第4期:高三物理一轮复习相互作用与共点力平衡连载—真题母题精讲(下):相似三角形 · 整体隔离 · 临界极值
- 2026-10-05 10:27:21
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母题 3 相似三角形法
【母题 3】
如图，半径为 R 的光滑球用长为 L 的细绳悬挂在竖直墙上的 A 点，球靠在竖直墙上处于静止。已知 A 到球与墙接触点 B 的距离为 h。求绳的拉力 T 和墙对球的支持力 N，并讨论 A 点沿墙上移时 T、N 如何变化。
图 3-14 母题 3 情境图
思路剖析
球受三个力：重力 G（竖直向下）、墙的支持力 N（水平，垂直于墙面）、绳的拉力 T（沿绳 AO 方向）。
这三个力的方向分别与几何三角形 △AOB 的三条边平行：T ∥ AO，N ∥ OB，G ∥ AB。因此力三角形 ∽ 几何三角形 △AOB。
规范解答
由相似三角形对应边成比例：
T / AO = N / OB = G / AB，即 T / L = N / R = G / h
故 T = GL / h ， N = GR / h
讨论：把 A 点沿墙缓慢上移，则 h = AB 增大，同时绳长 L = √(h2 + R2) 也随之增大。由 T = G√(1 + R2/h2)、N = GR/h 可知，h 增大时 T、N 都减小（"绳越长、悬挂点越高，越省力"）。
等价写法：设绳与竖直方向的夹角为 θ，则 h = L cosθ，R = L sinθ，于是 T = G/cosθ ，N = G tanθ。这与相似三角形法得到的结果完全一致，也说明"T 一定不小于 G"。
方法提炼：相似三角形法的识别信号是——题目给出的是一组长度（绳长、半径、高度），而力的方向恰好与某个几何三角形的三边平行。此时不要把长度代入力的方程，而是直接列"力 ∽ 长度"的比例式。
易错警示：把相似三角形的比例关系写成 T/R = N/L 之类的错位。写比例时，必须保证每个力与和它平行的那条边一一对应。
变式 3-1（2023·浙江卷）
如图，轻质网兜兜住重力为 G 的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的 A 点，轻绳的拉力为 FT，墙壁对足球的支持力为 FN，则（ ）
A. FT < FN B. FT = FN C. FT > G D. FT = G
图 3-15 变式 3-1
解析：足球受到重力 G、墙的支持力 FN（水平、垂直于墙）、网兜通过球心沿 AO 方向的拉力 FT，三力平衡。设绳与竖直方向的夹角为 θ，则
FT cosθ = G → FT = G / cosθ > G；
FN = G tanθ。
由于 cosθ < 1，故 FT > G 恒成立，且 FT 一定大于 FN（因 tanθ < 1/cosθ 并不总成立，但本题中 θ 较大，FT > G 是确定结论）。
答案：C
方法提炼：本题可直接用相似三角形法（FT/L = FN/R = G/h）快速得到，也可用正交分解。两种方法的结论必须一致，可作为检验。
变式 3-2（2025·黑吉辽蒙卷）
如图，趣味运动会的"聚力建高塔"活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率 v 相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则 v（ ）
A. 一直减小 B. 一直增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
图 3-16 变式 3-2
解析：设绳长为 L，绳与竖直方向的夹角为 θ，两手到塔块的竖直距离为 h = L cosθ，两手水平间距的一半为 x = L sinθ。
由于绳长不变，且塔块沿竖直方向匀速下落（速度大小 u 不变），h 增大 → cosθ 增大 → θ 减小。
把手的速度沿绳方向（v绳 = v sinθ，因为手沿水平方向运动）和垂直于绳方向分解；塔块下落的速度沿绳方向的分量为 u cosθ。由于绳不可伸长，两者沿绳方向的速度必须相等：
v sinθ = u cosθ → v = u / tanθ
塔块匀速下落时 θ 不断减小，tanθ 不断减小，故 v 一直增大。
答案：B
方法提炼："绳（杆）不可伸长"的约束条件——两端沿绳方向的速度分量相等。这类题是"受力平衡 + 运动合成与分解"的结合，一轮复习中要作为跨模块题型重点训练。
母题 4 整体法与隔离法
【母题 4】
如图，质量 M = 2 kg 的斜面体 B 放在水平地面上，斜面倾角 θ = 30°。质量 m = 1 kg 的物块 A 放在 B 的斜面上，用沿斜面向上的拉力 F 拉 A，使 A 沿斜面匀速上滑，B 始终保持静止。已知 A 与 B 之间的动摩擦因数 μ = √3/3，g 取 10 m/s2。求：
(1) 拉力 F 的大小； (2) 地面对 B 的摩擦力大小和方向； (3) 地面对 B 的支持力大小。
图 3-17 母题 4 情境图与整体受力图
思路剖析
求"A 与 B 之间的作用力（内力）"用隔离法；求"地面对 B 的作用力（外力）"用整体法。第(1)问针对 A，第(2)(3)问针对 A + B 整体。
规范解答
(1) 隔离 A：垂直斜面方向 N₁ = mg cos30° = 1 × 10 × (√3/2) N = 5√3 N ≈ 8.66 N；
A 匀速上滑，沿斜面方向：F = mg sin30° + μN₁ = 5 N + (√3/3) × 5√3 N = 5 N + 5 N = 10 N。
(2)(3) 整体（A + B）：受总重力 (M+m)g = 30 N（竖直向下）、拉力 F（沿斜面向上，与水平方向成 30°）、地面对 B 的支持力 N地（竖直向上）、地面对 B 的摩擦力 f地（水平）。
水平方向：F cos30° − f地 = 0 → f地 = 10 × (√3/2) N = 5√3 N ≈ 8.66 N，方向水平向左（与 F 的水平分量方向相反）。
竖直方向：N地 + F sin30° − (M+m)g = 0 → N地 = 30 N − 10 × 0.5 N = 25 N。
答案：(1) 10 N；(2) 5√3 N，水平向左；(3) 25 N。
方法提炼：整体法中，A 与 B 之间的压力、摩擦力等内力自动抵消，方程更简单。但使用整体法前必须确认"各物体的加速度相同（含相对静止）"。
易错警示：整体法列方程时忘记把 F 分解（F 沿斜面方向，既有水平分量又有竖直分量）；或误以为地面对 B 的支持力等于 30 N。
变式 4-1（2025·北京卷）
如图，长方体物块叠放在斜面上，B 受到一个沿斜面方向的拉力 F，两物块保持静止，B 受力的个数为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
图 3-18 变式 4-1
解析：按照"一重二弹三摩四场"的顺序逐个核查。
先隔离 A（受力少，先分析它）：A 受重力、B 对 A 的支持力；由于 A 静止在斜面上，若只有这两个力，A 将沿斜面下滑，故 A 还必须受到 B 对它沿斜面向上的静摩擦力。A 共受 3 个力。
再隔离 B：
• ① 重力；
• ② 斜面对 B 的支持力；
• ③ 斜面对 B 的摩擦力；
• ④ 拉力 F；
• ⑤ A 对 B 的压力（支持力的反作用力）；
• ⑥ A 对 B 的摩擦力（A 所受摩擦力的反作用力）。
共 6 个力。
答案：C
方法提炼：判断受力个数时，从受力最少的物体入手（先 A 后 B），再借助牛顿第三定律把"反作用力"补全，可以避免漏力或重复。
变式 4-2（2023·山东卷）
如图，一轻质光滑定滑轮固定在倾斜木板上，质量分别为 m 和 2m 的物块 A、B 通过不可伸长的轻绳跨过滑轮连接，A、B 间的接触面和轻绳均与木板平行。A 与 B 间、B 与木板间的动摩擦因数均为 μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当木板与水平面的夹角为 45° 时，物块 A、B 刚好要滑动，则 μ 的值为（ ）
A. 1/3 B. 1/4 C. 1/5 D. 1/6
图 3-19 变式 4-2
解析：A 叠放在 B 上，绳跨过定滑轮后两端分别拉 A、B，且都沿木板方向、指向滑轮（即都使物体有沿斜面向上的运动趋势）。
隔离 A（质量 m）：A、B 之间的正压力 N₁ = mg cos45°，滑动摩擦力 f₁ = μmg cos45°。A 有相对 B 沿斜面向上滑动的趋势，故 B 对 A 的摩擦力沿斜面向下。平衡条件：
T = mg sin45° + μmg cos45° …①
隔离 B（质量 2m）：B 与木板之间的正压力 N₂ = (m + 2m)g cos45° = 3mg cos45°，滑动摩擦力 f₂ = μ·3mg cos45°；又受到 A 对 B 沿斜面向上的摩擦力 f₁ = μmg cos45°。平衡条件：
2mg sin45° = T + f₁ + f₂ = T + μmg cos45° + 3μmg cos45° …②
把①代入②：
2mg sin45° = mg sin45° + 5μmg cos45° → mg sin45° = 5μmg cos45°
故 μ = tan45° / 5 = 1/5。
答案：C
方法提炼：多个物体与多个接触面时，每个接触面的正压力都要单独求。B 与木板间的正压力是 (m + 2m)g cos45°，而 A、B 之间只有 mg cos45°——这是本题最容易被混为一谈的地方。
变式 4-3（2024·湖北卷）
如图，两拖船 P、Q 拉着无动力货船 S 一起在静水中沿图中虚线方向匀速前进，两根水平缆绳与虚线的夹角均保持为 30°。假设水对三艘船在水平方向的作用力大小均为 f，方向与船的运动方向相反，则每艘拖船发动机提供的动力大小为（ ）
A. √3f/2 B. 3f/2 C. 2f D. 3f
图 3-20 变式 4-3
解析：
隔离货船 S：两绳拉力 T 对称，均与运动方向成 30°。沿运动方向：
2T cos30° = f → T = f / (2cos30°) = f/√3 ≈ 0.58f
隔离拖船 P：沿运动方向受发动机动力 F推、水的阻力 f（与运动方向相反）、以及绳对它的拉力 T（与运动方向成 30°，方向向后）：
F推 = f + T cos30° = f + (f/√3) × (√3/2) = f + 0.5f = 1.5f
答案：B（3f/2）
方法提炼：同一道题里"隔离货船求绳的张力、再隔离拖船求动力"，是隔离法两步走的典型结构。注意绳对拖船的拉力方向是"向后斜"的，其沿运动方向的分量会增大所需的动力。
变式 4-4（2024·浙江卷）
如图，在同一竖直平面内，小球 A、B 上系有不可伸长的细线 a、b、c 和 d，其中 a 的上端悬挂于竖直固定的支架上，d 跨过左侧定滑轮、c 跨过右侧定滑轮分别与相同配重 P、Q 相连，调节左、右两侧定滑轮高度达到平衡。已知小球 A、B 和配重 P、Q 质量均为 50 g，细线 c、d 与水平方向均成 30°（不计摩擦，g 取 10 m/s2），则细线 a、b 的拉力分别为（ ）
A. 2 N，1 N B. 2 N，0.5 N C. 1 N，1 N D. 1 N，0.5 N
图 3-21 变式 4-4
解析：细线 a 竖直吊住 A（A 又通过 b 拉住 B），因此 a 实际上要承担 A、B 两球的总重力。细线 c、d 的张力由配重决定：Tc = Td = Mg = 0.05 × 10 N = 0.5 N。
整体（A + B）：竖直方向只有 a 的拉力与两球总重力平衡：
Ta = (mA + mB)g = 0.1 × 10 N = 1 N
隔离小球：该球受重力 mAg、c（或 d）的拉力与 b 的拉力，三力平衡。取竖直方向：
Tb sinα + Tc sin30° = mAg → Tb sinα = 0.5 − 0.5 × 0.5 = 0.25 N
取水平方向：Tb cosα = Td cos30° = 0.5 × (√3/2) ≈ 0.433 N
联立得 tanα = 0.25/0.433 = √3/3，即 α = 30°，故
Tb = 0.25 N / sin30° = 0.5 N
答案：D（Ta = 1 N，Tb = 0.5 N）
方法提炼：先用整体法快速求出"悬吊系统的绳张力"（a 绳承担两球总重），再用隔离法求两球之间的绳张力（b 绳）。这正是"先整体后隔离"的标准次序。
母题 5 临界与极值（三角函数的极值）
【母题 5】
质量为 m 的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为 μ。现用与水平方向成 θ 角的斜向上拉力 F 拉物体，使物体沿水平面匀速前进。求 F 的最小值及此时对应的 θ。
图 3-22 母题 5 情境图与解析式
思路剖析
① 研究对象：水平面上的物体（匀速 ⇒ 处于平衡态，ΣF = 0）。② 受力：重力 mg、支持力 N、滑动摩擦力 f = μN、斜向上的拉力 F。③ 关键：N 不再等于 mg，因为 F 有竖直分量 F sinθ 把物体向上"提"，N = mg − F sinθ。④ 求极值：先写出 F(θ) 的函数式，再用辅助角公式。
规范解答
受力分析：重力 mg（向下）、支持力 N（向上）、摩擦力 f（与运动方向相反，水平）、拉力 F（斜向上，与水平成 θ）。
竖直方向：N + F sinθ = mg → N = mg − F sinθ
水平方向：F cosθ = f = μN = μ(mg − F sinθ)
整理得 F = μmg / (cosθ + μ sinθ)
令 cosθ + μsinθ = √(1+μ2) · sin(θ + φ)，其中 tanφ = 1/μ。当 θ + φ = 90°，即 θ = arctanμ 时，分母取最大值 √(1+μ2)，F 取最小值：
Fmin = μmg / √(1+μ2)
取 μ = √3/3，则 θ = arctan(√3/3) = 30°，Fmin = mg/2。
方法提炼：这类"含三角函数的极值"问题的通用套路是——先用平衡条件写出目标量关于 θ 的函数，再用"辅助角公式"化为 √(1+μ2)sin(θ+φ) 求最值。务必记住结论：最省力的拉力的方向由 tanθ = μ 决定。
拓展（自锁）：若把"斜向上拉"改为"斜向下推"，则 N = mg + F sinθ，F = μmg/(cosθ − μsinθ)。当 tanθ ≥ 1/μ（即 θ ≥ arctan(1/μ)）时分母 ≤ 0，无论 F 多大都推不动——这就是摩擦自锁。
变式 5-1（2025·浙江卷）
中国运动员以 121 公斤的成绩获得 2024 年世界举重锦标赛抓举金牌，举起杠铃稳定时的状态如图所示。重力加速度 g 取 10 m/s2，下列说法正确的是（ ）
A. 双臂夹角越大受力越小
B. 杠铃对每只手臂作用力大小为 605 N
C. 杠铃对手臂的压力和手臂对杠铃的支持力是一对平衡力
D. 在加速举起杠铃过程中，地面对人的支持力大于人与杠铃总重力
图 3-23 变式 5-1
解析：杠铃重力 G = mg = 121 × 10 N = 1210 N。
A. 设每只手臂与竖直方向的夹角为 φ，两手臂的力的竖直分量之和等于杠铃重力：2F cosφ = G，即 F = G/(2cosφ)。双臂夹角越大 → φ 越大 → cosφ 越小 → F 越大。A 错误。
B. 杠铃对手臂的作用力是弹力与摩擦力的合力，其大小大于竖直分量 G/2 = 605 N。B 错误。
C. 杠铃对手臂的压力与手臂对杠铃的支持力作用在两个不同物体上，是一对作用力与反作用力，不是平衡力。C 错误。
D. 加速举起杠铃时，人与杠铃整体的加速度方向向上，处于超重状态，地面对人的支持力大于总重力。D 正确。
答案：D
方法提炼：本题把"力的合成（2F cosφ = G）""作用力与反作用力 vs 平衡力""超重失重"三个知识点串在一道题里，是一轮复习中最值得反复琢磨的"小综合题"。
易错警示：B 项故意把"弹力"说成"作用力"。手臂对杠铃的作用力包含弹力和摩擦力，其合力必须大于（而不是等于）G/2。
变式 5-2（2022·重庆卷）
如图，吸附在竖直玻璃上质量为 m 的擦窗工具，在竖直平面内受重力、拉力和摩擦力（图中未画出摩擦力）的共同作用做匀速直线运动。若拉力大小与重力大小相等，方向水平向右，重力加速度为 g，则擦窗工具所受摩擦力（ ）
图 3-24 变式 5-2
解析：工具在竖直平面内做匀速直线运动，该平面内合力为零。
重力 mg 竖直向下，拉力 F = mg 水平向右，两者的合力为 √(mg)2 + (mg)2 = √2mg，方向与水平方向成 45° 斜向右下。
由平衡条件，摩擦力 f 必须与前两者的合力等大反向，故
f = √2mg，方向与水平方向成 45° 斜向左上。
答案：大小为 √2mg，方向斜向左上、与水平方向成 45°。
方法提炼："受三个力而做匀速直线运动"时，任意两个力的合力必与第三个力等大反向——本题即"重力与拉力的合力 = 摩擦力的反向量"。
变式 5-3（2025·黑吉辽蒙卷）
书法课上，某同学临摹"力"字时，笔尖的轨迹如图中带箭头的实线所示。笔尖由 a 点经 b 点回到 a 点，则（ ）
A. 该过程位移为 0 B. 该过程路程为 0
C. 两次过 a 点时速度方向相同 D. 两次过 a 点时摩擦力方向相同
图 3-25 变式 5-3
解析：
A. 笔尖由 a 点出发最后又回到 a 点，初、末位置相同，故位移为零。A 正确。
B. 笔尖经过的轨迹长度不为零，故路程不为零。B 错误。
C. 两次经过 a 点时，轨迹在 a 点的切线方向不同，故速度方向不同。C 错误。
D. 摩擦力方向与笔尖相对运动的方向（即速度方向）相反，速度方向不同，故摩擦力方向也不同。D 错误。
答案：A
方法提炼：判断摩擦力方向的标准程序是"三步走"——①确定研究对象与接触面的相对运动（趋势）方向；②摩擦力方向与之相反；③摩擦力方向一定与接触面相切。务必区分"速度方向"与"相对运动方向"（如传送带上物体与带同向运动但速度不同时）。
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