初一复习|苏科版 2.5 有理数的乘法:负负为什么得正?
- 2026-09-18 15:19:12
同学们，加法和减法都过了关，从这节课起我们学乘法。
小学里乘法的意思是"几个相同的数加起来"，4×3 就是 4＋4＋4。可现在数里多了负数，(−4)×3 是什么意思？"负 4 个 3 相加"，这话说不通。
所以这节课要做的，是给乘法找一个负号也讲得通的解释。
🌊 故事开头：江边的水位标尺
水文站立在江边的水位标尺
照片里立在江边的这根尺子叫水位标尺。水文站的人每天来看它一眼，就知道今天的水位比昨天高还是低。
我们规定：水位上升记为正，下降记为负；几天后记为正，几天前记为负。
（1）水位每天上升 4 cm，3 天后的水位怎么变？
3 天里水位上升了 3 个 4 cm：
(＋4)＋(＋4)＋(＋4) ＝ ＋12 写成乘法就是 (＋4)×(＋3) ＝ ＋12，比今天高 12 cm。
（2）水位每天下降 4 cm，3 天后呢？
(－4)＋(－4)＋(－4) ＝ －12 写成乘法就是 (−4)×(＋3) ＝ −12，比今天低 12 cm。
两个算式并排摆在一起，有意思的地方就出来了：4 和 −4 互为相反数，12 和 −12 也互为相反数。
一个因数变成它的相反数，积也跟着变成原来的相反数。
这条规律就是整节课的钥匙。
为什么这条规律靠得住？可以这样看：(−4)×3＋4×3 ＝ [(−4)＋4]×3 ＝ 0×3 ＝ 0。两个数加起来得 0，它们就互为相反数，所以 (−4)×3 确实是 4×3 的相反数。
🔑 拿这把钥匙，把四种情况全打开
已知 4×3 ＝ 12。下面三种情况都能从它推出来：
"负负得正"就是这么来的。两个负号各把积翻了一次方向，翻两次，就转回了正号。
还能回到水位去验一验：每天下降 4 cm，那么 3 天前的水位比今天高 12 cm。这正对应 (−4)×(−3) ＝ ＋12，跟水位这件事完全对得上。
水位四问：乘法的四种情况一次讲清
📐 有理数乘法法则
课本把上面这些情况归结成两句话：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，都得 0。
用字母写出来更清楚。当 a＞0，b＞0 时：
(＋a)×(＋b) ＝ ab (−a)×(−b) ＝ ab (−a)×(＋b) ＝ −ab (＋a)×(−b) ＝ −ab
算的时候记两步：先定号，再定值。
例 1 计算：
（1）6×(−1) （2）(−6)×(−1) （3）9×(−6) （4）(−7)×0
解：
（1）异号得负：6×(−1) ＝ −(6×1) ＝ −6 （2）同号得正：(−6)×(−1) ＝ ＋(6×1) ＝ 6 （3）异号得负：9×(−6) ＝ −(9×6) ＝ −54 （4）有 0 参与：(−7)×0 ＝ 0
有理数乘法法则：先定号，再定值
第（2）小题最容易错。有人觉得"负号看着多，结果一定是负的"，其实该看的是两个因数是不是同号，跟负号有几个没关系。(−6)×(−1) 是两个负数相乘，同号，结果是正的。
🎁 藏着一个乘 −1 的小机关
把例 1 的前两小题并排看：6×(−1) ＝ −6，(−6)×(−1) ＝ 6。6 的相反数是 −6，−6 的相反数是 6。
一个数乘 −1，等于取这个数的相反数，即 a×(−1) ＝ −a。
顺着再走一步：a×(−b) 和 a×b 有什么关系？
a×(−b) ＋ a×b ＝ a×[(−b)＋b] ＝ a×0 ＝ 0
两个数的和是 0，它们就互为相反数。所以 a×(−b) 和 a×b 互为相反数。
这里用了乘法分配律。小学就学过它，数扩充到有理数以后，它照样管用。
🔢 好几个数相乘：数一数负号
前面都是两个数相乘。三个、四个数相乘怎么办？
(−5)×8×(−7) 两个负因数 → 积为正 → ＋(5×8×7) ＝ 280(−1)×2×3×(−4)×(−5) 三个负因数 → 积为负 → −1203×(−2)×0×(−9) 有 0 → 直接得 0
几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个，积为负；有偶数个，积为正。只要有一个因数是 0，积就是 0。
几个数相乘，奇负偶正
🏔️ 生活实景
一、冰水里的温度计
温度计插在冰水混合物中
实验室的杯子里放着冰水，温度计插在里面。现在有个物体，温度每小时下降 3 ℃。
（1）(−3)×4 表示什么意思？
每小时降 3 ℃，4 个小时就是降了 4 个 3 ℃：(−3)×4 ＝ −12。 也就是说，4 小时后比现在低 12 ℃。
（2）那 (−3)×(−4) 呢？
每天降 3 ℃ 这件事不变，把"4 小时后"换成"4 小时前"：(−3)×(−4) ＝ ＋12。 意思是，4 小时前比现在高 12 ℃。
这里的 (−4) 可以理解成"往回走 4 小时"。一个正数乘上负数，就是把这趟变化反着走。
二、爬山：海拔越高，气温越低
登山队向雪山顶峰前进
海拔每升高 100 米，气温大约下降 0.6 ℃。
（1）升高 1000 米，气温变化了多少？
1000 米里有 10 个 100 米，气温变化 ＝ (−0.6)×10 ＝ −6（℃），也就是下降了 6 ℃。
（2）如果队伍下撤，海拔降低 500 米，气温又会怎么变？
降低 500 米，就是升高 −500 米，里面有 5 个 −100 米： (−0.6)×(−5) ＝ ＋3（℃），也就是回升了 3 ℃。 海拔降下去、气温升上来，跟爬山时的感觉是一致的。
三、电梯上的负号
电梯楼层显示 −5 层
照片里电梯的楼层显示是 −5，也就是地下 5 层。负数在生活里到处都是。
某观光电梯每上 1 层，高度增加 3 米。
（1）从 1 层升到 5 层，高度变化了多少？
一共升了 4 层：(＋3)×4 ＝ ＋12（米）。
（2）从 1 层降到地下 3 层，高度变化了多少？
这次还是 4 层，但方向反了，写成 (＋3)×(−4) ＝ −12（米）。
同样是 4 层，正着来是 ＋12 米，反着来是 −12 米。乘一个负数，就是把这件事反过来做一遍。
🚀 思维提升
1. 若 ab ＞ 0，且 a＋b ＜ 0，判断 a、b 的符号。
ab＞0 说明 a、b 同号；a＋b＜0 说明它们的和是负的。 可两个正数的和一定是正的，走不通，所以 a、b 只能都是负数。
2. 已知 ab ＜ 0，bc ＜ 0，判断 ac 的符号。
ab＜0 说明 a、b 异号，bc＜0 说明 b、c 异号。 a 和 b 反着，c 和 b 也反着，那么 a 和 c 反倒是一路的：a、c 同号，所以 ac ＞ 0。
3. 卡片题 桌上有五张卡片，分别写着 −5、−3、0、2、4。从中取出两张，把卡片上的数相乘，积最大是多少？
两个数相乘要得到正数，得同号。 负负：(−5)×(−3) ＝ 15；正正：2×4 ＝ 8。 所以最大是 15。
⚠️ 五个易错点
- 先定号，再定值。
6×(−1) 的答案不是 6，是 −6。先把符号判清楚，再算 6×1。 - "负负得正"不是"负号越多结果越正"。
三个负数相乘，结果还是负的。两两相消，奇数个负因数积为负。 - 带分数化成假分数，小数化成分数。
比如 (−1.5)×(−2/3)，先把 −1.5 化成 −3/2 再约分，比硬算又快又不容易错。 - 有 0 就别再往下算了。
只要有一个因数是 0，积就是 0，符号不用数。 - a×(−1) 是取相反数，不是做加法。
a×(−1) ＝ −a。−1 乘任何数，都不改变数值大小，只改符号。
✍️ 练一练（答案在最后）
计算： ① (−8)×5 ② (−7)×(−6) ③ (−3/4)×8 ④ 0×(−2026) ⑤ (−1/2)×(−4/3) 计算： ① (−4)×(−5)×(−2) ② (−2)×3×(−5)×(−1) ③ (−2)×(−3)×0×(−4) 某地气温每小时下降 3 ℃。用 (−3)×5 说明它表示什么意思？5 小时后的气温变化是多少？那么 (−3)×(−5) 又表示什么？ 已知 ab ＞ 0 且 a ＜ 0，判断 b 的符号。 已知 ab ＜ 0，a＋b ＞ 0，且 |a| ＞ |b|，判断 a、b 的符号。
[!例题] 挑战：计算 (−1)×2×(−3)×4×(−5)×6×…×(−99)×100 的积的符号。思路：那么长的式子不用算出来，只问符号，就去数负因数有几个。答案：带负号的因数是 −1、−3、−5、…、−99，从 1 到 99 的奇数一共 50 个，负因数有偶数个，所以积为正。
提示：第 2 题先数负因数的个数，符号定了再算绝对值；第 4、5 题把"积的符号"翻译回"两个数同号还是异号"，再从和的正负往下推。
[!TIP] 参考答案： 1. ① −40 ② 42 ③ −6 ④ 0 ⑤ 2/3 2. ① 3 个负因数（奇数）→ 负 → −40 ② 3 个负因数（奇数）→ 负 → −30 ③ 有 0 → 0 3. (−3)×5 ＝ −15，表示 5 小时后气温比现在低 15 ℃；(−3)×(−5) ＝ ＋15，表示 5 小时前气温比现在高 15 ℃ 4. ab＞0 说明 a、b 同号，而 a＜0，所以 b＜0 5. ab＜0 说明 a、b 异号；a＋b＞0 说明正数那个的绝对值更大；又 |a|＞|b|，所以 a 是正数，b 是负数
📌 本文由 Claude Code（AI 实验） 生成，内容仅供初一复习参考，表述以你老师的课堂为准。发现错误请告诉我，我马上改。
