方程模块的前三讲，未知数最高只有一次。这一讲把它提到二次——平方一出现，情况立刻多了三种：可能有两个根、可能只有一个根、也可能一个都没有。
所以这一讲多了一个前两讲没有的问题：不用急着解，先问一句"到底有没有根"。回答这个问题的工具叫判别式，也就是 Δ。
整讲分两块：怎么解（四种解法），和不解也能说的三件事（Δ 判根的个数、韦达定理说两根的和与积）。后者才是中考最爱考的部分。
一元二次方程：只含一个未知数、未知数的最高次数是 2、且二次项系数不为 0 的整式方程。一般形式：ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）。三个条件缺一不可——少了 a ≠ 0，方程会悄悄降成一次方程。含参题最爱在这里设卡："若 (m − 1)x2 + 2x + 1 = 0 是一元二次方程，求 m 的取值范围"，答案就是m ≠ 1。看到"是一元二次方程"这七个字，脑子里第一个反应就是"二次项系数不为 0"。
① 直接开平方法：缺一次项（b = 0），化成 x2 = m（m ≥ 0），得 x = ± √m。② 配方法：凑成 (x + m)2 = n 再开方。口诀：先提 a（a ≠ 1 时），再在括号内加一次系数一半的平方；接着方程两边同时处理这个数——多加了减（a > 0），多减了加（a < 0）。③ 因式分解法：分解成两个因式相乘为 0，则至少一个因式为 0，最快。④ 公式法：x = (− b ± √Δ) / 2a，万能保底。考场上的选择顺序很实在：先看能不能分解，不能分解就用公式。配方法是"系数规整"时的顺手招，也是后面学二次函数顶点式的底子，不要跳过去。
能分解就分解，不能分解用公式；公式法是保底不是最优。Δ 就是抛物线与 x 轴的交点个数：两个、一个、零个
Δ = b2 − 4ac：① Δ > 0 → 两个不相等的实数根（两个交点）；② Δ = 0 → 两个相等的实数根（一个交点，相切）；③ Δ < 0 → 没有实数根（无交点）。这里有个必须抠字眼的地方："有两个实数根"包含相等的情形，对应 Δ ≥ 0；"有两个不相等的实数根"才对应 Δ > 0。差一个"不"字，等号就差一个。
有实根 → Δ ≥ 0；两个不等实根 → Δ > 0。若 x1、x2 是 ax2 + bx + c = 0 的两根，则： x1 + x2 = − b / a x1 · x2 = c / a前提：方程必须有实数根，也就是先确认 Δ ≥ 0。韦达定理的用法只有一个动作：把要算的式子，变形成只含"两根之和"与"两根之积"的样子。常见的有两个：1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1 · x2)，以及 x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2 x1 x2。
韦达定理只给两个数：两根之和与两根之积。但中考要算的式子千奇百怪，全靠把式子化成只含和与积。下面五个变形式出现频率最高，建议直接记住。
记 p = x1 + x2，q = x1 · x2：① x12 + x22 = p2 − 2q② (x1 − x2)2 = p2 − 4q，所以 |x1 − x2| = √Δ / |a|③ 1 / x1 + 1 / x2 = p / q④ x13 + x23 = p3 − 3pq⑤ (x1 + 1)(x2 + 1) = q + p + 1，(x1 − 1)(x2 − 1) = q − p + 1最容易混的是 ① 和 ②：平方和减 2q，差的平方减 4q。记法：把 (x1 − x2)2 拆开就是 (x1 + x2)2 − 4x1x2，中间那个 4 是差出来的。第 ② 式还和判别式连着——(x1 − x2)2 = Δ / a2，所以两根差的绝对值直接用 √Δ / |a| 算，不用先求出根。
平方和减 2q，差的平方减 4q；两根差 = √Δ / |a|。① 定系数：a = 2，b = −4，c = −3。② 先算 Δ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 2 × (−3) = 16 + 24 = 40 > 0，所以有两个不等实根。③ 代入公式：x = (4 ± √40) / 4 = (4 ± 2√10) / 4。④ 约分：x = (2 ± √10) / 2。三个提醒。第一，b = −4 代进公式时 −b = 4，符号最容易在这一步反掉。第二，√40 要化成 2√10，根号内能开的必须开出来。第三，分子分母要约分，(4 ± 2√10)/4 不是最简结果。
① 移项，把常数项挪到右边：x2 + 6x = 7。② 一次项系数是 6，取一半得 3，平方 9 加到两边：x2 + 6x + 9 = 7 + 9 = 16。③ 左边写成完全平方：(x + 3)2 = 16。④ 两边开方：x + 3 = ± 4。⑤ 所以 x = 1 或 x = −7。配方法最常见的错是只在左边加 9、右边忘了加。记住"加到两边"这四个字，这一招就稳了。另外它还有个隐藏价值：到二次函数时，顶点式就是靠配方得来的，现在练熟，后面省一大截力气。
若关于 x 的方程 x2 − 4x + k = 0 有两个相等的实数根，求 k 的值。
① 定系数：a = 1，b = −4，c = k。② 算 Δ = b2 − 4ac = 16 − 4k。③ "两个相等的实数根"对应 Δ = 0：16 − 4k = 0。④ 得 k = 4。⑤ 验算：k = 4 时方程为 x2 − 4x + 4 = 0，即 (x − 2)2 = 0，两根都是 2，确实是相等实根。这类题的坑全在措辞上，把这三句记牢："有两个相等实根" → Δ = 0；"有两个实根" → Δ ≥ 0；"没有实根" → Δ < 0。
Δ = 0 相等、Δ > 0 不等、Δ < 0 无实根。已知 x1、x2 是方程 x2 − 5x + 3 = 0 的两个根，求：(1) x1 + x2 与 x1 · x2；(2) 1 / x1 + 1 / x2。
① 先确认有根：Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 3 = 25 − 12 = 13 > 0，有两个不等实根，可以用韦达定理。② (1) x1 + x2 = −b/a = 5；x1 · x2 = c/a = 3。③ (2) 先通分变形：1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) / (x1 · x2) = 5 / 3。第 ③ 步那个通分动作，就是韦达定理的全部技巧：不要去解方程，把式子变形成"和"与"积"。题目里 x1、x2 是什么根本不重要，重要的只有它们的和与积。
已知实数 a、b 均不为 0，且 a2 + 4a + 2 = 0，2b2 + 4b + 1 = 0。求：(1) a2 + 1/b2；(2) a3 + 1/b3。
① 关键一步——把第二个方程变出 1/b：2b2 + 4b + 1 = 0 两边同除以 2b2，得 1 + 2/b + 1/(2b2) = 0，再乘 2 整理得 (1/b)2 + 4(1/b) + 2 = 0。② 所以 a 和 1/b 是同一个方程 x2 + 4x + 2 = 0 的两个根。③ 由韦达定理：a + 1/b = −4，a · (1/b) = 2。④ (1) a2 + 1/b2 = (a + 1/b)2 − 2 × a × (1/b) = 16 − 4 = 12。⑤ (2) a3 + 1/b3 = (a + 1/b)3 − 3 × a × (1/b) × (a + 1/b) = (−64) − 3 × 2 × (−4) = −40。这道题的机关全在第一步：目标是凑出 1/b，所以第二个方程整体除以 2b²。除完之后两个方程"长得一样"，a 和 1/b 成了同一方程的两根，后面全是韦达加变形，一个根都不用求。
严谨性提醒：上面用的是a 与 1/b 不相等的情形。严格做题时还要交代 a ≠ 1/b；若 a = 1/b，则 a2 + 1/b2 = 2a2 会随 a 的取值而变，答案不唯一。
目标凑 1/b，方程两边除以 2b²；两根一出，韦达收工。已知关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m + 1 = 0。(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；(2) 当 m 为何整数时，此方程的两个根都是正整数？
(1) Δ = (−2m)2 − 4(m − 1)(m + 1) = 4m2 − 4(m2 − 1) = 4。 Δ = 4 > 0 与 m 无关，所以不论 m 取何值，总有两个不相等的实数根。(2) 用求根公式：x = (2m ± 2) / (2(m − 1))，化简得 x = (m + 1)/(m − 1) 或 x = 1。 一根已经是 1；另一根 (m + 1)/(m − 1) = 1 + 2/(m − 1)。要是正整数，2/(m − 1) 必须是整数，即 m − 1 是 2 的因数：m − 1 = ±1 或 ±2，m = 2、0、3、−1。 再筛"正"：m = 0 时另一根为 −1，m = −1 时另一根为 0，都不是正整数。 所以 m = 2 或 m = 3（此时两根分别为 3、1 和 2、1）。两个看点。第一，"总有两个"的题，把 Δ 算成与 m 无关的正常数即可——(m − 1)(m + 1) 用平方差展开，m2 项正好抵掉。第二，整数根问题的套路：先把根用 m 表示出来，再用整除条件收参数，最后按"正"筛选。
整数根三步：求根表参数 → 因数整除 → 按正负筛选。① 漏写 a ≠ 0：含参题说"是一元二次方程"，第一件事就是要求二次项系数不为 0。② "有实根"用成 Δ > 0：有实根包含相等，要用 Δ ≥ 0；只有"两个不相等实根"才是 Δ > 0。③ 韦达定理不验 Δ：方程没有实根时，x1、x2 根本不存在，韦达定理也就无从谈起。④ 开平方只取正根：x2 = m 的解是 ± √m，负根不能丢。⑤ 配方只加一边：等式两边要同时加同一个数，只加左边，方程就变了。⑥ 对称式记错系数：x12 + x22 减 2x1x2，(x1 − x2)2 减 4x1x2——一个 2 一个 4，别混。⑦ 整数根忘验"正"：整除条件只保证是整数，0 和负数同样能整除，最后必须按正整数再筛一遍。1.（公式法）解方程 x2 − 5x + 6 = 0。2.（配方法）解方程 x2 − 8x + 12 = 0。3.（判别式）若关于 x 的方程 x2 − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。4.（韦达）已知 x1、x2 是方程 x2 + 3x − 2 = 0 的两根，求 x12 + x22。5.（对称式）已知 x1、x2 是方程 x2 − 3x + 1 = 0 的两根，求 (x1 − x2)2 的值。6.（整数根）若关于 x 的方程 x2 − 5x + k = 0 的两个根都是正整数，求 k 的值。1. a = 1，b = −5，c = 6。Δ = 25 − 24 = 1，x = (5 ± 1) / 2，即 x = 3 或 x = 2。2. 移项 x2 − 8x = −12，两边加 16：(x − 4)2 = 4，x − 4 = ± 2，即 x = 6 或 x = 2。3. Δ = (−2)2 − 4 × 1 × m = 4 − 4m > 0，得 m < 1。4. 先验 Δ = 9 + 8 = 17 > 0。x1 + x2 = −3，x1 · x2 = −2。 x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2 x1 x2 = (−3)2 − 2 × (−2) = 9 + 4 = 13。5. p = x1 + x2 = 3，q = x1 · x2 = 1。(x1 − x2)2 = p2 − 4q = 9 − 4 = 5。6. 由韦达：x1 + x2 = 5，x1 · x2 = k。两根都是正整数且和为 5，只有 (1, 4) 和 (2, 3) 两种，所以 k = 4 或 6。这一讲的主线两句话：解法挑着用，Δ 先判根，剩下的韦达定理只是一个"整体代换"的动作。
如果孩子这一讲总丢分，先查两处：Δ ≥ 0 和 Δ > 0 有没有写错，韦达题有没有先确认 Δ ≥ 0。这两处不是计算问题，是读题问题。
下讲预告：第 09 讲 不等式与不等式组——不等号变号与数轴取交集。
#初中数学 #中考总复习 #一元二次方程 #判别式 #韦达定理 #第08讲
注：本文为初中数学中考总复习第 08 讲的学习笔记，题目与解法按通用教材口径整理；各地教材版本与考试要求可能不同，请结合课内进度使用。本文不构成任何学习效果承诺。
