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考研笔记-数学之概率论与数理统计:数理统计基本概念

2026-07-14 22:09:23

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（一）基本概念

（1）数理统计：数理统计以概率论为理论基础，根据试验（实验或观察）得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性做出种种合理的估计和判断。（概率是先验给出的，概率是统计的结果，概率与统计“互逆”）

（2）数理统计的内容：数理统计解决两类问题，试验设计和统计推断，统计推断又分为两类，一类是对未知参数（概率、期望和方差）及对未知概率分布（分布函数、概率密度或分布列）的估计问题；另一类是对未知参数和概率分布的假设检验问题。

（3）总体：试验全部可能的观察值称为总体。总体中包含的个体的个数称为总体的容量。容量为有限的总体称为有限总体，容量为无限的总体称为无限总体。（总体与样本空间是不同的：①总体是试验的全部可能的观察值，元素可以相同；样本空间是试验的全部可能结果的集合，即样本分量的取值范围，元素不能相同。②总体是一个随机变量（一维），样本是n个随机变量（n维）。例如，若设总体为(1,2,3,1,2,3)，则样本空间为(1,2,3)，当样本容量为3时，(1,2,3)、(1,1,2)、(1,1,1)均可能是样本值。）

（4）个体：试验中每一个可能的观察值称为个体。

（5）简单随机抽样：所谓从总体中抽取一个个体，就是对总体X进行一次观察并记录其结果。在相同的条件下对总体X进行n次重复的、独立的观察，将n次观察结果按试验的次序记为，由于是对随机变量X观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立进行的，所以有理由认为是相互独立的，且都是与X具有相同分布的随机变量，这样得到的称为来自总体X的一个简单随机样本，n称为这个样本的容量。当n次观察一经完成，就得到一组实数，它们依次是随机变量的观察值，称为样本值。（简单随机抽样实质是独立重复试验，简单随机抽样得到的样本满足：①相互独立；②（）与总体X有相同的分布。对于有限总体，采用放回抽样可得到简单随机样本，当总体容量远大于样本容量时，可将不放回抽样近似当作放回抽样处理；对于无限总体，采用不放回抽样可得到简单随机样本。）

（6）样本值：称随机变量为样本值。

（7）设X是具有分布函数F的随机变量，若是具有同一分布函数F的、相互独立的随机变量，则称为从分布函数F（或总体F、或总体X）得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值称为样本值，又称为X的n个独立的观察值。也可将样本看成一个随机向量，写成。

（8）若为F的一个样本，则相互独立，且它们的分布函数都为F，所以的分布函数为，又若X具有概率密度f，则的概率密度为。

（9）统计量：设是来自总体X的一个样本，是定义在样本空间上的关于的函数，g中不含未知参数，则称是一个统计量。统计量是随机变量的函数，是一个随机变量，设是相应于样本的样本值，则称是的观察值。

（10）样本矩：设是总体X的一个样本，k为任意自然数，则统计量，称为样本k阶原点矩，统计量，称为样本k阶中心矩。

（若总体X的k阶矩存在，则当时，，。这是因为独立且与X同分布，所以相互独立且与同分布，故有，由辛钦大数定律可知，，，由依概率收敛的数列的性质可知，g为连续函数，这就是矩估计方法的依据）

（11）经验分布函数：可以作出与总体分布函数相应的统计量——经验分布函数。它的作法如下：设是总体F的一个样本，用，表示中不大于的随机变量的个数，定义经验分布函数为，（可看作是频率值）。对于一个样本值，经验分布函数的观察值是很容易得到的（的观察值仍以表示）。一般，设是总体F的一个容量为n的样本值，先将按自小到大的次序排序，并重新编号，设为，则经验分布函数的观察值为

，

（要求，k为取值相同的观察值中最后一个的下标）。

对于经验分布函数，有以下结果：对于任一实数x，当时以概率1一致收敛于分布函数，即。因此，对于任一实数x，当n充分大时，经验分布函数的任一个观察值与总体分布函数只有微小的差别，从而在实际上可当作来使用。（对于任意固定的x，，，从而可知对于固定的x，）（频率依概率收敛于概率）

（12）抽样分布：统计量的分布称为抽样分布。

（二）样本的综合指标

随机变量的数字特征（期望、方差、均值向量、协方差/协方差矩阵）是对（一维或多维）随机变量所有可能取值情况的整体反映（纵向），是一个具体的数（或矩阵）。样本的综合指标（样本均值、样本方差、样本均值向量、样本协方差矩阵）是对（n维）样本的各个分量（个体）的一次具体取值的综合反映（横向），是随机变量的函数，是一个新的一维随机变量（或称统计量）。

（1）样本均值

，，（，）