硕士研究生入学模拟考试题16 数学分析试题(回忆版)
- 2026-10-10 16:52:44
硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）
重要说明：当年不对外公开试卷，此版本为考生回忆整理版，参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共6大题，风格延续85、86，综合性强，计算+证明并重。
题1（18分）
证明函数
在上有界，在上无界。
证明记，。
① ：分部积分
当，$0<f(x)<\dfrac1x\le1$； $x\in[0,1]$，$f(x)$连续，故有界。因此$f(x)$在$[0,+\infty)$有界。<="" p="">
② ，令：
故在上无界。
题2（18分）计算两个积分
(1) (2) ，由围成。
解答(1)
令，或者换元，，。
(2) 区域：；对固定：
内层：
令，
题3（18分）
设，求证级数收敛。
证明是生成函数：，其中是斐波那契数列。 泰勒展开：，对比系数：
斐波那契数列通项：。
是公比的等比级数，收敛。由比较判别法，收敛，即收敛。
题4（16分）
设在连续，在可导，且；存在常数，使得。证明：。
证明设。先证在恒为0。。任取，由拉格朗日中值定理：
令，存在。
等号成立要求。若，则。 取，则，推出，故。 所以。 重复这个论证，分段向右推进，得到在。
题5（15分）
设在区间上一致收敛到；每个在上一致连续。证明：极限函数在上一致连续。
证明， ① 一致收敛：，。固定一个。 ② 一致连续：，当，有。
于是
因此在一致连续。
题6（15分）
设为椭球面外侧。计算曲面积分
解答高斯公式，为椭球内部。
作广义球坐标变换：
Jacobi行列式：，。
。
代入：
87卷特点小结
题1是高斯误差函数的渐近估计，经典估计题； 题3是斐波那契数列生成函数，难度偏高，属于当年拉分题； 题4是Gronwall不等式的一维简单版本，常考证明； 题5一致收敛+一致连续，基础证明； 题6椭球高斯公式+广义球坐标，计算量大。
研究Kronecker引理得到的新题目，指出某公众号推文中题目缺失一个条件
题目1：设,则
注记1： 题目1中的条件是结论成立的充分条件，不是必要条件。取,容易知道
但是不存在。
Kronecker在不同于条件下证明了下面结果：
题目2：设是单调减少且, 收敛,证明
注记2： 题目2的证明关键用到下面著名的阿贝尔恒等式：
阿贝尔恒等式： 设数列,，记
则对于任意成立等式
证明： 根据定义
对第二项使用,则
【证明完毕】
我们证明下面题目：
题目3：设, 数列是单调减少且，且收敛，证明
证明： 记
根据条件极限存在，设
注意
由于数列是单调减少且，所以单调增加且为无穷大量。根据Stolz定理，得到
立即得到
【证明完毕】
注记3： 显然，当时，题目3退化为题目2.因此题目3推广了题目2.另外题目3中的条件不可缺。否则，由于对时要求严格单调增加且为无穷大量，所以证明过程中Stolz定理不能用，从而证明通不过！某公众号的推文缺失了条件，应该不合理。
注记4： 当，,时，题目3退化为：
题目4：设收敛，证明
注记5： 当, 时，题目4退化为：
题目5：设, 收敛，证明
下面的题目大家一定熟悉：
