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一、选择题
第 1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1
设函数 由 确定，则
答案： A
解析： 原式两边分别对 ， 求导，得 ， .
两式相加得 .
2
已知函数 ，，则
A. 是 的极值点，也是 的极值点.
B. 是 的极值点， 是曲线 的拐点.
C. 是 的极值点， 是曲线 的拐点.
D. 是曲线 的极值点，也是曲线 的拐点.
答案： B
解析：， .
故 ，， 所以 为 的极值点，但不是拐点.
又 .
可得 ，，且继续求导得 .
所以 是曲线 的拐点.
3
如果对微分方程 的任一解 ，反常积分 均收敛，那么 的取值范围是
答案： C
解析： 特征方程为 .
要使任一解对应的反常积分都收敛，需两个特征根都小于 .于是 ，.
故 .
4
设函数 ， 在 的某去心邻域内有定义且恒不为零.若当 时， 是 的高阶无穷小，则当 时，
答案： C
解析： 由题意，.
对 A， ， 故 A 不正确.
对 B， ， 故 B 不正确.
对 C， ， 故 C 正确.
对 D， ，为未定式，故 D 不正确.
5
设函数 连续，则
答案： A
解析： 积分区域由 与 确定.改变积分次序后，对每个 ，对应的 分别落在 与 .
故原式等于 .
6
设单位质点 ， 分别位于点 和 处， 从点 出发沿 轴正向移动，记 为引力常量，则当质点 移动到点 时，克服质点 的引力所做的功为
答案： B
解析： 当 位于 时， 的距离为 ，引力大小为 .
沿运动方向的分力为 .
故所做的功为 .
7
设函数 连续，给出下列四个条件：
① 存在；
② 存在；
③ 存在；
④ 存在.
其中能得到 “ 在 处可导” 的条件的个数是
答案： D
解析： 对于①：若极限存在，由连续性知 ，故 .
- 若 ，则 的某邻域内有 ，于是 ，从而 在 处可导.
- 若 ，则①化为 存在，与③同理可推出 在 处可导.
对于②：由连续性知 ，故 存在， 所以 在 处可导.
对于③：若 存在，则连续性推出 . 于是 ， . 又因两侧极限必须相等，得 ，故 . 所以 ， 即 在 处可导.
对于④：
- 若 ，则邻域内 ，于是可导；
- 若 ，则化为③；
- 若 ，则邻域内 ，于是 也存在.
故四个条件都能推出 在 处可导.
8
设矩阵 有一个正特征值和两个负特征值，则
答案： D
解析：.
二次因式对应的两个根一正一负，故其常数项满足 ，即 .
此时二次因式已经给出一个正根、一个负根.又矩阵总共有一个正特征值和两个负特征值，所以第三个特征值 必须小于 .
9
下列矩阵中，可以经过若干初等变换得到矩阵 的是
答案： B
解析： 对 B 作初等行变换： .
10
设 3 阶矩阵 ， 满足 ，则
A. 方程组 只有零解.
B. 方程组 与方程组 均只有零解.
C. 方程组 与方程组 没有公共非零解.
D. 方程组 与方程组 有公共非零解.
答案： D
解析： 取 ， .
则 ， .
故 ，，满足题设.
而 有非零解，故 A 错； 与 都有非零解，故 B 错； 且这两个方程组有公共非零解，故 C 错.
因此选 D.
二、填空题
第 11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11
设 ，则 ________.
答案：
解析：.
故 .
由 得 .
解得 或 .当 时，被积函数在区间 内有奇点，积分发散.
故 .
12
曲线 的渐近线方程为 ________.
答案：
解析： 显然无水平渐近线与垂直渐近线.
又 ，
且 .
所以有斜渐近线 .
13
________.
答案：
解析： 原式可写为 .
它是函数 在区间 上的黎曼和，因此 .
14
已知函数 由 确定，则 ________.
答案：
解析： 令 ，代入方程得 .
对方程 关于 求导，得 .
代入 ，，得 .
又 ，故 .
所以 .
15
微分方程 满足条件 的解为 ________.
答案：
解析：.
令 ，则 ，从而 .
化简得 .
两边积分可得 .
即 .
由 得 .
故所求解为 .
16
设矩阵 .若 ，， 线性无关，且 ，则方程组 的通解为 ________.
答案：
解析： 由 得 .
故 .
于是齐次方程组 的基础解系只有一个线性无关向量，且 是其一个解.
又 是方程组 的一个特解.
故通解为 .
三、解答题
第 17～22 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17
（本题满分 10 分）
计算 .
解： 设 .
比较系数得
解得 ，，.
故原式
.
18
（本题满分 12 分）
设函数 在 处连续，且 ，证明 在 处可导，并求 .
解： 由 ， 可将已知极限写为 .
进一步化为 .
由于 ， 又由 在 处连续，可知 .
于是
.
故 .
所以 在 处可导，且 .
19
（本题满分 12 分）
设函数 可微且满足 ，，求 ，并求 的极值.
解： 由题意知 ， .
对 积分得 .
于是 .
故 ， 从而 .
所以 .
由 得 .
故 .
令 得驻点 .
再求二阶偏导： ， ， .
在点 处， ，，， 故 ，且 .
所以 为极大值点，极大值为 .
20
（本题满分 12 分）
已知平面有界区域 ，计算 .
解： 由区域关于直线 对称，记第一部分区域为 ，则 .
作极坐标变换 ，.
在区域 上有 ，.
于是
.
21
（本题满分 12 分）
设函数 在区间 内可导，证明：导函数 在 内严格单调递增的充分必要条件是：对 内任意的 ，，，当 时，有 .
解： 必要性：由拉格朗日中值定理，存在 ，，使得
， .
由于 在 内严格单调递增，且 ，故 .
于是 .
充分性：任取 ，其中 .对任意满足 的 ，由题设有 .
特别地，只需利用 并分别令 与 ，得
.
故 在 上单调递增.再结合题设中的严格不等号，可排除在某子区间上恒等的情形，因此 在 上严格单调递增.
22
（本题满分 12 分）
已知矩阵 ， 合同.
- 求 的值及 的取值范围；
- 若存在正交矩阵 ，使得 ，求 及 .
解： （1）因为 与 合同，所以它们有相同的惯性指标.又由 可知存在零特征值，因此 也有零特征值，从而 .
计算得 .此时 的特征值为 ，，，故 有两个正特征值和一个零特征值.由合同保持惯性知 .
（2）若存在正交矩阵 ，使得 ，则 是 的正交相似对角化结果.由于 的对角元已固定为 ，，，故必有 .
当 时，分别求特征值对应的特征向量：
当 时，由 ，可取 .
当 时，由 ，可取 .
当 时，由 ，可取 .
将其单位化，得 ， ， .
于是 .
