初一复习|苏科版 2.6(一)有理数的乘方:给连乘起个短名字
- 2026-09-21 23:26:33
同学们，前面一节我们把有理数的加、减、乘、除都走完了。这节课开始学一个新的运算——乘方。
它其实一点都不新。你会发现，乘方就是给"连乘"起的一个短名字。
📄 从一张纸对折说起
拿一张包装纸，对折，再对折，再对折……直到对折不动为止。
每对折一次，层数就变成原来的 2 倍。把过程记下来：
对折次数与层数的关系
看到第四列和第五列了吗？层数的算式越写越长——对折 10 次要写 10 个 2 相乘，对折 20 次得写 20 个 2。写起来累，数起来还容易数错。
那能不能少写点？
同一加数连加→乘法，同一因数连乘→乘方
小学里我们干过一模一样的事：同一个加数连续相加，可以写成乘法。
2＋2＋2＋2 ＝ 2×4
那么同一个因数连续相乘，理所当然也该有个简便写法：
2×2×2×2 ＝ 2 的 4 次方（写作 2⁴）
求相同因数积的运算，叫作乘方。 乘法是加法的简便形式，乘方是乘法的简便形式——都是为了少写字、少数错。
🧱 一个记号，三个名字
乘方记号的三个名字
这个记号里每个部分都有自己的名字，教材上三个名字都得会叫：
| 底数 | ||
| 指数 | ||
| 幂 |
读法：aⁿ 读作"a 的 n 次方"。如果把它看作一个数（也就是幂），读作"a 的 n 次幂"。
比如 2⁶：看作运算时读"2 的 6 次方"，2 是底数、6 是指数；看作结果时读"2 的 6 次幂"。
乘方和幂，是两个东西。 乘方是一种运算，幂是这次运算的结果。 它们的关系，就同"乘法"和"积"的关系一样：你可以说"做一次乘法"，但不能把算式本身叫成"积"。 所以——不能单独拿出一个数就说它是幂，只有算完乘方的那个结果才叫幂。
书写上有三条规矩，考场上一分都不放过：
① 指数写在右上角，而且要写小一点；② 底数是分数或负数时，一定要用括号把底数括起来；③ 一个数可以看成它自己的 1 次方——4 就是 4¹，m 就是 m¹，指数 1 通常省略不写。
🔍 例 1 把乘方翻译回乘法
算乘方，最稳的办法是先按意义把它还原成乘法，再用上一节的乘法法则算。
（1）3⁶
3⁶ ＝ 3×3×3×3×3×3 ＝ 729
（2）6³
6³ ＝ 6×6×6 ＝ 216
（3）(−2)⁴
底数是 −2（负号在括号里，属于底数），4 个 −2 相乘：
(−2)⁴ ＝ (−2)×(−2)×(−2)×(−2) ＝ ＋(2×2×2×2) ＝ 16
（4）(−5)³
(−5)³ ＝ (−5)×(−5)×(−5) ＝ −(5×5×5) ＝ −125
有理数乘方运算的方法先定号，再定值。 ① 按乘方的意义，把乘方改写成乘法（这一步永远不亏）； ② 数一数负因数有几个，定出结果的符号； ③ 把绝对值的乘法算出来，得到数值。
例 2 底数是分数也要整体乘方：
(1/3)⁵ ＝ 1/243 (−2/7)³ ＝ −8/343 (−3/2)⁴ ＝ 81/16
最后那个 (−3/2)⁴ 里，分子和分母要一起乘方：(−3/2)⁴ ＝ 3⁴/2⁴ ＝ 81/16。 写成 3/2 的 4 次方却只把分子乘方，得 81/2，那就错了。
🎯 幂的正负，看两件事
例 1 算完，回头看那四个结果：729 是正、216 是正、16 是正、−125 是负。正负是怎么定出来的？
先看几个特殊的：
(−1)¹⁰ ＝ 1 (−1)⁶ ＝ 1 (−1)⁷ ＝ −1 (−7)¹³ ＝ 负
再试一试：
当 n 是偶数时，(−1)ⁿ ＝ 1；当 n 是奇数时，(−1)ⁿ ＝ −1。
规律浮出来了——幂的正负只跟两件事有关：底数是正是负、指数是奇是偶。
幂的符号规律：奇负偶正
幂的符号规律正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。 四个字记住：奇负偶正。 用字母写：当 a＞0 时，aⁿ＞0；当 a＜0 时，n 为奇数则 aⁿ＜0，n 为偶数则 aⁿ＞0。
还有两条特别说明，教材特意单列出来：
平方与立方 一个数的二次方也叫它的平方。任意一个数的平方都是非负数。 一个数的三次方也叫它的立方。正数的立方是正数，负数的立方是负数。 顺带一个结论：当 n 为奇数时，(−a)ⁿ ＝ −aⁿ；当 n 为偶数时，(−a)ⁿ ＝ aⁿ。
⚠️ 本节最大的坑：(−2)⁴ 和 −2⁴ 不是一回事
(−2)⁴ 与 −2⁴ 的对照
这两个式子长得几乎一样，结果却一个是 16、一个是 −16。差别全在那对括号。
(−2)⁴：负号在括号里面，底数是 −2，4 个 −2 相乘 → 4 个负号 → ＋16−2⁴：负号在括号外面，底数是 2，指数只管着 2，负号到最后才乘上去 → −(2×2×2×2) ＝ −16
一句话记住：指数只管它紧挨着的那个数。 有括号，负号被圈进底数，指数就管到负号；没括号，负号站在外面，指数管不着它。想清楚底数是谁，比算得快更重要。
再看一组，这组更容易骗人：
(−4)³ ＝ −64，而 −4³ ＝ −(4³) ＝ −64
两个结果一模一样！ 那它们的含义相同吗？
不相同。 (−4)³ 的底数是 −4，是三个 −4 相乘； −4³ 的底数是 4，是三个 4 相乘，最后再取相反数。只是这一题的指数是奇数（3），两个负号抵消刚好凑巧相等罢了。 换成偶数指数立刻就分家了：(−4)² ＝ 16，而 −4² ＝ −16。
🍚 生活里的乘方
一、棋盘上的麦粒
围棋盘与黑白棋子
有个流传很久的传说：一位大臣发明了棋盘，国王问他要什么赏赐。他说，只要在棋盘上放麦粒——第 1 格 1 粒，第 2 格 2 粒，第 3 格 4 粒，后面每格都是前一格的 2 倍，放满就行。
国王觉得这要求太便宜了，一口答应。
我们跟着数几格：
第 1 格：1 粒 第 2 格：2 粒 第 3 格：2×2 ＝ 4 粒 第 4 格：2×2×2 ＝ 2³ ＝ 8 粒 第 9 格：2⁸ ＝ 256 粒——还不到一小勺 第 19 格：2¹⁸ ＝ 262144 粒——按一粒约 0.02 克算，约 5 公斤，已经是一大袋米了
从 1 粒到一大袋米，只走了 19 格。
那第 64 格呢？2⁶³。
2⁶³ 到底有多大，你不用算出来——只要想一件事：不用乘方，你得写 63 个 2 相乘；用了乘方，一个记号就写完了。 这就是这节课的主角——乘方的价值不在"算得快"，而在"写得下"。倍增的力量，几乎全都藏在指数上。
二、细胞分裂
显微镜下正在分裂的细胞
显微镜下，一个细胞分裂成两个，两个变四个，四个变八个……和棋盘上的麦粒是同一个规律：
分裂 1 次 → 2 个 分裂 2 次 → 2² ＝ 4 个 分裂 3 次 → 2³ ＝ 8 个 分裂 10 次 → 2¹⁰ ＝ 1024 个
10 次分裂之后，一个细胞就变成一千多个了。
三、对折的厚度
回到开头那张包装纸。假如纸厚 0.01 厘米：
对折 10 次：0.01×2¹⁰ ＝ 0.01×1024 ＝ 10.24（厘米） 对折 13 次：0.01×2¹³ ＝ 0.01×8192 ＝ 81.92（厘米）
一张纸对折 13 次，厚度就快到一米了。而对折 27 次，厚度会超过珠穆朗玛峰（8848.86 米）。
纸还是那张纸，只是每折一次，前面所有的厚度都翻一倍。这就是为什么"倍增"总能在很短的路程里给出离谱的结果。
🚀 思维提升
1. 底数不同，走向正好相反（学科网拓展题型）
用计算器算下面几组，看幂随指数怎么变（保留两位小数）：
(1) 1.5² ＝ 2.25 1.5³ ＝ 3.38 1.5⁴ ＝ 5.06 (2) 0.5² ＝ 0.25 0.5³ ＝ 0.13 0.5⁴ ＝ 0.06
发现：底数大于 1 时，幂随着指数的增大而增大（都大于 1）；底数大于 0 小于 1 时，幂随着指数的增大而减小（都小于 1）。 想想也合理：底数大于 1，乘的越多越大；底数不到 1，越乘越小。
2. 已知 1.5⁵ ＝ 7.59375，求 15⁵（胡小群老师课的题型）
不用硬算。15 里面就藏着一个 1.5：15 ＝ 1.5×10。 15⁵ 是 5 个 15 相乘，也就是 5 个"1.5×10"相乘——把 5 个 1.5 挑出来放一边，5 个 10 挑出来放另一边： 15⁵ ＝ (1.5⁵) × (10×10×10×10×10) ＝ 7.59375 × 100000 ＝ 759375
这类题的关键是先把 15 拆成"已知的 1.5"乘上"10 的若干次方"，再把两堆分开算。第 3 组数据不是白给的——它一定用得上。
3. 整幂、零、还有 1
(1) (2/3)³ ＝ 8/27——分子分母一起乘方，别只乘分子。 (2) 0¹⁰⁰ ＝ 0——0 的任何正整数次幂都是 0。 (3) 1²⁰²³ ＝ 1——1 的任何次幂都是 1。 (4) 1²⁰²³ × (−1)²⁰²⁴ ＝ 1×1 ＝ 1——2024 是偶数，所以 (−1)²⁰²⁴ 是 ＋1。
4. 把相反数和倒数请进来（胡小群老师课的题型）
已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，求 (a＋b)²⁰²² ＋ (cd)²⁰²³ 的值。
别被 2022 和 2023 吓住，这么大的指数恰恰是提示：底数一定很特殊。 a、b 互为相反数 → a＋b ＝ 0，所以 (a＋b)²⁰²² ＝ 0²⁰²² ＝ 0； c、d 互为倒数 → cd ＝ 1，所以 (cd)²⁰²³ ＝ 1²⁰²³ ＝ 1。 原式 ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1
看到指数大得离谱，先别算——去看底数是不是 0、1、−1。 这三兄弟的幂全都好算：0 的正整数次幂是 0；1 的任何次幂是 1；(−1) 的奇数次幂是 −1、偶数次幂是 1。
5. 填空，感受一下平方和立方
25 ＝ (±5)² 169 ＝ (±13)² 8 ＝ 2³ 27 ＝ 3³
注意到没有：25 和 169 的答案前面都带 ±，因为相反数的平方相等（5² ＝ 25，(−5)² 也 ＝ 25）； 而 8 和 27 的答案只有一个，因为相反数的立方互为相反数，(−2)³ ＝ −8，填不进去。
⚠️ 五个易错点
- (−2)⁴ ≠ −2⁴。
一个是 16，一个是 −16。看底数到底是谁：括号里的负号算底数的一部分，括号外的不算。指数只管它紧挨着的那个数。 - 结果相同，≠ 含义相同。
(−4)³ 和 −4³ 答案都是 −64，但一个底数是 −4、一个底数是 4。只是指数为奇数时凑巧相等，指数换成偶数就分家了。 - 底数是分数或负数，必须加括号。
写作 (2/3)²、(−2)⁴；写成 2/3² 是错的——那表示 2÷3² ＝ 2/9，不是 4/9。 - 分数乘方要整体乘方。
(2/3)³ ＝ 2³/3³ ＝ 8/27，分子分母一起乘，别只乘分子，也别把答案写成 2/3。 - 指数 1 省略但存在。
4 就是 4¹，m 就是 m¹。另外：0 的任何正整数次幂都是 0，1 的任何次幂都是 1，这两个是最好用的两个"捷径"。
✍️ 练一练（答案在最后）
1. 计算：
① (−3)² ② (−2)³ ③ (−2/3)⁴ ④ −3⁴ ⑤ 0¹⁰⁰ ⑥ (−1)²⁰²⁴ ⑦ (−1)²⁰²⁵
2. 计算：
① (−4)³ ② (−1/3)⁴ ③ 0.1⁴ ④ 1⁸ ⑤ −4³ ⑥ (−5)³
3. 填空：
① 25 ＝ ( )² ② 169 ＝ ( )² ③ 8 ＝ ( )³ ④ 27 ＝ ( )³
4. 计算：3³ − (−3)³ ＋ (−2)⁴ − 2²
5. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，求 (a＋b)²⁰²² ＋ (cd)²⁰²³ 的值。
[!例题] 挑战：已知 1.5⁵ ＝ 7.59375，求 15⁵。思路：15 ＝ 1.5×10，把 15⁵ 拆成"5 个 1.5"和"5 个 10"两堆。答案：15⁵ ＝ 1.5⁵ × 10⁵ ＝ 7.59375 × 100000 ＝ 759375。 验算一下方向：15⁵ 肯定比 1.5⁵ 大很多，但只是把小数点往右挪 5 位，量级对得上。
提示：第 1、2 题全部按"先定号、再定值"走，先数负因数有几个；第 3 题注意哪个空的答案要带 ±；第 4 题先分别算出四个幂，再按加减法算；第 5 题别去算 2022 次方，先看底数。
[!TIP] 参考答案：1. ① 9 ② −8 ③ 16/81 ④ −81（底数是 3，不是 −3） ⑤ 0 ⑥ 1 ⑦ −12. ① −64 ② 1/81 ③ 0.0001 ④ 1 ⑤ −64（和 ① 结果相同、含义不同） ⑥ −1253. ① ±5 ② ±13 ③ 2 ④ 34. 3³ ＝ 27，(−3)³ ＝ −27，(−2)⁴ ＝ 16，2² ＝ 4； 原式 ＝ 27 − (−27) ＋ 16 − 4 ＝ 27＋27＋16−4 ＝ 665. a＋b ＝ 0，(a＋b)²⁰²² ＝ 0²⁰²² ＝ 0；cd ＝ 1，(cd)²⁰²³ ＝ 1²⁰²³ ＝ 1； 原式 ＝ 0 ＋ 1 ＝ 1
📌 本文由 Claude Code（AI 实验） 生成，内容仅供初一复习参考，表述以你老师的课堂为准。发现错误请告诉我，我马上改。
