高三二轮复习·函数的性质专题
- 2026-10-13 04:33:55
高三二轮复习·函数的性质专题
考点题型图谱｜例题解析｜全题型覆盖
适用范围：新高考数学一轮/二轮复习。本专题覆盖单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值与性质综合六大模块。
函数的性质：六把钥匙，一次配齐 🔑
二轮复习的真相：不是题刷得不够，是「函数性质」这把万能钥匙，你只拿了一半。
高三二轮，函数永远是那块"看着会、考就废"的硬骨头。单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、综合——六个词，背了忘、忘了背。
今天这篇不跟你讲玄学，只给你一张考点图谱 + 24 道母题 + 20 道练习，把函数的性质一次钉死。
建议用法：先吃透下面的图谱，再刷例题，最后对账自查。别一上来就闷头算。
一、考点图谱（先看图，再填表）
背下这两张表再去刷题，效率至少翻倍。
表 1 六大考点模块 · 常考题型 · 频率 · 破题钥匙
模块 | 常考题型 | 频率 | 破题钥匙 |
① 单调性 | 求单调区间；利用单调比大小、解不等式 | 高 | 定义法或导数法；注意定义域与区间端点的取舍 |
② 奇偶性 | 判断奇偶；求参数；奇偶+单调/周期综合 | 高 | 定义域关于原点对称是前提；再算 f(−x) |
③ 周期性 | 求周期；周期+奇偶求函数值 | 中 | f(x+T)=f(x)；把大自变量化到已知区间 |
④ 对称性 | 图象关于点/线对称判断 | 中 | 奇偶即关于 y 轴/原点对称；f(a+x)=f(a−x) 为轴对称 |
⑤ 最值 | 单调/导数求最值；含参最值 | 中 | 单调性端点或导数临界点；含参分类讨论 |
⑥ 性质综合 | 多性质交织求参、求值 | 高 | 逐条翻译为代数条件，综合运用奇偶+周期+单调 |
表 2 六类母题 · 题型识别 · 标准动作
母题 | 题型识别 | 标准动作 |
单调性母题 | "比较大小""求单调区间""解不等式" | 取导数或作差，判增减 |
奇偶性母题 | "非奇非偶""求 a 使 f 为奇/偶" | 先查定义域对称，再算 f(−x) |
周期性母题 | "周期为 T""已知分段求 f(大数)" | 用周期把自变量化到已知段 |
对称性母题 | "图象关于…对称" | 化为 f(a+x)=f(a−x) 或 f(a+x)=−f(a−x) |
最值母题 | "求值域/最值""含参最值" | 导数求临界，分类讨论参数 |
综合母题 | "多条件求参 a""多性质求值" | 逐条翻译，联立求解 |
二、典型例题解析（例 1—例 24）
例题分两块：讲义原 11 例（例 1—例 11）+ 新高考增设 13 例（例 12—例 24），覆盖六大模块。
例 1 利用基本初等函数单调性比大小
已知 a>b>1，且 0<c<1，则（ ）
（A）aᶜ<bᶜ （B）aᵇ<bᵃ （C）cᵃ<cᵇ （D）log_c a>log_c b
解析A：幂函数 y=xᶜ（c>0）递增，a>b⇒aᶜ>bᶜ，A 不正确； B：取 a=3,b=2，则 3²=9，2³=8，9>8，B 不正确； C：因 0<c<1，指数函数 y=cˣ 递减，a>b⇒cᵃ<cᵇ，C 正确； D：log_c x 当 0<c<1 时为减函数，a>b 时为负（如 log_0.5 2=−1），D 不正确。
答案：C
例 2 判断函数的奇偶性
下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
（A）y=2ˣ （B）y=x³ （C）y=x² （D）y=x+1/x
解析A：令 f(x)=2ˣ，则 f(−x)=2⁻ˣ，既不相等也不互为相反数，故非奇非偶； B：f(−x)=−x³=−f(x)，是奇函数； C：f(−x)=x²=f(x)，是偶函数； D：f(−x)=−x−1/x=−f(x)，是偶函数。故选 A。
答案：A💡 当心：判断奇偶先验证定义域是否关于原点对称；A 这类"指数+一次"组合最易成非奇非偶。
例 3 由解析式判断图象对称性
函数 f(x)=ln(x+√(x²+1)) 的图象关于（ ） （A）y 轴对称 （B）原点对称 （C）x 轴对称 （D）直线 y=x 对称
解析定义域由 x+√(x²+1)>0 得 x∈R，关于原点对称。 f(−x)=ln(−x+√(x²+1))=−ln(x+√(x²+1))=−f(x)，故为奇函数，图象关于原点对称。故选 B。
答案：B💡 当心：对数真数大于 0；奇函数关于原点中心对称。
