第3期:高三物理一轮复习相互作用与共点力平衡连载—真题母题精讲(上):三力静态平衡与动态平衡
- 2026-10-03 09:33:53
温馨提示：如需原文，请点击文章后的下载链接。
第三部分 六大母题 · 真题变式精讲
母题 1 三力静态平衡（正交分解法）
【母题 1】（改编自 2024·河北卷情境）
如图，倾角 θ = 30° 的固定斜面上放着一个质量为 m 的光滑均匀球体，球体被一块竖直挡板挡住而保持静止。求斜面对球体的支持力 N₁ 和挡板对球体的支持力 N₂。
图 3-1 母题 1 情境图与受力分析图
思路剖析
① 研究对象：光滑球体。② 弹力：球与斜面接触（点—面），支持力 N₁ 沿半径、垂直于斜面指向球心；球与挡板接触，支持力 N₂ 水平指向球心。③ 摩擦力：球光滑、挡板光滑，无摩擦。④ 共 3 个力：mg、N₁、N₂。
规范解答
以球心为原点，取水平、竖直方向为坐标轴：
竖直方向：N₁ cos30° = mg → N₁ = mg / cos30° = 2√3mg/3 ≈ 1.15mg
水平方向：N₂ = N₁ sin30° = 1.15mg × 0.5 = √3mg/3 ≈ 0.58mg
（换一种建系：沿斜面方向 N₂cos30° − mg sin30° = 0 → N₂ = mg tan30° = √3mg/3；垂直斜面方向 N₁ = mg cos30° + N₂ sin30° = √3mg/2 + √3mg/6 = 2√3mg/3。两种建系结果一致，可作为自我检验。）
对照思考（同一情境，改变约束）
图 3-2 挡板改为垂直于斜面时的对照分析
若把竖直挡板换成垂直于斜面的挡板，则 N₂ 沿斜面方向、N₁ 仍垂直斜面，两力互相垂直：
沿斜面方向：N₂ = mg sin30° = 0.5mg 垂直斜面方向：N₁ = mg cos30° = √3mg/2 ≈ 0.87mg
方法提炼：球受的力（重力）没变，变的是"约束的方向"。支持力的方向由接触面的方向唯一决定，因此"先判断约束方向，再列方程"是静态平衡题的第一动作。
易错警示：把 N₁ 直接写成 mg cos30°。只有当球只受斜面的支持（没有挡板、细绳等其他力）时，才有 N = mg cosθ。
变式 1-1（2023·浙江卷）
如图，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重力为 G 的光滑圆柱体静置其上，a、b 为相切的接触点，∠aOb = 90°，半径 Ob 与重力的夹角为 37°。已知 sin37° = 0.6，cos37° = 0.8，则圆柱体受到的支持力 Fa、Fb 大小为（ ）
A. Fa = 0.6G，Fb = 0.4G B. Fa = 0.4G，Fb = 0.6G C. Fa = 0.8G，Fb = 0.6G D. Fa = 0.6G，Fb = 0.8G
图 3-3 变式 1-1
解析：圆柱体受重力 G（竖直向下）与两支持力 Fa、Fb，三力共点于球心 O。支持力方向沿各自半径的反方向（指向球心侧）、垂直于接触面。
由于 ∠aOb = 90°，两支持力的方向互相垂直，故 Fa ⊥ Fb，三个力构成直角三角形，G 为斜边：
Fb = G cos37° = 0.8G，Fa = G cos53° = G sin37° = 0.6G。
答案：D
方法提炼：两支持力互相垂直 → 优先考虑"三力构成直角三角形"的合成法，比正交分解更快。
变式 1-2（2025·福建卷）
"风动石"是福建省著名的自然景观。无风时，"风动石"在重力和底部巨石作用力 F₁ 的作用下静止不动。若"风动石"受到一水平方向的风力作用时仍保持静止，此时底部巨石对其作用力为 F₂，则（ ）
A. F₁ 的大小比 F₂ 的小 B. F₁ 的大小比 F₂ 的大 C. F₁ 与 F₂ 大小相等 D. F₁ 与 F₂ 方向相同
图 3-4 变式 1-2
解析：无风时只有两个力作用，"风动石"受力平衡，故 F₁ 与重力 G 等大反向：F₁ = G，方向竖直向上。
有水平风力 F 时，三力平衡。由"任意一个力必与其余力的合力等大反向"可知：F₂ 与（G 与 F 的合力）等大反向，故
F₂ = √(G2 + F2) > G = F₁，且 F₂ 的方向斜向左上，与 F₁ 方向不同。
答案：A
方法提炼：三力平衡的推论二（"一个力与其余力的合力等大反向"）是处理"某个力变化后比较大小"问题的最快工具。
变式 1-3（2025·陕晋青宁卷）
如图，质量为 m 的均匀钢管，一端支在粗糙水平地面上，另一端被竖直绳悬挂，处于静止状态。钢管与水平地面之间的动摩擦因数为 μ，重力加速度大小为 g，则地面对钢管左端的摩擦力大小为（ ）
A. 某个由 μ 和 mg 确定的量 B. 另一个由 μ 和 mg 确定的量 C. 第三个值 D. 0
图 3-5 变式 1-3
解析：对钢管受力分析：重力 mg（竖直向下）、绳的拉力 T（竖直向上）、地面对左端的支持力 N（竖直向上）、地面对左端的摩擦力 f（水平方向，若存在）。
在水平方向上，除了可能存在的摩擦力 f 之外，没有任何力（重力、拉力、支持力都没有水平分量）。钢管处于静止状态，水平方向合力必须为零，因此必然有
f = 0。
答案：D
方法提炼：判断某个方向上的摩擦力是否为零，只需看"该方向上除它之外还有没有别的力"。这是快速判断的通用技巧。
易错警示：一看到"粗糙"，就认为一定有摩擦力，甚至有 f = μN。摩擦力的存在需要"相对运动趋势"这一条件，本题中水平方向无其他力，钢管没有水平方向的相对运动趋势。
母题 2 动态平衡（图解法与极值）
【母题 2】（承接母题 1 情境）
如图，质量为 m 的光滑球体放在倾角 θ = 30° 的固定斜面上，被一块可以绕其与斜面接触的下端转动的挡板挡住。开始时挡板竖直，现缓慢转动挡板（使其与斜面的夹角逐渐增大，直到挡板接近水平）。求：
(1) 斜面对球的支持力 N 如何变化？
(2) 挡板对球的压力 N′ 如何变化？N′ 的最小值是多少？
图 3-6 母题 2 情境图与矢量三角形
思路剖析
"缓慢"意味着任一时刻都处于平衡状态，合外力时刻为零。三个力中：
• 重力 G：大小、方向都不变；
• 斜面的支持力 N：方向始终垂直于斜面（方向不变），大小变化；
• 挡板的压力 N′：方向始终垂直于挡板，随挡板转动而改变（大小、方向都变）。
这正是图解法的标准特征：一个恒力 + 一个方向不变的力 + 一个大小方向都变的力。
规范解答
把 G、N、N′ 首尾相接作闭合矢量三角形：由于 G 的大小方向不变、N 的方向不变，三角形中一个顶点将沿着一条固定直线移动。
(1) 随着挡板转动，N 一直减小（从竖直挡板时的 mg/cos30° ≈ 1.15mg，减小到挡板水平时的 0）。
(2) N′ 先减小后增大。当 N′ ⊥ N（即挡板垂直于斜面）时 N′ 取最小值：
N′min = mg sinθ = mg sin30° = 0.5mg
验证：挡板竖直时 N′ = mg tan30° ≈ 0.58mg；挡板垂直斜面时 N′ = mg sin30° = 0.5mg（最小）；挡板接近水平时 N′ → mg。变化规律"先减小后增大"得到验证。
答案：(1) N 一直减小；(2) N′ 先减小后增大，最小值 0.5mg。
方法提炼：图解法三步走——①找出"恒力"；②找出"方向不变的力"；③作闭合三角形，观察变力的边长变化。极值一律出现在"两个变力的方向互相垂直"时。
易错警示：不要因为"缓慢"就认为合力不为零；"缓慢"= 每一时刻都平衡。
变式 2-1（2024·新课标卷）
将重物从高层楼房的窗外运到地面时，为安全起见，要求下降过程中重物与楼墙保持一定的距离。如图，一种简单的操作方法是一人在高处控制一端系在重物上的绳子 P，另一人在地面控制另一根一端系在重物上的绳子 Q，二人配合可使重物缓慢竖直下降。若重物的质量 m = 42 kg，重力加速度 g 取 10 m/s2，当 P 绳与竖直方向的夹角 α = 37° 时，Q 绳与竖直方向的夹角 β = 53°。
(1) 求此时 P、Q 绳中拉力的大小；
(2) 若开始竖直下降时重物距地面的高度 h = 10 m，求在重物下降到地面的过程中，两根绳子拉力对重物做的总功。
图 3-7 变式 2-1
解析：
(1) 重物"缓慢"下降，任一时刻都处于平衡状态。P 绳从高处斜向上拉重物，Q 绳从地面斜向下拉重物（注意：Q 绳连的是站在地面上的人，因此它对重物的拉力沿绳指向地面的方向，其竖直分量是向下的）。设 P、Q 绳中拉力分别为 T₁、T₂。
水平方向：T₁ sin37° = T₂ sin53°，即 0.6T₁ = 0.8T₂ …①
竖直方向：T₁ cos37° = mg + T₂ cos53°，即 0.8T₁ = 420 + 0.6T₂ …②
由①得 T₂ = 0.75T₁，代入②：0.8T₁ = 420 + 0.45T₁，解得
T₁ = 1200 N，T₂ = 900 N。
(2) 重物缓慢下降，动能变化为零。对重物应用动能定理：W拉 + mgh = 0，故
W拉 = −mgh = −42 × 10 × 10 J = −4200 J。
答案：(1) TP = 1200 N，TQ = 900 N；(2) −4200 J。
方法提炼：两根绳"一上一下"的模型，竖直方向要区分拉力的竖直分量是向上还是向下。第(2)问用动能定理，不要试图用第(1)问的瞬时拉力去算功（拉力是变力，且第(1)问只给了某一时刻的值）。
易错警示：把竖直方程写成 T₁cos37° + T₂cos53° = mg，那就等于认为两根绳都在向上拉，与实际情境不符。
变式 2-2（2025·河北卷）
如图，内壁截面为半圆形的光滑凹槽固定在水平面上，左右边沿等高。该截面内，一根不可伸长的细绳穿过带有光滑孔的小球，一端固定于凹槽左边沿，另一端过右边沿并沿绳方向对其施加拉力 F。小球半径远小于凹槽半径，所受重力大小为 G。若小球始终位于内壁最低点，则 F 的最大值为（ ）
A. G/2 B. √2G/2 C. G D. √2G
图 3-8 变式 2-2
解析：小球位于半圆内壁最低点时，它到左、右边沿的连线与水平方向均成 45°（因为左、右边沿在同一水平直径的两端，最低点到它们的方向与水平方向成 45°）。
对小球受力分析：重力 G（竖直向下）、凹槽内壁的支持力 N（在最低点沿半径，即竖直向上）、以及两段绳的拉力——因为是同一根不可伸长的绳，穿过小球的光滑孔，故两段绳的张力大小相等，均为 F，方向分别沿"球→左边沿"和"球→右边沿"，与水平方向成 45°，且向上倾斜。
竖直方向：N + 2F sin45° = G，即 N + √2F = G。
F 取最大值时，小球恰好要离开内壁，即 N = 0，故 √2Fmax = G，得
Fmax = √2G/2。
答案：B
方法提炼：同一根光滑绳跨越（穿过）物体时，各段张力大小相等；"恰好离开接触面"是典型的隐含临界条件（N = 0）。
变式 2-3（2023·湖南卷）
质量为 M 的凹槽静止在水平地面上，内壁为半圆柱面，截面如图。A 为半圆的最低点，B 为半圆水平直径的端点。凹槽恰好与竖直墙面接触，内有一质量为 m 的小滑块。用推力 F 推动小滑块由 A 点向 B 点缓慢移动，力 F 的方向始终沿圆弧的切线方向，在此过程中所有摩擦均可忽略，下列说法正确的是（ ）
A. 推力 F 先增大后减小 B. 凹槽对滑块的支持力先减小后增大
C. 墙面对凹槽的压力先增大后减小 D. 水平地面对凹槽的支持力先减小后增大
图 3-9 变式 2-3
解析：设滑块与最低点的连线（半径）与竖直方向的夹角为 θ，滑块从 A 到 B 的过程中 θ 由 0° 增大到 90°。
对滑块（隔离）：受重力 mg、凹槽的支持力 N（沿半径指向圆心）、推力 F（沿切线）。由平衡条件：
F = mg sinθ（一直增大），N = mg cosθ（一直减小）→ A、B 均错误。
对"凹槽 + 滑块"（整体）：水平方向——滑块对凹槽的压力沿"由圆心指向外"的方向，其水平分量大小为 N sinθ = mg cosθ sinθ = ½mg sin2θ，方向指向墙面；凹槽静止，故墙面对凹槽的压力大小等于 ½mg sin2θ。θ 从 0° 增大到 90° 时，sin2θ 先增大后减小（θ = 45° 时最大），故墙面对凹槽的压力先增大后减小，C 正确。
竖直方向——整体受重力 (M+m)g、地面的支持力 N地、推力 F（竖直分量 F sinθ 向上）：
N地 = (M+m)g − F sinθ = (M+m)g − mg sin2θ，随 θ 增大一直减小 → D 错误。
答案：C
方法提炼：滑块受力简单，用隔离法；凹槽受到的力复杂，用"接触面上的反作用力 + 整体法"更简捷。本题是"隔离 + 整体"交替使用的最典型范例。
变式2-4绳挂圆柱体木板转动动态平衡（2022·河北卷·7）
【题目】如图，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的 P 点，将木板以底边 MN 为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦。在转动过程中（）
A．圆柱体对木板的压力逐渐增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳上的拉力均先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力保持不变
图 3-10 变式 2-4 动态平衡（正弦定理法）
【答案】B
【解析】
圆柱体受三个力：重力 mg（恒定）、木板支持力 N（垂直木板，方向随木板转动而变化）、两绳拉力的合力 T（两绳等长对称，合力沿两绳角平分线方向；由于绳与木板夹角α不变，T与N的夹角始终为π−α）。
设木板与初始竖直方向夹角为β（β从0°变到90°），绳与木板夹角α不变。由力矢量三角形和正弦定理：
由正弦定理（拉密定理）：N/sin(β+α) = T/cosβ = mg/cosα 即 N = mg·sin(β+α)/cosα，T = mg·cosβ/cosα N 分析：β 由 0 增大到 90°，(β+α) 由 α 增大到 (90°+α)，sin(β+α) 先增大后减小（β+α = 90° 时最大），因此 N 先增大后减小 ，圆柱体对木板压力是N的反作用力，同样先增后减，B正确。 T = mg·cosβ/cosα，随 β 增大单调减小，不是先增后减，C错误。 两绳拉力的合力T是变化的（因为N在变），D错误。
【方法总结】本题是动态平衡难题，2022年河北卷的拉分题。核心方法是"正弦定理法（拉密定理）"：找到力三角形中不变的角和变化的角，把力表示为单变量三角函数，再用三角函数单调性分析极值。注意：两绳"合力"不是恒定的——三力平衡时只有"两力的合力"才与第三力等大反向，本题T和N都在变化，它们的合力才恒定等于mg的反方向（竖直向上）。
变式2-5通电导体棒在斜面上的安培力平衡（经典高频模型）
【题目】如图，在倾角为 α 的光滑斜面上，垂直纸面放置一根长为 L、质量为 m 的直导体棒，导体棒中通有大小为 I、方向垂直纸面向里的电流。欲使导体棒静止在斜面上，可以施加方向垂直于导体棒的匀强磁场。求磁感应强度的最小值和对应的方向。
图 3-11 变式 2-5 安培力平衡（左：B 垂直斜面；右：B 竖直时）
【答案】B_min = mgsinα/(IL)，方向垂直斜面向上（电流垂直纸面向里时，由 F = I L × B 判定）
【解析】
导体棒受三个力：重力 mg（竖直向下）、斜面支持力 N（垂直斜面向上，方向固定）、安培力 F=BIL（方向由左手定则，随B方向变化）。三力平衡，属于"一力恒定、一力方向固定、第三力大小方向都变"的动态模型——用图解法。
要使B最小（安培力最小），安培力方向应沿斜面向上（此时安培力与N垂直，安培力取极小值）。由左手定则：电流向里（×），F沿斜面向上，B方向垂直斜面向下。
沿斜面方向平衡：BIL = mgsinα 得 B_min = mgsinα/(IL)，B 垂直斜面向上。【拓展1】磁场竖直向上→安培力水平向右 ：BILcosα = mgsinα → B = mgtanα/(IL) 【拓展2】导体棒与斜面无挤压（N=0）→安培力竖直向上：BIL=mg → B=mg/(IL)，B方向水平向左。
【方法总结】安培力平衡问题本质仍是力学平衡，只是多了一个安培力，其方向由B和I共同决定（左手定则）。解题关键：①用左手定则正确判断安培力方向；②把安培力当作普通力，按正交分解或矢量三角形列平衡方程；③"最小磁场"类问题一律转化为"最小安培力"——安培力方向应沿最需要平衡的方向（通常是沿接触面切线方向），此时安培力最小。
变式2-6带电小球在匀强电场中的平衡
【题目】如图所示，竖直放置的平行板电容器间形成水平方向的匀强电场。一质量为 m、带电量为 +q 的小球用长为 L 的绝缘细线悬挂于正极板附近，平衡时细线与竖直方向夹角为 θ。求：（1）板间电场强度 E 的大小；（2）若剪断细线，小球的运动性质。
图 3-12 变式 2-6 带电小球在电场中平衡
【解析】
（1）小球受三个力：重力 mg（竖直向下）、电场力 qE（水平向右，正电荷沿E方向）、绳拉力 T（沿绳向左上方与竖直方向成θ角）。
水平方向：Tsinθ = qE 竖直方向：Tcosθ = mg 两式相除：tanθ = qE/mg → E = (mg·tanθ)/q 这就是用“偏角法”测量电场强度的经典模型（与密立根油滴实验“电场力平衡重力”的思路同源）。 （2）剪断细线后，拉力T消失，小球在恒力 mg 与 qE 的合力作用下做初速度为零的匀加速直线运动。 合力大小 F_合 = mg/cosθ，加速度 a = g/cosθ，方向沿原绳方向斜向下（与竖直方向成θ角）。
【方法总结】电场力参与的平衡与纯力学平衡方法完全一致——只是多了一个恒力（电场力）。若重力和电场力共存，常把二者合成为"等效重力"，所有力学模型（单摆、圆周运动、斜面等）都可以类比迁移。这是处理电磁学复杂运动的常用技巧。
变式2-7两球套在光滑圆环上的连接体难题（多选）
【题目】如图所示，一光滑圆环固定在竖直平面内，环上套着两个小球A和B（中央有孔），A、B间由细绳连接，它们处于图示位置时恰好都能保持静止。此时B球与环中心O处于同一水平面上，细绳与水平线成30°夹角。若B球的质量为m，下列说法正确的是（）
A．球A对圆环的作用力沿半径方向指向圆心 B．球A的质量为2m C．绳子所受拉力大小为2mg D．若圆环粗糙且与A球的动摩擦因数μ=0.5，则剪断细绳后A仍可保持静止
图 3-13 变式 2-7 两球套在光滑竖直圆环上
【答案】ABC
【解析】
这是一道经典的多物体连接体平衡难题。需分别隔离A、B两球受力分析。
先分析B球：B受重力mg（竖直向下）、圆环弹力N_B（沿半径OB向外，即水平向右）、绳拉力T（沿绳向左上方与水平成30°）。
B球竖直方向：Tsin30° = mg → T = 2mg（C正确） B球水平方向：N_B = Tcos30° = √3·mg
再分析A球：A受重力 m_A g（竖直向下）、圆环弹力 N_A（沿半径OA方向，光滑圆环弹力沿半径向外）、绳拉力 T=2mg（沿绳向右下方与水平成30°）。
几何推导：绳与水平成30°斜向左上方到B点，A在左上方。由几何关系，OA与竖直方向夹角为30°。
A球水平方向：N_Asin30° = Tcos30° → 0.5N_A = 2mg·(√3/2) → N_A = 2√3·mg A球竖直方向：N_Acos30° = m_Ag + Tsin30° → 3mg = m_Ag + mg → m_A = 2m（B正确） A选项：圆环对A的弹力沿半径背离圆心向外，由牛顿第三定律，A对圆环的反作用力沿半径指向圆心——A正确。 D选项：剪断细绳后，A在原位置受重力、环的支持力（沿半径向外）、静摩擦力（沿切线）。重力沿切线方向的分力为 2mg·sin30°=mg；最大静摩擦力 f_max=μN=0.5·2mg·cos30° = 0.5√3·mg≈0.866mg < mg，故A会下滑，D错误。
【方法总结】多物体连接体问题，"先隔离简单物体求绳拉力（内力），再隔离复杂物体"是基本策略。光滑圆环的弹力方向一定沿半径——这是关键几何约束。剪断绳后要重新受力分析，注意静摩擦力上限f_max=μN的计算以及切线方向下滑分力的比较。
请关注：
下载链接：第3期：高三一轮复习相互作用与共点力平衡连载—真题母题精讲（上）：三力静态平衡与动态平衡
前期阅读：
