数分考研真题--不定积分与定积分

不定积分

(吉林大学, 2020)求不定积分

解:令 ,则 ,.代入原式得:

设

通分合并同类项:

根据对应系数相等,列方程组:

(郑州大学, 2020)求不定积分

解:利用  和 ,原式变为:

令 ,则 ,即 .

注意到分母导数为 ,构造分子:

定积分

(天津大学, 2020)求定积分

解:利用 .

分部积分:

(吉林大学, 2020)求定积分

解:令 :

联立原式可得

(四川大学, 2020)设  在  上可积, 在  上连续,且在  内除有限个点外满足 .证明:

证明:设  仅在有限点  处不成立.对  进行分割 ,使得这些点均属于分点集.

应用拉格朗日中值定理,在每一个子区间  上, 满足连续且在开区间导数存在（因避开了有限个点）.故存在  使得:

由于  在  上可积,令 :

(华中师范大学, 2020)证明对于在  上可积的函数 ,对任意 ,存在阶梯函数  使得

证明:由  可积知,存在分割  使得上和与下和之差小于 :

其中  分别是  在  上的上、下确界.

定义阶梯函数  如下:

在每个子区间内,由于 ,故

证毕.

(南开大学, 2020)设  在  上可导,在  上三阶可导,且

证明:存在  使得 .

证明:令

根据罗尔定理

• , （已知条件）.故存在  使 .
• .由  知 .故在  上,存在  使 .
• .由  知 .故在  上,存在  使 .

. 对  在  应用拉格朗日中值定理:

由于 ,故必有 ,其中 .

(首都师范大学, 2020)设 ,证明

证明:由连续性知存在  使 .对任意 ,取  满足 .

极限估计

• 第二项:.
• 第一项:当  时,.当  时,,故存在  使该项也小于 .

综上,极限为 0.

(西北大学, 2020)已知  且 , 证明

证明:利用

即证明:

对任意 ,存在  使得当  时 .

近端:

远端:

当  时,,故远端项趋于 0.结论得证.