中考复习第05讲 | 一次方程(组)及其应用:等式性质+解法+应用题全攻略(12题精练)
- 2026-09-26 07:19:04
中考复习第05讲 | 一次方程（组）及其应用：等式性质+解法+应用题全攻略（12题精练）
初中数学 · 中考一轮复习 · 第 05 讲
📌 本讲导读
一次方程（组）是中考必考的代数工具关：解法题送分但坑多（去分母漏乘、移项忘变号），应用题几乎每年一道大题——配套、工程、行程、利润、方案选择五大类轮着考。本讲三条主线：等式性质是地基、五步解法是流程、设未知数列方程是翻译。
一、知识清单
1. 等式的基本性质
性质1：两边同加（减）同一个数或式，等式仍成立；
性质2：两边同乘一个数（或同除以一个不为 0 的数），等式仍成立。
⚠️ 由 ac=bc 不能推出 a=b——c 可能是 0；除以含字母的式子前先想"它会不会是 0"。
2. 一元一次方程
只含一个未知数、次数都是 1、两边都是整式的方程。标准形式 ax+b=0（a≠0）。
判断三查：几个未知数？次数是几？分母里有没有未知数？——缺一不可。
3. 解一元一次方程五步
去分母（每一项都要乘，常数项别漏）→ 去括号 → 移项（变号！）→ 合并同类项 → 系数化 1。步骤可跳可合，但"漏乘"和"不变号"是两大丢分源。
4. 二元一次方程组
两个方程、两个未知数、次数都是 1。解法核心是消元：代入消元（系数有 1 或 −1 时好用）、加减消元（同号相减、异号相加）。方程组的解必须同时满足两个方程，代回验算是保险。
5. 应用题五步法
审题 → 设未知数（直接设或间接设）→ 找等量关系列方程 → 解方程 → 检验：解合不合实际？（人数不能是分数、时间不能是负数）
常见等量关系：工程问题"工作量=1"、行程问题"路程和=总路程"、利润问题"利润=售价−进价"。
🔑 记住这三句话
① 去分母时，不含分母的项也要乘最简公分母；
② 移项必变号，去括号防漏乘；
③ 应用题解完必检验——数学上对，实际上错也要舍去。
二、题型精讲
题型1去分母易错题
例：解方程 (2x−1)/3 = (x+1)/3 − 1。
💡 思路：两边同乘 3，右边的 −1 也要乘 3：2x−1 = (x+1) − 3 → x=−1。错解漏乘 −1 得 x=1——去分母"逐项乘"，一个都不能少。
题型2方程组的应用（配套问题）
例：车间 22 人生产螺栓螺母，每人每天生产螺栓 12 个或螺母 18 个，1 个螺栓配 2 个螺母，怎么分配人数恰好配套？
💡 思路：设 x 人生产螺栓，则 (22−x) 人生产螺母。配套 ⇒ 螺母数 = 2×螺栓数：18(22−x)=2×12x → 396−18x=24x → x=9.5？⚠️ 注意数字要能整除才合理——实际命题会保证整数，你做题时解完必检验是否为正整数。
题型3利润问题
例：某商品按进价提高 40% 标价，再打 8 折出售，仍获利 24 元，求进价。
💡 思路：设进价 x，标价 1.4x，售价 0.8×1.4x=1.12x，利润 1.12x−x=0.12x=24 → x=200。"提高 40% 再打 8 折"= 乘 1.12，净赚 12%。
三、考点分布速查表
四、巩固 12 题
下列变形正确的是（ ）
A. 若 ac=bc，则 a=b B. 若 x=y，则 x+7=y−7 C. 若 x=y，则 x−2=y−2 D. 若 a/b=c/b，则 a=c下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A. 2x+y=1 B. x²−x=0 C. 1/x=x D. 3x−2=2x+1解方程：4x−1=2x+5。 解方程：(x+1)/2 − (2x−1)/3 = 1。 若 2x−1 与 3−x 互为相反数，则 x = ______。 解方程组 x+y=5，x−y=1，则 xy = ______。 若 x=2，y=1 是方程 ax+3y=7 的解，则 a = ______。 小华解方程 (2x−1)/3 = (x+1)/3 − 1 时，去分母得到 2x−1=x+1−1，他漏乘了常数项。求原方程的正确解。 一项工程，甲单独做 10 天完成，乙单独做 15 天完成，两人合作需要______天完成。 甲、乙两车从相距 300 km 的两地同时出发相向而行，甲车速度 60 km/h，乙车速度 40 km/h，经过______小时两车相遇。 某商品按进价提高 40% 标价，再打 8 折出售，仍获利 24 元，则进价为______元。 《孙子算经》"雉兔同笼"：上有三十五头，下有九十四足。问雉（鸡）、兔各几何？
五、逐题解析
- C
。A 错在 c 可能是 0；B 两边加的不是同一个数；D 错在 b 可能是 0（等式性质 2 要求除数非零）；C 两边同减 2 ✓。 - D
。A 两个未知数、B 次数是 2、C 分母含未知数（不是整式方程），D 化简后 x=5，一元一次方程 ✓。 - x=3
。移项 4x−2x=5+1（变号！），合并 2x=6，系数化 1 得 x=3。 - x=−1
。最简公分母 6：3(x+1)−2(2x−1)=6 → 3x+3−4x+2=6 → −x=1 → x=−1。⚠️ 2 要乘整个 (2x−1)，必须加括号。 - x=−2
。互为相反数 ⇒ 和为 0：(2x−1)+(3−x)=0 → x+2=0 → x=−2。 - 6
。两式相加 2x=6 → x=3，y=2，xy=6。加减消元一步到位，代回第二式验证 3−2=1 ✓。 - a=2
。把 x=2、y=1 代入：2a+3=7 → a=2。"方程的解"反求参数，代入就是最好的方法。 - x=−1
。正确去分母：2x−1=(x+1)−3 → 2x−1=x−2 → x=−1。小华的 −1 漏乘 3，整题全错——去分母逐项乘，常数项是大坑。 - 6
。把总工作量看作 1：合作效率 1/10+1/15=1/6，时间=1÷(1/6)=6 天。工程问题核心公式：工作量=效率×时间。 - 3
。相遇问题：路程和=总路程。60t+40t=300 → 100t=300 → t=3 小时。 - 200
。设进价 x：1.4x×0.8−x=24 → 0.12x=24 → x=200。验算：标价 280，八折 224，赚 24 ✓。 - 雉 23 只，兔 12 只
。设鸡 x、兔 y：x+y=35，2x+4y=94。由第一式 x=35−y 代入：70−2y+4y=94 → y=12，x=23。验算：23×2+12×4=46+48=94 ✓（这就是"消元"两千年前就有的样子）。
📇 本讲方法卡
① 等式变形：先看"乘除的数是不是 0"，再判断正误；
② 解方程五步：去分母（逐项乘）→ 去括号 → 移项（变号）→ 合并 → 系数化 1；
③ 消元二选一：系数有 1 用代入，系数整齐用加减；
④ 应用题等量关系速查：工程看"工作量 1"，相遇看"路程和"，利润看"售价−进价"，配套看"份数比"；
⑤ 解应用题必两验：代回方程验、对照实际验。
初数轻松学 · 中考一轮复习第 05 讲 · 每天 1 篇干货，陪你考到出分
