2027届高三湖南九校10月联考数学试卷及解析
- 2026-10-19 05:23:44
⏳ 距离 2027 届高考还有：[ 232 ] 天
📌 湖南九校｜高三10月联考
第8、11、14题解析
第8题
已知正实数 满足 和 ，则 的值为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
法一：构造单调函数
对 两边取自然对数，得
由 、，知 。对第二个等式两边取自然对数，得
即
设 ，，则
故 在 上单调递增。
由（1）（2）知 ，所以 。
因此
故选A。
法二：换元
令 ，则 。由 ，得
又由 ，得 ，所以
函数 在 上单调递增，故 ，从而 。
第11题
在 中，，， 是 的中点，则下列结论正确的是
A. 可以是钝角三角形
B.
C. 若 ，则
D.
【答案】BCD
【解析】
A项
由 ，知 $0
又 ，将已知条件整理，得
展开左边并移项，得
即
因为 、，所以 ，得
故 必为直角三角形，且
A错误
B项
由 ，得
令 ，则 。
二次函数 在 上单调递减，所以
B正确。
C项
由 、，得
又 ，所以 。于是
故 。
另一方面，
所以 。当 时等号成立，且满足 。
当 时，、，故 。由 随 连续变化，得
C正确。
D项
因为 为直角三角形， 是斜边 的中点，所以
由 ，得 ，从而
又 ，所以
由正切函数在 上单调递增，得
因为 ，所以 ，D正确。
故选BCD。
第14题
某同学每次投篮命中的概率为 ，且各次投篮是否投中相互独立。该同学若出现连续投中两次的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为________。
【答案】
【解析】
法一：按前两次投篮的情况分类
设投篮总次数的数学期望为 。
（1）第一次没有投中，概率为 。已经投了 次，之后需重新等待连续命中两次，故这种情况下的平均总次数为 。
（2）第一次投中、第二次没有投中，概率为 。已经投了 次，之后同样重新开始，故这种情况下的平均总次数为 。
（3）前两次均投中，概率为 ，此时投篮结束，总次数为 。
以上三种情况包含了全部可能，故
整理，得
解得
法二：分别考虑是否已有一次命中
设从头开始到停止投篮的次数期望为 ；已知上一次投中、但尚未连续投中两次时，接下来还需投篮的次数期望为 。
从头开始，先投 次：若未中，则重新开始；若投中，则接下来还需的次数期望为 。故
若上一次已投中，再投 次：投中即结束；未中则重新开始。因此
联立两式，得
解得 。
原卷
参考答案
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