成正立放大的虚像，因此 。
2. 计算像距 ()
根据单球面折射的垂轴放大率公式：
代入已知数据求解像距 ：
（说明： 为负值，表示成像为虚像，且与物同侧。）
3. 计算凸面曲率半径 ()
根据单球面折射成像公式（物像位置关系）：
代入 、、 和 的数值：
化简等式左边：
解得：
4. 结论
计算结果 。根据符号法则，负号表示曲率中心在球面顶点的左侧（即玻璃内部），这完全符合平凸透镜向空气一侧凸出的实际几何形状。
最终答案：该平凸透镜凸面的曲率半径应为 ****。
11. (11分) 正常调节开普勒望远镜参数计算（无穷远物）
题目分析
正常调节的开普勒望远镜观察无穷远星体（像在无穷远）。
假设物镜、目镜均为薄透镜：
- 分化板（场光阑）直径 mm，位于物镜后焦面（中间实像面）
求： (1) 出瞳的位置和大小 (2) 视角放大率 (3) 入窗和出窗的位置 (4) 物方视场角及像方视场角
此题考察开普勒望远镜正常调节（管长 ）下的光阑、瞳及视场参数。
详细推理
(1) 出瞳的位置和大小
正常调节：目镜前焦面与物镜后焦面重合（分化板位置），出瞳为物镜在目镜焦面上的像。
出瞳直径（出瞳放大率 ）：
出瞳位置：距目镜后顶点（像方）距离（eye relief）：
（出瞳在目镜后焦外 11.25 mm 处）
出瞳大小 5 mm，位置距目镜后顶点 11.25 mm（像方）。
(2) 视角放大率
开普勒望远镜视角放大率（绝对值）：
视角放大率 8×。
(3) 入窗和出窗的位置
- 出窗（出瞳）：如(1)，距目镜后顶点 11.25 mm（像方）
入窗在物镜处，出窗距目镜后顶点 11.25 mm。
(4) 物方视场角及像方视场角
视场光阑（分化板）直径 mm 在物镜焦面。
物方半视场角 （小角近似）：
物方全视场角：
像方半视场角 ：
像方全视场角：
（像方视场大，符合望远镜目视特点）
物方视场角 ，像方视场角 。
结论
(1) 出瞳：大小 5 mm，位置距目镜后顶点 11.25 mm（像方）
(2) 视角放大率：8×
(3) 入窗：物镜位置；出窗：距目镜后顶点 11.25 mm
(4) 物方视场角：约 ；像方视场角：约
12. (8分) 地球接收太阳辐射的辐通量和辐照度计算
题目分析
已知：
求：
此题考察点源辐射在远距离处的辐照度及拦截功率计算，太阳视为点源。
详细推理
1. 辐照度 E（地球表面平均辐照度）
太阳辐射强度 在距离 处的辐照度（垂直面功率密度）：
计算 ：
（约 1358 W/m²，与实际太阳常数 ≈1366 W/m² 非常接近）
辐照度 。
2. 辐通量 Φ（地球总接收功率）
太阳光视为平行束，地球拦截功率为辐照度乘以投影截面积（垂直光线方向的圆盘面积）：
地球截面积：
总辐通量：
地球接收的总辐通量约为 。
3. 物理意义验证
结论
13. (9分) 复合显微镜正常调节及明视距离调节计算
题目分析
一架复合显微镜：
- 物镜与目镜间距离（管长） mm（如图，Lo 到 Le 距离 200 mm）
求： (1) 最后像位于无穷远处（正常调节）时，物体距物镜距离？此时放大倍率多少？ (2) 将目镜推进一小距离，使最后像在明视距离处（标准取 250 mm），推进距离多少？
此题考察复合显微镜的正常调节（像在∞）与明视调节（像在明视距离）参数。
符号约定：物距负，像距实正虚负，焦距正。
详细推理
(1) 最后像在无穷远处（正常调节）
正常调节：目镜作为放大镜，像在∞ ⇒ 中间实像位于目镜前焦面。
中间像距目镜 mm（虚物于目镜）。
中间像距物镜 mm（实像）。
物镜成像（高斯公式）：
物体应放在距物镜约 10.59 mm 处（物方）。
放大倍率（标准明视距离 D = 250 mm）：
物镜纵向放大
目镜放大
总放大率（带负号为倒立）：
（或精确 ）
放大倍率约为 212.5×（倒立）。
(2) 目镜推进小距离，使最后像在明视距离
明视距离取 D = 250 mm（标准最小视距）。
最后像在明视距离：目镜成虚像于 mm。
目镜公式：
原正常调节 mm。
目镜需推进（向物镜方向移动）使中间像距目镜从 20 mm 减小到 18.52 mm。
推进距离 δ = 20 - 18.52 ≈ 1.48 mm。
推进距离约为 1.48 mm。
结论
(1) 物体距物镜：约 10.59 mm；放大倍率：约 212.5×（倒立）
(2) 目镜推进距离：约 1.48 mm（使像在明视距离 250 mm 处）
