2027届高三湖南九校联考数学试卷及解析(附8,11,14解析)

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📌 湖南九校联考数学原卷和解析。附第 8、11、14 题解析

原卷和解析附在文末。

第8题

在平面直角坐标系中，对任意实数 ，定义向量

，。

若 ，方程  有四个不同实数解，则  的取值范围是（　　）

A. 

B. 

C. 

D. 

【答案】 C

【解析】

方法一

将等式两边平方，得

令

由基本不等式，。又

所以原方程可化为

即

注意  与  的对应关系：

• 当  时，只有  一个实数解；
• 当  时，方程  有两个互为相反数的实数解。

原方程有四个不同实数解，当且仅当方程（1）有两个不同的根，且两根均大于 2。

由（1）得

因此需要

且

解得

因为 ，所以

故选 C。

当  时，方程（1）只有一个根；当  时，一个根为 2，原方程共三个实数解。故两个端点均不能取到。

方法二

令

则

点  在双曲线  的第一象限部分上。方程

表示点  到定点  的距离为 ，即圆

与双曲线  的交点个数。

记 ，则 ，并且

当  时，距离取得最小值 ，对应两个关于直线  对称的点。圆经过双曲线顶点  时，半径为

故当且仅当

时，圆与双曲线有四个不同交点。

第11题

已知双曲线

的右焦点为 ，过  的直线  与  交于  两点，则下列说法正确的是（　　）

A.  的取值范围为 

B. 若满足  的直线  恰有 3 条，则 

C.  恒成立

D.  的取值范围为 

【答案】 BCD

【解析】

由

得右焦点

设直线斜率

当直线斜率存在时，设

令交点  的横坐标分别为 。将直线方程代入双曲线方程，得

当  时，直线与双曲线只有一个交点，不合题意。以下均设 。

令

代入上式，可得  是方程

的两个根。因此

该方程的判别式为

故

于是弦长

判断 A

令 。

当  时，

其取值范围为 。

当  时，

另外，直线  与双曲线交于 、，此时弦长为 12。

综上，

故 A 错误。

判断 B

由（2）可得：

• 当  时，只有  一条直线；
• 当 $4<m<12$ 时，只有一组="" $k^2$，对应="" $k$="" 与="" $-k$="" 两条直线；<="" section="">
• 当  时，，得到  两条直线，再加上直线 ，共 3 条；
• 当  时，区间  与  内各有一组解，共得到 4 条直线。

故满足  的直线恰有 3 条时，

B 正确。

判断 C

由于点  均在直线  上，

所以

结合（2），得

直线  的情形也满足该等式，故 C 正确。

判断 D

当  时，，且 ，所以  均为负数。于是

当  时，上式的取值范围为

当  时，，两个交点位于焦点的两侧，故

代入可得

直线  时，，上式同样等于 。因此

D 正确。

故正确选项为 BCD。

第14题

若曲线  上存在横坐标依次成等差数列的三个不同点 ，且以  为直径的圆与该曲线在点  处相切，则  的最大值为________。

【答案】

【解析】

方法一

设

因为  的横坐标依次成等差数列，交换  不影响题意，不妨设

于是

两条弦的斜率分别为

因为  在以  为直径的圆上，所以

从而

设圆心为 ，则  为  的中点。由

知  为竖直方向。又  不同，故 ，圆在  点的切线为水平直线。

圆与曲线在  点相切，故曲线在  点的切线也为水平直线，即

由

得

将（4）代入两条弦的斜率，得

再由（3），

即

因为 ，所以

由基本不等式，

故

结合 ，得

当 ，， 时，有 ，且

故等号可以取到。

所以

方法二

由相切条件得

再由 ，有

令

则

方程存在正根，故

所以

从而

当  时，，，等号成立。因此  的最大值为

完整原卷

解析