九数双休日作业5：4道典型题，第（3）问卡死一片

这份周末作业共 24 题，选择 9 道、填空 7 道、解答 8 题，前 20 题大多是基础与中档，最后 4 道才是真正拉开差距的地方。

批完这份卷子，最典型的现象是：前面全会，最后 4 道题的（3）问几乎全空——不是算错，是根本没往下走。

本文所有答案均已逐题手工验算（用分数精确计算，不靠估算）。下面挑 4 道最有代表性的题详析：第16题（新定义）、第22题（函数交点与面积比）、第23题（定值不变量）、第24题（二次函数最值）——这 4 道题代表四种中考高频能力。其余 20 题的答案放在文末速查表，你可以先自己做、再对答案。

一、第16题：新定义题，把定义翻译成方程

第16题　对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点A(m, 2m)是这个函数的「二倍点」。已知二次函数 y=x²+3x+k。
（1）若点A(1, 2)是这个函数的「二倍点」，求此函数另一个「二倍点」B的坐标；
（2）若此函数有两个相异的「二倍点」A(m, 2m)、B(n, 2n)，且m<1<n，求k的取值范围。

通法：新定义题不要怕，第一步永远是「把定义翻译成方程」。点(m, 2m)在函数 y=x²+3x+k 的图象上，即 2m=m²+3m+k，化简得 m²+m+k=0。也就是说，「二倍点」的横坐标，就是这个方程的根。定义一旦变成方程，剩下的都是熟悉的代数。

解（1）：A(1, 2)是二倍点，把m=1代入方程：1+1+k=0，得k=−2。
方程变为 m²+m−2=0，即(m+2)(m−1)=0，所以m=1或m=−2。
A对应m=1，另一个「二倍点」B的横坐标为−2，此时纵坐标为2×(−2)=−4，所以B(−2, −4)。

解（2）：方程 m²+m+k=0 有两个相异实根m、n，且m<1<n，即1 被夹在两根之间。
令 g(t)=t²+t+k，它的图象开口向上。两根之间函数值为负，所以 g(1)<0，
即 1+1+k<0，解得 k<−2。

检验一下：取 k=−3，方程 t²+t−3=0 的两根为 −1+√132 与 −1−√132，约等于 1.30 与 −2.30，一根大于1、一根小于1，符合题意。

易错点：「1在两根之间」对应的是 g(1)<0，方向千万别写成 >0。检验方法很简单：代一个具体 k 进去，看两根的位置对不对。

一句话小结：新定义题 = 翻译定义 + 常规计算。会翻译，20分的定义题就是7分的代数题。

二、第22题：函数交点与面积比，三问连着走

第22题原图：一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点

第22题　如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=6x 的图象交于A(−1, m)、B(n, −3)两点，一次函数 y=kx+b 的图象与y轴交于点C。
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式 kx+b>6x 的解集；
（3）点P为x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标。

通法：两函数交点问题的固定三步——① 交点在反比例函数上，用 xy=6 求出坐标；② 用待定系数法求解析式；③ 图象题先画图找交点，再看图象位置写不等式。

解（1）：点A(−1, m)在 y=6x 上，所以 −1×m=6，得m=−6；
点B(n, −3)在其图象上，n×(−3)=6，得n=−2。
把 A(−1, −6)、B(−2, −3) 代入 y=kx+b：
−k+b=−6，−2k+b=−3，两式相减得 −k=3，即 k=−3，代回得 b=−9。
所以解析式为 y=−3x−9。

解（2）：不等式 kx+b>6x 也就是直线在双曲线的上方。两函数交于 x=−2 与 x=−1 两处，所以：
当 x<−2 时，直线在双曲线上方；当 −1<x<0 时，直线也在双曲线上方；
其余情况均不成立。解集为 x<−2 或 −1<x<0。

两个交点把x轴分成三段，只有 x<−2 与 −1<x<0 两段满足不等式（浅黄色区域）

解（3）：先算△AOB的面积，A(−1, −6)、B(−2, −3)、O为原点：
△AOB的面积=12×|x_A·y_B−x_B·y_A|=12×|(−1)×(−3)−(−2)×(−6)|=12×|3−12|=92。
所以 △BOP 的面积 = 2×92=9。

解（3）续：B(−2, −3) 到 x 轴的距离为 3，设 OP 的长为 p（p>0），则
△BOP的面积=12×3×p=9，解得 p=6。
P在x轴上，OP=6，所以点P的坐标为 (6, 0) 或 (−6, 0)。
提醒：这类「面积为2倍」的题，最后别忘了两侧对称——x轴上下、左右都可能有点P，一定要写全。

通法提醒：坐标都在坐标轴上时，两点构成的三角形面积，直接用「底×高」，比坐标公式快得多。

小结：第（2）问考的是「看图说话」，第（3）问考的是「面积=底×高」的转化。真正丢分的往往不是计算，而是把三角形面积当成难点——记住原点到点的距离就是高，题目瞬间变简单。

三、第23题：定值不变量，别被a牵着走

第23题原图：直线与双曲线交于C，过C作CD⊥x轴于D

第23题　如图，已知直线 y=kx+5（k<0）与x、y轴分别交于点A、B，与双曲线 y=4x（x>0）交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OC，设C点坐标为(a, b)，t=OD·DA。
（1）当a=4时，求k·t的值；
（2）求：ka²+5a=4；
（3）随着a的变化，k·t的值是否变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由。

通法：这类「定值」问题的钥匙，是先找出a与k之间的固定关系（第（2）问就是它），再把所有含a的式子往这个关系上靠，一消就只剩常数。

解（1）：当a=4时，由 b=4a 得b=1，即C(4, 1)。
C在直线 y=kx+5 上：1=4k+5，得k=−1。
直线 y=−x+5 与x轴交于A(5, 0)，D(4, 0)，
所以OD=4，DA=5−4=1，t=OD·DA=4×1=4，
因此 k·t=−1×4=−4。

解（2）：由点C在双曲线上得 ab=4，由点C在直线上得 b=ka+5。
把 b=ka+5 代入 ab=4：a(ka+5)=4，
整理得 ka²+5a=4。

解（3）：由A是直线与x轴的交点，得 5−k 为A的横坐标（取正值），所以
OD=a，DA=5−k−a（由图像位置知 A 在 D 的右侧）。
于是 t=a×(5−k−a)，两边同乘k：
　k·t=−5a−ka²=−(ka²+5a)=−4。
a被彻底消掉了，所以 k·t 不发生变化，其值恒为 −4。

为什么这题值得练：第（3）问是典型的「变化中找不变量」。命题人先给你一堆随a变化的量，等你用第（2）问的关系式一换，变量就自己消失了。做这类题的动作要形成肌肉记忆：先找关系式，再代数换元，最后用取特殊值验证。

四、第24题：双竖线的和怎么求最值

第24题原图与备用图

第24题　如图，二次函数 y=x²+bx−3 的图象与x轴相交于点A(−1, 0)、B，与y轴相交于点C。
（1）b=______；
（2）若点D(4, y₁)、E(t, y₂)在抛物线上，且 −3<y₂<y₁，求t的取值范围；
（3）连接BC。若0<m<1，过点P(m, 0)作x轴的垂线交BC于点G，交抛物线于点H；过点Q(3m, 0)作x轴的垂线交BC于点M，交抛物线于点N。当 GH+MN 最大时，求m的值。

解（1）：把 A(−1, 0) 代入：1−b−3=0，得 b=−2。
所以 y=x²−2x−3=(x−3)(x+1)，与x轴另一交点 B(3, 0)，与y轴交于 C(0, −3)。

解（2）：先求 y₁：把 x=4 代入得 y₁=16−8−3=5。
所以 −3<t²−2t−3<5，整理得 0<t²−2t<8。
由 t²−2t>0 得 t<0 或 t>2；由 t²−2t−8<0 得 −1−√5<t<−1+√5。
两者取公共部分（−1+√5<2，该段为空），得 −1−√5<t<0。

易错点：两个不等式解集必须取公共部分，不能把并集当答案。另外注意 −1+√5≈1.24，它比2小，所以「t>2」这一支最后是空的——这一步不做，范围就会写大。

解（3）：由 B(3, 0)、C(0, −3) 可得直线 BC 的解析式为 y=x−3。
过 P(m, 0) 的竖线与 BC 交于G，与抛物线交于H：
　G(m, m−3)，H(m, m²−2m−3)，
所以 GH=(m²−2m−3)−(m−3)=m²−3m 的绝对值。
由 0<m<1 知 m²−3m<0，故 GH=3m−m²。
同理过 Q(3m, 0) 的竖线：M(3m, 3m−3)，N(3m, 9m²−6m−3)，
MN=|9m²−9m|，由 0<m<1 得 MN=9m−9m²。
于是 GH+MN=12m−10m²=−10(m−35)²+185。
这是开口向下的二次函数，顶点处取最大值，此时 m=35。

GH+MN 随m变化的图象：顶点 m=35 处取得最大值 185

通法提炼：「两条竖线截取两条曲线的差」这类题，固定三步：① 分别写出每条竖线上两个点的纵坐标；② 相减得线段长（别忘了绝对值和符号判断）；③ 化成关于m的二次函数，用顶点公式求最值。第（2）问练的正是「由纵坐标范围反推横坐标范围」，与第（3）问是同一套功夫。

五、其余20题答案速查

建议先自己做完再对答案。第16、22、23、24题已在上文详析，这里不再重复。

一、选择题

1. A

2. D

3. C（错误的是 C）

4. B（k=5）

5. A（√5）

6. B

7. B（√3）

8. A

9. C（4）

二、填空题

10. a=12，h=3，k=−72

11.256

12. y₁>y₂

13. m<−14

14. 2≤OM≤10

15. 4−√5

三、解答题（除第16题外，其余见上文详析）

16. （1）B(−2, −4)　（2）k<−2　（见上文详析）

17. （1）AF⊥BE　（2）B、D、G、H 四点共圆，圆心为 C，半径等于 BC

18. （2）r=13（见下文补充精讲）

19. （1）y=8x　（2）DE=3√5

20. （1）降价 15 元，最大利润 2450 元　（2）降价 20 元（见下文补充精讲）

21. （1）y=−19(x−6)²+4（0≤x≤12）　（2）能通过

六、补充精讲：两道容易卡住的题

第5题　如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点 O、A、B、C 均在格点上，以点 O 为原点建立平面直角坐标系，则过 A、B、C 三点的圆的半径为多少？

第5题原图（扫描件里缺失，已按原卷补图）

解：先读格点坐标——从原点 O 出发数格子，可读出 A(1, 1)、B(1, −1)、C(−3, −1)。
AB 竖直、BC 水平，所以∠ABC=90°，AC 是直角三角形的斜边。
水平方向相差 1−(−3)=4，竖直方向相差 1−(−1)=2，
所以 AC=√4²+2²=√20。
直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，所以 R=√202=√5，选 A。

读图提醒：格点坐标要以「格点交点」为准，不能拿字母的位置当坐标——字母通常标在点的左上角或右上角。数格子时先锁定原点 O，再左右上下数，就不会数错。

第18题　如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于点S，弦CD与AB交于点D，且CD经过圆心O，已知 AB=24cm，CD=8cm。
（1）请你在图中画出这个残片所在圆；（2）若所画圆的半径为r，求 r 的值。

解（1）：连接AC，取AC的中点，作AC的垂直平分线；再取AB的中点S，作AB的垂直平分线。两条垂直平分线的交点就是圆心O，以OA为半径画圆即可（保留作图痕迹）。

解（2）：这道题的核心是两次用垂径定理，把「弦」翻译成「圆心到弦的距离」。
第一步：连接OA。圆心O在AB的垂直平分线上，OA=OB=r；由垂径定理，OD⊥AB 于D 且 D 是AB的中点，所以 AD=AB2=12。
第二步：CD 经过圆心O，由 OC=r、DC=8，得 OD=r−8。
第三步：在Rt△OAD 中，由勾股定理

OA²=OD²+AD²，即 r²=(r−8)²+12²

解（续）：展开并整理：r²=r²−16r+64+144，
16r=208，
所以 r=13。

通法提炼：凡是「残圆补圆 + 求半径」的题，都从垂径定理入手：弦长的一半、弦心距、半径三者构成直角三角形。本题之所以能算，是因为 CD 恰好经过圆心，于是弦心距 OD=r−8 可以直接用半径表示——这一步想到，整题就通了。

第20题（方程解出来的两个答案，还要再挑一次）　某商店销售一批衬衫，平均每天可售出 40 件，每件盈利 50 元。为了尽快减少库存，商店决定降价销售，每件衬衫每降价 1 元，每天比原来多售出 2 件。
（1）每件衬衫降价多少元时，商店每天销售衬衫的利润最大？最大利润是多少？
（2）若每天销售衬衫的利润为 2400 元，则每件衬衫应降价多少元？

解（1）：设每件衬衫降价 x 元。
每天销量 =(40+2x) 件，每件盈利 =(50−x) 元，
每天利润 W=(40+2x)(50−x)=−2x²+60x+2000。
这是开口向下的二次函数，对称轴在 x=15 处，此时利润最大。
此时每天售出 40+2×15=70 件，每件盈利 50−15=35 元，最大利润 W=70×35=2450 元。

解（2）：由利润为 2400 元，得
　(40+2x)(50−x)=2400，
整理得 x²−30x+200=0，
解得 x₁=10，x₂=20。

两个答案都要检验！题目说要「尽快减少库存」，这句话就是取舍的标准：
　降价 10 元时，每天售出 40+2×10=60 件；
　降价 20 元时，每天售出 40+2×20=80 件。
两种降价方案每天利润都是 2400 元，但降价 20 元卖得更快，更符合「尽快减少库存」的要求，所以应降价 20 元。

这一类的通病：解出两个数就直接写「10 元或 20 元」，是最常见的失分点。方程有两个解，不等于答案有两个解——一定要把解代回原题的实际意义去检验。
记住三句检验口诀：① 题意要「多卖」，就看销量大的那个；② 题意要「少花钱」，就看费用小的那个；③ 题意要「尽快」，同样看数量大的那个。

七、完整试卷与解析怎么拿

这份《九年级数学周末作业（九数双休日作业5）》的原卷 PDF 与完整解析，我已整理好：

建议先把第16、22、23、24题手做一遍再看解析，效果比直接看答案好得多。

这次作业里，前20题大多是双基，第24题第（3）问、第22题第（3）问属于真正的压轴水平。如果孩子只能拿下前20题，也别急——把第16题（新定义）和第23题（定值）彻底搞懂，就已经超过一大半同学了。

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评论区互动：做完后把你卡住的题号留在评论区（比如「24（3）没思路」或「16看不懂」），我会挑典型问题在下一期集中讲，也欢迎同学互相补充思路。

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