硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答放缩：

左边：

右边：

由夹逼准则：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，且存在使得。证明：存在，使得。

证明在和处对泰勒展开：

即

若：，由(1)，若，则，不可能，故，。 若：，同理得。 因此存在，使得。

题3（16分）积分不等式

设在连续，，。证明：存在一点，使得。

证明令，则。 分部积分：

，故。，由罗尔定理，：

假设。 不妨。由拉格朗日中值定理：

再用泰勒，在展开，， 结合有界可推出矛盾。 故存在，。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 对任意，，收敛，故逐点收敛。

求上确界：，临界点。

发散，M判别法失效。

取点列，余项

余项不能一致趋于0，因此级数在不一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原方程：

化简：

题6（16分）曲线积分

：从沿右半圆周到。

解答

补直线段，，构成闭合曲线，逆时针。格林公式：

计算上积分：

题7（16分）曲面积分

：上半球面，取上侧。

解答补底面，取下侧。构成闭合曲面外侧。高斯公式：

：，取下侧，：

1994卷特点小结

1. 题1夹逼准则求和式极限；题2泰勒中值不等式；
2. 题3利用变上限积分+多次罗尔定理；
3. 题4函数项级数一致收敛判别，上确界法；
4. 题5二阶PDE变量替换；题6格林公式补直线；题7上半球高斯公式。