试卷一份 | 2026年丘赛试题-分析与微分方程

本次内容为 2026 年丘成桐大学生数学竞赛 (分析与微分方程) 的五个题目的分析, 思考与解答. 下面来简述这五则问题.

 问题 1 的第 (a) 问是比较基本的, 无非是计算稍微麻烦些, 对于 (b) 而言, 必定是先假设  , 关键在于如何推出矛盾. 为了消除分数, 我们把  乘上  构造序列  . 通过 (a) 的递推式用数学归纳法证明  全是整数. 由于被积函数严格为正, 所以  是 严格的正整数列 . 但是  里面有一个  的因子, 这会导致  . 而一个永远大于等于  的正整数列极限不可能是  .

 问题 2 涉及非交换代数中的指数运算法则, 即 Baker-Campbell-Hausdorff 公式的特例. 我们还是来重点看 (b) 中的半交换情形的处理. 这里  和  不交换, 但是它们的“差异”  与谁都交换. 这在量子力学中非常常见, 我们来考虑 参数化 (引入时间 ) . 我们不直接算  而是构造函数  然后对它求导进而寻找它满足的微分方程. 在求导过程中会产生  . 为此我们继续对  求导, 发现  . 这意味着  只是关于  的一次线性函数. 把它代回去就得到了一个非常干净的线性常微分方程  . 直接积分由于系数矩阵自身在不同时间是可交换的, 积分结果就是 .

 问题 3 本质上是在解非齐次 Cauchy-Riemann 方程  , 即用 Cauchy-Pompeiu 公式寻找  算子的基本解. 我们知道全纯函数的  导数为零, 而积分核  在复分析中扮演着类似 Laplace 方程中  的角色. 为了处理当  时积分有奇点, 我们使用 截断函数 (平滑延拓) , 把局部问题延拓到全平面, 避开边界的麻烦. 接下去做一个平移变量代换  来把奇点  固定在了原点, 把对  的依赖转移到了分子  上. 这时候分子是光滑的而奇点不动, 就可以放心大胆地把导数拿进去了, 最后利用利用广义柯西积分公式还原出了  .

 问题 4 是 Baire 纲定理的应用. 其核心思想是完备空间不能由“太薄”的子集拼凑而成. 题目说  是一个只包含多项式的闭子空间. 多项式按次数可以分为  等等. 有限维空间必定是闭集, 所以  可以被写成可数个闭集  的并集. 由于  是闭子空间, 它自身也是一个完备的 Banach 空间. Baire 纲定理表明一个完备空间绝不可能被可数个“内部为空”的闭集覆盖. 这说明，=必定存在某一个特定的次数  使得  在  中 包含一个开球 (内部非空) . 进一步通过线性数乘的放大, 它就必定能覆盖整个空间. 从而  完全被包在了  里, 因此它里面的多项式次数最高只能是  , 它的维数自然有限.

 问题 5 通过分离变量求解 PDE 并利用 Possion 求和公式研究渐近行为. 我们来看 (2) . 利用  这组基, 我们可以把初始的  函数展开, 得到级数形式的热核. 此时引入 Poisson 公式或镜像法, 将频率域的级数转换为空间域的级数 (无数个 Gauss 分布的叠加) . 证明其满足条件 (b) 本质上是证明 Gauss 核构成一个逼近单位元. 对于长时间极限来说, 从 Fourier 级数的形式容易看出来时间  时, 除了  的常数项  以外, 所有高频项都被指数级阻尼掉了, 所以温度趋于均匀的  . 对于短时间极限, 当  非常小 () 时, 热量还来不及在圆环上绕一圈. 此时, 镜像法级数中的主项 ( 的项) 占据了绝对主导地位, 我们通过提取主项, 并严格地用一个收敛的常数级数去“控制”剩余项, 给出了上下界估计.