美国博士考试光学真题及答案:第1辑
- 2026-09-25 06:14:28
Problems and Solutions on Optics汇编了美国主要大学博士资格考试的200多道光学精选真题，从基础到高阶不等，能有效提升学生的知识水平。本文将分享几何与波动光学部分的前几道习题，全部来自威斯康辛大学。
1. 如下图所示，一根水平光线通过折射率为1.5、顶角为4°的棱镜后打到垂直反射镜上。为了将反射光线调至水平，反射镜应如何旋转？
解：根据下面的解题图示，由于棱镜顶角很小(𝛼 = 4°)，因此可通过小角度近似计算偏转角𝛿：
𝛿 = (𝑛-1) · 𝛼 = 2°
从图中可以看出，为了将反射光线调至水平，反射镜应顺时针旋转，而旋转角度𝛾根据下式计算：
𝛾 = 𝛿/2 = 1°
请注意，本文图中的激光器是额外添加的，只是为了展示Thorlabs产品，和题目没有直接关联。
2. 如下图所示，一束窄光束垂直入射在30° - 60° - 90°棱镜的斜面上，且棱镜折射率𝑛 = 2.1。证明整个光束要么从30°所对的直角面出射，要么沿入射路径返回。
解：根据下面的解题图示，对于垂直入射斜面的光束，点B处的入射角为30°，而点C处的入射角为60°。这两个角都大于棱镜的全内反射临界角：
𝜃c = arcsin (1/𝑛) = 28°26'
因此，光束将在点B和点C处发生全内反射，并在垂直入射的点A和点D处发生菲涅尔反射，即部分反射。由此可知，整个光束要么从右边的直角面出射，要么沿入射路径返回。
3. 如下图所示，一束光从𝑛 = 1.5的玻璃立方体顶部斜入射后打在右侧面。请问光会从这个侧面射出吗？
解：根据图示角度和斯涅尔折射定律：
sin 𝑖₁ = 𝑛 · sin 𝑖₁'
根据几何关系：
𝑖₁' + 𝑖₂ = 90°
因此：
sin 𝑖₁ = 𝑛 · cos 𝑖₂
𝑖₂ = arccos [(sin 𝑖₁)/𝑛]
当𝑖₁ = 90°时，𝑖₂达到最小值：
(𝑖₂)min = acrcos (1/1.5) = 48°10' > 𝑖c = 42°
这表明𝑖₂大于临界角，因此光不会从立方体右侧射出。
4. 一根具有矩形截面的玻璃棒被弯曲成下图所示的形状，然后一束平行光从表面A垂直入射。为了使通过表面A进入玻璃棒的光都能从表面B出射，请确定𝑅/𝑑的最小值。玻璃折射率为1.5。
解：考虑解题图示中的两根代表性光线。对于沿玻璃棒最内侧传播的光线2，它在外侧面上的入射角𝛼最小，而且反射光线与内侧面相切。如果𝛼大于临界角𝜃c，那么整个入射光束都将从表面B出射。
因此需满足以下要求：
sin 𝛼 ≥ 1/𝑛
根据几何关系可知：
sin 𝛼 = 𝑅 / (𝑅+𝑑) ≥ 1/𝑛
最终可得：
(𝑅/𝑑)min = 1 / (𝑛-1) = 2
5. 如左下图所示，阳澄湖水面下方1.2 m处有一只大闸蟹。观察者用焦距10 m的简单薄凸透镜进行观看。如果透镜高于水面0.6 m，那么观察者将在哪里看到这只螃蟹？假设它位于透镜光轴上，且空气和水的折射率分别为1和1.33。
解：如右上图所示，对于空气中的观察者，点P处的水中物体看起来位于点P'处。点P发射的近轴光线在水面发生折射时满足以下关系：
1.33 · sin 𝑖₁ = sin 𝑖₂
根据小角度近似：𝑖₂ ≈ 1.33 𝑖₁
根据几何关系：
𝑖₂ = 𝛼 ≈ OQ/OP'
𝑖₁ = 𝛽 ≈ OQ/OP
因此：OP' = OP/1.33 = 0.9 m
假设大闸蟹表象位置与透镜的间距为𝑢，那么：
𝑢 = 0.6 + OP' = 1.5 m
根据1/𝑓 = 1/𝑢 + 1/𝑣可得：
𝑣 = -1.8 m
这表明大闸蟹通过透镜成的像与它的实际位置重合，因此观察者将在水面下方1.2 m处看到螃蟹。
请注意，本题根据地域和季节进行了改编。
1. 对于中心波长500 nm、线宽0.02 nm的谱线，为了清晰观测由此光波产生的干涉条纹，最大光程差大约是多少？
解：相干长度可由下式计算：
如果光程差大约为𝑙c的四分之一，即大约3 mm，我们就能清晰地观察到干涉条纹。
2. 如下图所示，位于原点的点光源𝑆发射球面正弦波，其电场由下式给出：
其中𝑟是到光源的距离。另外，还有一个沿𝑥轴传播的平面波，其电场由下式给出：
注意：此处𝐸₁和𝐸₂都被看作标量波。两个波同时入射在垂直于𝑥轴、与原点相距为𝐷的屏幕上。假设𝑦 ≪ 𝐷，请推导屏幕上总光强𝐼与位置𝑦的关系。
解：在屏幕上的所示点处，总电场为：
上式使用𝑟 ≈ 𝐷的近似关系进行化简。
由于𝑦 ≪ 𝐷，因此：
由此可将总电场写成：
因此：
令𝑦 = 0时的强度为𝐼₀，由此可得：
下图展示了𝐷 = 2 m、𝜆 = 500 nm时随位置变化的归一化强度：𝑦越大，即位置越远离中心，干涉条纹越密，类似于菲涅耳波带片。
3. 考虑下图所示的杨氏双缝干涉实验装置。如果在其中一缝前放一片透明薄膜，零级条纹将移动至原来的4级亮条纹处。已知透明薄膜的折射率为1.2，请确定薄膜的厚度。
解：当光程差Δ = 𝑚𝜆时出现主极大，因此：
𝛿Δ = 𝜆 · 𝛿𝑚
透明薄膜导致的光程差变化为：
𝛿Δ = 𝑡 · (𝑛-1)
由于干涉图案移动了4个条纹，即𝛿𝑚 = 4，
因此：
𝛿Δ = 𝑡 · (𝑛-1) = 4𝜆
𝑡 = 4𝜆 / (𝑛-1) = 10 μm
4. 考虑下图所示的三缝装置，并假设所有狭缝宽度相同(≤𝜆/2)。
(1) 当𝜃为何值时出现第一个主极大？
(2) 如果将(1)的计算结果用𝜃₁表示。假设零级主极大方向(𝜃 = 0)的光通量为𝐹₀，那么𝜃₁/2方向的光通量是多少？
解：(1) 屏幕上的总电场𝐸(𝜃)是每个狭缝产生电场的叠加：
其中𝛿是第二和第一个狭缝之间的相位差：
由此可计算𝜃方向的总光强：
上式说明𝛿 = 4𝜋时出现一级主极大，即：
(2) 当𝜃 = 0时，𝐼(0) ~ 9𝐴²，因此：
5. 考虑下图所示的杨氏干涉实验装置。假设光波长为600 nm，并且三个狭缝具有相同宽度，𝑆₀ = 𝑆₁ = 𝑆₂ = 0.2 mm，双缝间距𝑑 = 2.0 mm，而屏幕距离𝐿₁ = 3.0 m。
(1) 为了在屏幕上产生清晰干涉条纹，𝐿₀大约要多大？
(2) 中央亮条纹和第一级亮条纹在屏幕上的间距多大？
解：(1) 根据范西特-泽尼克定理，扩展缝光源的横向相干长度由下式给出：
其中𝜃s是狭缝在相关点处的张角。为了获得清晰的干涉图案，𝑙s应大于𝑆₁和𝑆₂的间距𝑑，由此可得：
由于𝜃s = 𝑆₀ / 𝐿₀，因此：
(2) 如下图所示，考虑狭缝𝑆₁和𝑆₂分别在±𝑦处由宽度𝑑𝑦在屏幕点𝑃处产生的总振幅。由于𝑑远大于𝑆₁和𝑆₂，因此总振幅正比于：
其中𝑘 = 2𝜋/𝜆为角波数。
由于𝑆₁ = 𝑆₂ = 𝑆，点𝑃处的总振幅为：
利用近似关系sin 𝜃 = 𝑥/𝐿₁可得：
其中𝐴₀为常数。因此，强度𝐼(𝑥)正比于：
当𝜋𝑥𝑑 / 𝜆𝐿₁ = 𝜋时出现一级主极大：
因此，第一个亮条纹到干涉图案中心距离0.9 mm。
6. 考虑下图所示的双缝衍射装置。放电管产生波长为𝜆的光，然后立即通过狭缝𝑆。宽度都为𝑤的双缝的中心间距为𝐷。假设𝐷, 𝑙 ≪ 𝐿且𝑤非常小。
(1) 为了在距离中心平面为𝑙的位置上得到一个主极大，装置应满足什么条件？
(2) 在干涉图案完全模糊之前，𝑤的最大值多少？
(3) 随着𝑤增加，距离中心更近还是更远的主极大和主极小将首先变模糊？
(4) 增加狭缝𝑆的宽度将怎样影响图案强度和清晰度？
解：缝光源由宽度𝑑𝑦在屏幕上产生的强度分布为：
其中：
并且𝐼₀为常数。
通过积分可得到缝光源产生的强度分布：
(1) 如果2𝜋𝐷 sin 𝜃 / 𝜆 = 2𝜋𝐷𝑙 / 𝜆𝐿 = 2𝑛𝜋，即𝑙 = 𝑛𝜆𝐿/𝐷，其中𝑛为整数，那么在距离中心平面为𝑙的屏幕上将出现主极大。
(2-3) 如果sin 𝛽 = 0或𝛽 = 𝜋𝑤𝑙 / 𝜆𝐿 = 𝜋，即𝑤 = 𝜆𝐿/𝑙 = 𝐷，干涉图案第一次完全变模糊。在一般条件下，𝑤 = 𝐷/𝑛或𝑛 = 𝐷/𝑤。因此，随着𝑤增加，𝑛减小。这表明主极大和主极小首先在远离中心平面的地方变模糊。
(4) 条纹可见度由下式决定：
如果𝜋𝐷𝑆 / 𝜆𝑥 = 𝑛𝜋，则𝑉 = 0。在𝑆₀ = 𝜆𝑥/𝐷范围内，随着𝑆增加，条纹可见度越来降低。另外，根据𝐼的计算式可知，屏幕上的光强与缝光源的宽度𝑆成正比。
探索、实现、推动光电子核心技术的发展
——以科技改变世界。
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