七下复习题9:中点坐标怎么求?转半圈为何都变号?
- 2026-10-02 19:45:26
教材原题｜复习题9 拓广探索
11. 建立平面直角坐标系，并描出下列各点： A(1，1)，B(5，1)，C(3，3)，D(－3，3)，E(1，－2)，F(1，4)，G(3，2)，H(3，－2)，I(－1，－1)，J(－1，1)。 连接AB、CD、EF、GH、IJ，分别找出它们的中点，将这些中点的横坐标和纵坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有什么关系？写出你的发现，并与同学进行交流。
12. 如图，三角形PQR是由三角形ABC经过某种变换后得到的图形，点A、B、C经过这种变换后分别得到点P、Q、R，观察对应点的坐标之间的关系。三角形ABC内任意一点M的坐标为(x，y)，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是什么？
同学们，今天讲新人教版七年级下册数学第九章第86页。第11题研究“中间在哪里”，第12题研究“转过去在哪里”。先给出两条主线：中点坐标分别取两端点同类坐标的平均数；绕原点转半圈，对应点的横、纵坐标都变为相反数。
先猜一猜
线段两端的横坐标是3和－3，中点的横坐标是多少？点(4，3)绕原点转半圈，是变成(4，－3)，还是(－4，－3)？先把“关于横轴翻折”和“绕原点转半圈”分清楚。
01 · 第11题：先观察水平线段
横着的线段，中点怎样找？
先看AB：A(1，1)、B(5，1)的纵坐标相同，所以线段平行于横轴。横向从1到5，相差4个单位，中点在离两端各2个单位的位置，横坐标为3，纵坐标仍为1。因此AB中点为(3，1)。
再看CD：C(3，3)、D(－3，3)也在同一条水平线上。横向从－3到3，中间是0，而纵坐标始终为3，所以CD中点为(0，3)，不是原点。
共同特点是：纵坐标不变，横坐标取两端点横坐标的平均数。比如(3＋(－3))÷2＝0。这里要连同正负号一起相加，不能先把负号去掉。
02 · 再观察竖直线段
竖着的线段，中点怎样找？
EF两端的横坐标都是1，纵坐标分别为－2和4。从－2到4相差6个单位，中点比－2高3个单位，即纵坐标为1，所以EF中点为(1，1)。它恰好与题中的点A重合，这是允许的。
GH的横坐标都是3，纵坐标2与－2的平均数为0，所以中点为(3，0)。IJ的横坐标都是－1，纵坐标－1与1的平均数也是0，所以中点为(－1，0)。
这一次，横坐标保持不变，纵坐标取平均数。画完后用尺子量一量，或沿网格数一数，检查中点到两个端点的距离是否相等。
第11题答案｜五个中点与一条规律
AB、CD、EF、GH、IJ的中点依次为：(3，1)、(0，3)、(1，1)、(3，0)、(－1，0)。
发现：中点的横坐标等于两个端点横坐标的和的一半；中点的纵坐标等于两个端点纵坐标的和的一半。概括为“横与横平均，纵与纵平均”。
例如端点为(x1，y1)、(x2，y2)，中点就是((x1＋x2)÷2，(y1＋y2)÷2)。本题用水平、竖直线段帮助发现这一规律，它也适用于斜放的线段。
失分提醒｜中点不能只求一个坐标
不要把同一个点的横、纵坐标加起来取平均，也不要把两端点的坐标差的一半直接当作中点坐标。坐标差的一半表示从一个端点向中点移动多少，还需要结合起点的位置。
03 · 第12题：绕原点转半圈
第12题：先读出三组对应点
由图可读出：A(4，3)对应P(－4，－3)，B(3，1)对应Q(－3，－1)，C(1，2)对应R(－1，－2)。每一组都是横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。
把三角形ABC绕原点O转半圈，也就是旋转180°，就能与三角形PQR重合。这也叫关于原点成中心对称。对应点在原点两侧，且到原点的距离相等。
任意点M(x，y)，为什么对应N(－x，－y)？
绕原点转半圈，原来向右的方向变为向左，原来向上的方向变为向下，而距离不变。因此横坐标、纵坐标都取相反数，得到N(－x，－y)。
例如M(2，2)对应N(－2，－2)。这里选的是讲解用的示例点；题目要求任意点的结论，所以最终应写含字母的坐标，而不是只给一个数值例子。
04 · 把两道题连起来理解
中点规律与转半圈，怎样联系起来？
用第11题的规律，求M(x，y)与N(－x，－y)连线的中点：横坐标为(x－x)÷2＝0，纵坐标为(y－y)÷2＝0。中点正好是原点O。
因此可以用“原点是对应点连线的中点”来检查答案。如果把N误写为(x，－y)，中点就成了(x，0)，一般不在原点。这正是横轴对称与原点中心对称的区别。
三个变换，怎样避免混淆？
关于横轴对称：(x，y)变为(x，－y)。关于纵轴对称：(x，y)变为(－x，y)。绕原点转半圈：(x，y)变为(－x，－y)。先确定变换，再决定变号，不能看到图形换位置就套同一条规则。
特别地，原点转半圈后仍是原点；坐标轴上的点则移到另一侧等距离的位置。零的相反数仍为零，这些特殊点同样符合公式。
名师方法｜先描点，再比较，最后检验
求中点时，把两个端点的同类坐标分别取平均；求变换后的点时，先找对应关系，再概括坐标规律。最后回到图上，看位置、方向和距离是否一致。
当堂检测
1. (－2，4)与(6，4)的中点是什么？ 2. (－3，2)绕原点转半圈后在哪里？ 3. (2，－5)与(－2，5)的中点在哪里？
想好再看：(2，4)；(3，－2)；原点(0，0)。
内容依据：新人教版七年级下册数学第九章第86页，复习题9“拓广探索”第11、12题。原题见文首，中点表与变换示意图为教学绘制。
中点看平均，转半圈看相反数。
