硕士研究生入学模拟考试题17 数学分析试题(回忆版)
- 2026-10-10 16:49:58
硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，带参考答案）
说明：官方从未公开发布原版试卷，下面为当年考生回忆整理版本，参考答案为后世数学爱好者推导，非官方标答。整套共9大题，风格和1985年接近，侧重证明、级数、一致收敛、多元微积分。
题1（一致收敛，10分）
设在上，函数列一致收敛，一致收敛；并且存在正数列，使得。证明：在上一致收敛。
证明
一致收敛，故一致有界：；同理有界。，当：
代入：
故在一致收敛。
题2（数列极限，10分）
设，且极限存在。证明：。
证明（反证）假设。取满足。 由极限定义，，当：
递推：
与矛盾。因此。
注：时数列可以趋于0，例如。
题3（一元微分中值，12分）
设在连续，二阶可导，，且存在使得。求证：存在使得。
证明对分别在用拉格朗日中值定理：
再对在用拉格朗日：
分母
得证。
题4（含参反常积分，12分）
求。
解答Frullani积分；或者积分号下求导。
积分：。令，。
题5（级数，12分）
设，级数收敛。证明：收敛，其中。
证明柯西不等式：
已知收敛；，收敛。 部分和有上界，正项级数部分和单调有界，故收敛。
题6（多元微分，12分）
设满足方程。作变换
把方程改写为的偏微分方程。
解答
代入：
方程化为：。
题7（曲面积分，12分）
计算曲面积分
为球面外侧。
解答高斯公式：球体
被积函数是奇函数，球体关于坐标面对称，积分=0。
题8（积分不等式，10分）
设在连续可微，。证明：
证明，柯西不等式：
两边积分：
证毕。
题9（多元连续与介值，10分）
设，在连续。记
求证：集合有无穷多个点。
证明设。
若，恒等于常数，整个正方形内无穷多点满足。 若$m
非空开集。取，连续函数沿连接的连续曲线，必存在点满足。有无穷多条这样的曲线，得到无穷多个点。 3. 若，则且积分等于，连续推出，回到情况1；同理。 综上，满足有无穷多点。
备考小结（85+86北大数分两套试卷共性）
高频：一致收敛、柯西不等式、泰勒/拉格朗日中值、积分不等式、格林/高斯公式、含参反常积分、正项级数判别 特色：喜欢考反证法，很多证明题用反证； 难点：第3、8、9这种综合性证明，是拉开分差的地方。
如果你想要，我可以： 方案A：把这份1986拆成纯题目版（不带答案，闭卷自测）
第十四届大学生数学竞赛（数学类）极限一题探讨
题目：设
计算
联想题目1：设
证明：
联想题目2：设
证明：
联想题目3：设
证明：
改造题目：设, ,且
计算
解： 根据条件
则
则
定理：设在区间可积分，
则
注意: 当在连续时，对区间分割为等分，则
事实上，由于, 任意, 已知连续，得到存在满足
且存在，满足
且
我们有
这就得到结论
因此
下面证明：
首先证明（1）： 任意, 因为,所以存在满足
所以
所以
由于任意，所以
得到
这就证明了(1).同理可以证明(2).对于(3),注意
及
可以证明
利用夹逼法则得到(3).
综上所述
【解题完毕】
注记： 当,时，则得到竞赛题的结果为.本题在经典题目基础上推广，解决方法很多，确实是好题。
注记： 可以证明？
题目：设, ,且
计算
