中考复习第07讲 | 一元二次方程：四大解法+判别式+韦达定理+应用题全攻略（12题精练）

初中数学 · 中考一轮复习 · 第 07 讲

📌 本讲导读
一元二次方程是中考核心考点中的核心：单独考查约 15 分，还是二次函数的地基。四条主线：概念辨析看 a≠0、解法会选更省时、判别式含参要"双检查"（Δ 与二次项系数）、韦达定理必须先验 Δ≥0。应用题三大高频模型（传播、增长率、面积）解完必须检验实际意义，负根要舍。

一、知识清单

1. 概念与一般形式
只含一个未知数、最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），a 是二次项系数、b 是一次项系数、c 是常数项。
⚠️ 判断前先化成一般形式；题目说"是一元二次方程"就隐含 a≠0——含参概念题一定是"指数=2"与"系数≠0"两个条件同时满足。

2. 四种解法（核心思想：降次）
① 直接开平方法：形如 (mx+n)²=p（p≥0），开方得两解；
② 配方法：二次项系数化 1 → 移项 → 两边加"一次项系数一半的平方"；
③ 因式分解法：口诀"右化零，左分解，两因式，各求解"——最优先使用；
④ 公式法：x=(−b±√(b²−4ac))/(2a)，万能但计算量大。
选择顺序：能开方先开方，能分解必分解，最后才用公式法。

3. 根的判别式 Δ=b²−4ac
Δ＞0 ⇔ 两个不相等的实根；Δ＝0 ⇔ 两个相等的实根；Δ＜0 ⇔ 无实根。
⚠️ 含参题两条红线：先化一般形式再取系数；若二次项系数含参，必须同时加 a≠0。

4. 根与系数的关系（韦达定理）
x₁+x₂=−b/a，x₁·x₂=c/a。使用前提：a≠0 且 Δ≥0。
常用变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂)；|x₁−x₂|=√((x₁+x₂)²−4x₁x₂)。

🔑 记忆卡：解法选择口诀——"无一次项开平方，能分解来先分解，配方法救特殊形，公式法是万能牌"。韦达定理三字诀：先判 Δ。

二、题型精讲

题型一解法选择与防丢根
解方程：3x(x−2)=2(x−2)。
💡 思路：两边同除以 (x−2) 得 x=2/3？错误！丢根了——(x−2) 可能等于 0。正确做法：移项提公因式 (x−2)(3x−2)=0，得 x=2 或 x=2/3。含未知数的因式绝不能约去，一约丢一解。

题型二判别式+韦达定理"双防线"
已知关于 x 的方程 x²−4x+2k=0 的两个实数根均为正数，求 k 的取值范围。
💡 思路：防线一，两个不相等的正根需 Δ＞0：16−8k＞0 ⇒ k＜2；防线二，韦达定理：x₁+x₂=4＞0 恒成立，x₁x₂=2k＞0 ⇒ k＞0。取交集得 0＜k＜2。根的正负用积判，根是否存在用 Δ 判，缺一不可。

题型三传播问题（应用高频）
一人患流感，每轮传染中平均一人传染 x 人，两轮传染后共有 144 人患病，求 x。
💡 思路：传染源要计入总数——第一轮后共 (1+x) 人，第二轮后 (1+x)² 人。列方程 (1+x)²=144 ⇒ 1+x=12（负值舍）⇒ x=11。区分：传播问题 (1+x)²，分裂问题 x²，看源头算不算进去。

三、考点速查表

四、巩固 12 题

1. 下列方程中，是关于 x 的一元二次方程的是（　）
   A．2x²−√3 x+1=0　B．x²+1/x=3　C．x(x+1)=x²−2　D．2x²−y+1=0
2. 若方程 (m−1)x^(m²+1)−2x=5 是关于 x 的一元二次方程，则 m=______。
3. 方程 2x²−3x−4=0 的二次项系数、一次项系数、常数项之和为______。
4. 解方程：(2x−1)²=9，则 x=______。
5. 用配方法解方程 x²+4x−1=0，配方后得到（　）
   A．(x+2)²=1　B．(x+2)²=3　C．(x+2)²=5　D．(x−2)²=5
6. 解方程：x²−3x=2x−6，则 x=______。
7. 关于 x 的方程 x²−2x+k=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是______。
8. 关于 x 的方程 mx²−2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是______。
9. 已知 x₁、x₂ 是方程 x²−3x+1=0 的两根，则 x₁²+x₂²=______。
10. 已知关于 x 的方程 x²−(k+1)x+k−2=0 的两实数根 x₁、x₂ 满足 x₁²+x₂²=6，则 k=______。
11. 某工厂 2 月份产值 500 万元，4 月份产值 720 万元，设月平均增长率为 x，列出方程并求 x。
12. 一块长 20m、宽 12m 的矩形绿地，内部修建两条宽相等且互相垂直的小路（如图平移后剩余部分为矩形），剩余绿化面积 180m²，求小路的宽。

五、逐题解析

1. A
   。A 符合定义 ✓；B 分母含未知数，是分式方程；C 化简后 3x=−2 是一次方程（先化简再判断）；D 含两个未知数。⚠️ 判断三步：整式方程→一个未知数→最高次 2。
2. m=−1
   。指数条件：m²+1=2 ⇒ m=±1；系数条件：m−1≠0 ⇒ m≠1。取交集 m=−1。两个条件缺一不可。
3. −5
   。2+(−3)+(−4)=−5。各项系数必须在一般形式下确定，别忘带符号。
4. x=2 或 x=−1
   。2x−1=±3 ⇒ 2x=4 或 2x=−2。开平方必须正负两种情况都写，漏负根是最常见错误。
5. C
   。x²+4x−1=0 移项得 x²+4x=1，两边加 (4/2)²=4，得 (x+2)²=5。⚠️ 常数项是"一次项系数一半的平方"，且等号两边要同时加。
6. x=2 或 x=3
   。移项得 x²−5x+6=0，因式分解 (x−2)(x−3)=0。十字相乘：拆 −5 和 +6 → −2 与 −3。
7. k＜1
   。Δ=(−2)²−4k=4−4k＞0 ⇒ k＜1。方程已是一般形式，二次项系数 1≠0 无需讨论。
8. m≤1
   。⚠️ 陷阱题！m=0 时方程为 −2x+1=0，有实根 ✓；m≠0 时需 Δ=4−4m≥0 ⇒ m≤1。两者取并集得 m≤1。题目说"有实数根"而非"一元二次方程"，所以不用排除 m=0。
9. 7
   。韦达定理：x₁+x₂=3，x₁x₂=1；x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=9−2=7。代回验证：方程根为 (3±√5)/2，平方和 (7+√5)/2+(7−√5)/2=7 ✓。使用前 Δ=9−4=5＞0 自动满足。
10. k=1 或 k=−1
    。x₁+x₂=k+1，x₁x₂=k−2；x₁²+x₂²=(k+1)²−2(k−2)=k²+5=6 ⇒ k=±1。检验 Δ=(k+1)²−4(k−2)=k²−2k+9=(k−1)²+8＞0 恒成立，两个值都保留 ✓。
11. 方程 500(1+x)²=720，x=20%
    。500(1+x)²=720 ⇒ (1+x)²=1.44 ⇒ 1+x=1.2（负值舍）⇒ x=20%。验算：500×1.2=600（3月），600×1.2=720 ✓。增长率问题必舍负根。
12. 路宽 2 米
    。平移法：剩余部分看成矩形 (20−x)(12−x)，列方程 (20−x)(12−x)=180 ⇒ x²−32x+60=0 ⇒ (x−2)(x−30)=0 ⇒ x=2 或 30（舍，路宽不能超过绿地宽）。验算：18×10=180 ✓。

🧠 方法速记卡
① 含参概念题：指数=2 与 系数≠0 双条件取交集；
② 防丢根：含未知数的因式禁止两边约去，必须移项提公因式；
③ 解法优先级：开平方 → 因式分解 → 配方法 → 公式法；
④ 判别式含参：先化一般形式，二次项系数含参再加 a≠0；"有实数根"还要单独讨论 a=0；
⑤ 韦达定理：先用 Δ≥0 验资，再用对称式变形（平方和、倒数和、差的绝对值）；
⑥ 应用题：传播 (1+x)²、分裂 x²、增长率 a(1±x)²=b、面积用平移——解完必舍不合实际的根。

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