Ⅰ. 深度分析

1. 内容定位与课时结构

普通高中教科书·数学（A版）必修 第一册_page158-161 是第四章“指数函数与对数函数”的章末小结与复习参考题。教材“回顾与思考”系统回顾了本章的主线：先将指数概念由整数指数逐步拓展到实数指数并给出运算法则；通过对指数增长方式的实例分析引入指数函数，研究其图象和性质；从对数与指数的相互联系出发引入对数概念，研究对数运算法则，进而研究对数函数的概念、图象和性质；指数函数与对数函数是刻画客观世界中“指数爆炸”“对数增长”现象的重要数学模型；利用函数零点与方程解的关系引入零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路；通过比较不同类型函数增长速度的差异，学习根据增长差异选择合适函数类型构建数学模型、刻画现实问题的方法。

《高中数学教科书教学设计与指导（人教A版）》明确将本章小结课规划为3课时，按照 “梳理知识，构建网络—应用巩固，深化理解—函数与数学建模” 三个部分展开，设计内容紧紧围绕本章核心内容，循序渐进，逐步提升：

• • 第1课时“梳理知识，构建网络”：先让学生整体构建本章知识框架，然后采用教科书章末小结中“回顾与思考”的问题，通过问题引领掌握本章核心内容及数学研究对象的一般路径和方法；
• • 第2课时“应用巩固，深化理解”：围绕第1课时梳理的核心内容，在“指数和对数运算，指数函数和对数函数图象、性质和应用”这些重点、疑点、难点、易错点方面设置典型例题（典例选自教材复习参考题），利用追问和变式，经过横向拓展和纵向深化，让学生进一步掌握函数研究的方法和思路；
• • 第3课时“函数与数学建模”：帮助学生从整体的高度理解函数知识，尤其在模型应用方面，利用教科书数学建模活动的案例，借助信息技术，通过散点图确定函数模型、检验所求模型的合理性，掌握数学建模的基本方法与步骤。

《教师用书》指出本章教学时间约16课时，其中“小结”安排2课时（参考），并强调小结课的教学应突出两条线索：一是“背景—概念—图象和性质—应用”这一研究函数的一般路径；二是指数与对数运算“底数、指数（对数）、幂（真数）之间互相转化”的内在统一性。

2. 编写意图与教学要求（结合《课标（2017年版）》）

• • 小结课的功能定位：小结课首先应通过系统梳理知识，对相关知识进行整合，使知识系统化、深刻化，帮助学生形成良好的数学认知结构，同时设计范例和练习，通过问题解决等方式提高综合运用知识解决问题的能力。
• • 重视一般观念的思维引领：对函数的本质和所蕴含的数学思想、方法及其精神的把握，是理解指数函数和对数函数的决定性因素。学生的学习往往停留在操作层面，对研究内容所遵循的一般原则、蕴含的思想方法和科学价值难以把握，因此在复习中应重视一般观念的思维引领，引导学生反思、重新概括研究思路，提升数学思维水平。
• • 突破策略：教学中先以任务形式让学生自主研学、归纳概括全章内容，课堂中通过展示了解学生自学情况以提高教学针对性；再设置系列问题，通过问题引领引导学生反思再学习，帮助学生归纳整理本章内容、研究路径和方法。
• • 模型应用的难点突破：面对复杂的实际问题，如何将其转化成数学问题、如何选择恰当的函数模型，大多数学生存在困难。教学中应通过具体实例帮助学生分析实际问题的条件、建立数量关系，并利用信息技术通过作图、计算、列表处理数据，帮助学生从数和形两方面分析问题。
• • 课标要求对应：《课标（2017年版）》要求理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言与工具，掌握指数函数、对数函数的图象与性质及其实数指数幂与对数的运算，体会数学建模的基本过程——本章复习课正是对这一要求的系统落实。

Ⅴ. 详细教学设计（共3课时）

第四章《指数函数与对数函数》复习小结课教学设计

一、内容和内容解析

1. 内容

本单元复习课涵盖指数与对数、指数函数与对数函数、求方程近似解及函数应用等内容，分3课时展开：第1课时主要是对本章所学知识的回顾与梳理，构建本章知识网络；第2课时侧重于复习指数与对数、指数函数与对数函数的定义、图象和性质；第3课时侧重于函数的应用，包括求方程近似解及函数模型。

2. 内容解析

现实世界中经常会见到细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等运动变化现象，这种运动变化现象都可以用指数函数模型进行刻画。本章是在第三章研究函数的一般方法的指引下，借助研究幂函数的经验，学习指数函数和对数函数，认识它们的变化规律，进一步理解函数概念，并利用这两类函数建立数学模型解决实际问题。

本章在研究两类函数前，首先研究指数幂运算和对数运算，这是因为研究两类函数变化规律离不开这两类运算，用二分法求方程的近似解也要通过运算来解决。指数运算和对数运算虽然都有自身的运算性质，但是它们的运算实际上是统一的，那就是底数、指数（对数）、幂（真数）之间互相转化。对这两类运算的学习有助于认识指数与对数的内在联系，培养学生的化归思想和数学运算素养。

指数函数和对数函数的研究，按“背景—概念—图象和性质—应用”的路径展开，这个过程体现了研究函数、应用函数解决问题的一般思路和方法。对这两类函数的研究可以加深对函数本质的认识，为以后运用导数研究函数的单调性等内容提供帮助，有助于提升学生的数学抽象、逻辑推理素养。

函数应用是从两个方面来研究的：一是数学内部的应用，利用所学函数知识研究方程的解，体现了化归思想、数形结合思想和函数与方程的思想，有助于提升学生的逻辑推理素养；二是实际应用，根据不同类型函数增长变化的特性，通过比较增长差异，选择恰当的函数类型，建立数学模型，解决实际问题。用函数构建数学模型的基本过程，有助于发展学生的数学建模素养。

3. 知识联系或上下位关系

• • 承上：本章承接第三章“函数的概念和性质”中研究函数的一般方法及研究幂函数的经验，把指数概念由整数指数逐步拓展到了实数指数。
• • 单元内地位：本章复习整合“指数与对数、指数函数与对数函数、求方程近似解及函数应用”四大板块，将新授课中碎片化的知识点整合为结构化的认知网络。
• • 学科体系地位：指数函数与对数函数是两类重要的、应用广泛的基本初等函数，它们互为反函数；对这两类函数的研究可以加深对函数本质的认识，为以后运用导数研究函数的单调性等内容提供帮助。

二、目标和目标解析（总目标，分课时落实）

教学目标：

• • 知识目标：梳理本章核心概念及概念形成中蕴含的思想方法，构建本章核心概念体系；掌握指数幂的运算性质，理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；理解指数函数和对数函数概念及性质，知道对数函数与指数函数互为反函数；进一步了解函数的零点与方程解的关系，了解函数零点存在定理，了解用二分法求方程近似解具有一般性；能用结构图表示建立函数模型解决实际问题的基本过程。
• • 技能目标：能根据问题进行指数式和对数式的互化，能用换底公式灵活解决指、对数综合运算问题；能运用单调性解决比较大小问题；能利用函数研究的思路研究较复杂的指数和对数型函数的性质；能借助信息技术，通过散点图确定函数模型并检验所求模型的合理性。
• • 素养目标：在结构化梳理中提升数学抽象素养；在运算与互化中发展数学运算素养；在性质对照与反函数辨析中发展逻辑推理素养；在建模活动中发展数学建模素养。

目标解析：

• • 达成目标1的标志（第1课时）：学生能独立画出本章知识结构图，能列出指数概念拓展的流程（整数指数幂→分数指数幂→无理数指数幂→实数指数幂），能准确写出指数幂运算性质、对数运算性质与换底公式；能完成指数函数与对数函数的性质对照表并说出“互为反函数”的三条内在关联。
• • 达成目标2的标志（第2课时）：学生能规范完成指数幂、对数的化简求值与互化；能在含参数底数的比较大小问题中自觉分类讨论；能把方程问题转化为函数零点问题，用零点存在定理与单调性确定解的存在性与所在区间。
• • 达成目标3的标志（第3课时）：学生能借助信息技术由数据表作出散点图，观察散点分布特征选出候选函数模型，求出解析式并把模型结果与原数据对照以检验合理性；能画出并复述“实际问题→建立函数模型→求解模型→检验→实际结论”的建模流程。

三、教学重难点

教学重点：

• • 本章核心知识梳理及构建（知识结构图的构建）；
• • 指数幂和对数运算，指数函数和对数函数的概念、图象、性质，函数的应用。

教学难点：

• • 指数函数、对数函数所蕴含的思想方法的理解；
• • 利用研究函数的思路研究指、对数型函数的性质；
• • 指数函数和对数函数研究思路的梳理和函数模型的应用。

四、教学问题诊断分析

1. 认知基础

学生在第三章已经学习过函数的概念及性质，本章又学习了指数函数和对数函数，初步会用指数函数和对数函数解决问题。

2. 潜在困难

• • 从一般经验看，学生的学习往往停留在操作层面，对研究内容所遵循的一般原则、蕴含的思想方法和科学价值难以把握，对研究函数中的一些思想方法还需要进一步理解；
• • 指数函数和对数函数有丰富的实际背景，现实应用特别广泛。面对复杂的实际问题，如何将其转化成数学问题，如何选择恰当的函数模型解决实际问题，大多数学生存在困难。

3. 突破策略

• • 先以任务形式让学生自主研学、归纳概括出全章内容，课堂中通过展示（实物投影仪）了解学生自学情况，以提高教学的针对性；再设置系列问题，通过问题引领，引导学生反思再学习，帮助学生归纳整理本章内容、研究路径和方法；
• • 通过具体实例，帮助学生分析实际问题的条件，建立数量关系，将实际问题转化成数学问题；同时利用信息技术手段，通过作图、计算、列表来处理数据，帮助学生从数和形两方面分析问题，选择合适的函数模型解决实际问题。

五、教学过程设计

第1课时 梳理知识，构建网络

教学内容：本章知识结构构建及研究思路的反思概括。

【环节一】自主研学，温故知新

设计意图：以课前研学任务驱动学生通读教材与章末小结，实现由“碎片记忆”到“整体把握”的转变；通过展示交流了解学情，提高教学针对性。

师生活动：

教师课前布置研学任务（问题取自教科书章末小结“回顾与思考”），课上交流展示。

问题1： 本章研究内容刻画的是客观世界中哪一类变化规律问题？请罗列出来。

学生回答（预设）： 细胞分裂、人口增长、放射性物质的衰减等呈指数增长（衰减）的运动变化现象。

问题2： 请画出本章知识结构图，并依据结构图梳理本章内容。

学生展示（预设）： 以“指数函数”“对数函数”为两条主线，自左向右为“数与运算→函数概念→图象与性质→应用”的横向结构，彼此以“互为反函数”相连接。

问题3： 用流程图画出指数概念的拓展过程，并写出指数幂的运算性质。

学生回答： 正整数指数幂→整数指数幂→分数指数幂→无理数指数幂→实数指数幂；，，（，，）。

问题4： 写出指数和对数互化的关系式，标出式子中每个字母的称谓；写出对数运算性质和换底公式。

学生回答： （，，），其中为底数、为真数、为以为底的对数；，，；换底公式。

【环节二】师生互动，探究新知——对照梳理，建构网络

设计意图：通过“对照表”这一结构性工具把散落的知识点凝练为可迁移的结构，突出指数函数与对数函数的内在一致性，明确函数研究的一般路径。

师生活动：

完成对照表（知识的结构化）：

问题5： 请完成下表，梳理指数函数和对数函数的性质。

追问反函数关系（知识的深刻化）：

追问6（教材原问法）： 对照指数函数、对数函数的图象和性质，你有什么发现？你能解释其中的原因吗？

学生观察、讨论，师生共同总结： 对于指数函数和对数函数：①定义域和值域互换；②所过定点的横纵坐标相互交换；③单调性都分两（与）类情况，而且单调性一致；④函数图象关于直线对称。

教师讲解：指数函数和对数函数具有上述特殊关系，完全是由这两个函数的对应关系决定的，我们称具有这种特殊关系的两个函数互为反函数。

教师点拨（暗线的点明）：把指数函数的定义、图象与性质中自变量与函数值的位置倒过来，再用函数语言表达出来，就得到了对数函数的所有内容——这正是本章的一条暗线，体现出这个内容的本质。

追问研究路径（方法的提炼）：

追问1： 指数函数和对数函数的研究路径是怎样的？它们的研究路径有什么不同？

学生回答，教师完善： ①指数函数的概念是通过对现实世界中一类事物变化规律的归纳，分析变化规律中的常量和变量，抽象出概念并给出符号表示；对数函数的概念是通过指数和对数的内在联系得到的——这是对数函数概念抽象过程的“与众不同”之处。②两类函数的性质研究从两个视角进行：一是代数式，二是描点作图，从形和数两个方面研究；还应关注到由于两者互为反函数，图象与性质具有内在联系。

追问2： 由此你能说说如何研究一类函数吗？研究内容、过程和方法分别是什么？

师生共同明确一般路径： ①从现实世界中寻找一类变化规律，分析变量关系，得到函数定义并用符号表示；②从函数图象和代数运算两方面研究函数的性质（特殊点、单调性、对称性等）——先作出具体函数图象，观察比较不同函数图象，归纳共同特征并用数学语言表达；③利用所研究的函数解决实际问题。

梳理函数应用（知识的延伸）：

问题6： 不同函数模型刻画了现实世界不同类型问题的变化规律，指数函数和对数函数分别刻画了怎样的变化规律？

学生举例，师生明确： 指数函数和对数函数是两种不同类型但联系紧密的函数模型，是刻画客观世界中“指数爆炸”和“对数增长”现象的重要模型。

问题7： 本章的“应用”有哪两个方面？请分别用结构图表示。

学生回答： 一是数学内部的应用——利用函数知识研究方程的解（零点、零点存在定理、二分法）；二是实际应用——比较不同函数增长的差异，选择恰当的函数类型建立数学模型。

【环节三】例题讲解，巩固新知——性质对照的辨析运用

设计意图：通过一道由对照表直接生成的辨析题，把“温故”落到“会用”上，示范比较大小问题的规范解法。

师生活动：

例题：比较下列各组数的大小，并说明所用的函数性质。

（1），，；（2），，。

分析：

明确「问题本身」：①这是一个比较数值大小的问题；②目标是判断各组中几个数的大小关系；③数学含义是——利用相应函数的单调性（或与的比较）确定大小关系。

拆解「题设条件」：①（1）中三个数都是幂的形式，指数相同、底数不同；②（2）中前两个对数同底（底数）真数不同，第三个底数。

建立「条件与目标的联系」：①（1）指数相同，可构造幂函数比较；②（2）前两个构造比较，第三个借助中间值（即）传递。

研究「核心对象的方法」：①需要研究幂函数、对数函数的单调性；②依据是底数（或指数）与相应范围的判断。

落地方法并验证逻辑：①（1）在上递增，，故；②（2）递增，；又，故；③检查传递链无逻辑缺口，得出答案。

示范解答：

解：（1）因为幂函数在上是增函数，且，所以。

（2）因为在上是增函数，且，所以；又在上是减函数，且，所以。故。

方法归纳：比较数值大小的三条通道——同底用单调性；同指用幂函数单调性；异底异指借中间值（或）传递。

【环节四】课堂练习，内化新知（第1课时）

设计意图：用教材复习参考题“复习巩固”中的基础题检验知识网络的建立效果。

师生活动：学生独立完成教材复习参考题中指数与对数运算、性质对照相关的基础题（化简含分数指数幂的式子、求对数式的值、指数式与对数式互化等），教师巡视指导后集中讲评，突出“底数且”“真数”等前提条件的自觉检查。

【环节五】课堂小结，回顾反思（第1课时）

设计意图：从知识、方法、思想三个层面总结，帮助学生建构系统化、结构化的知识体系。

师生活动：

• • 知识层面：实数指数幂及其运算性质；对数的概念、运算性质与换底公式；指数函数与对数函数的图象、性质及反函数关系；函数的零点与二分法。
• • 方法层面：结构化梳理的方法——列结构图梳理运算，列对照表梳理性质；比较大小的三条通道。
• • 思想层面：化归思想（指数运算与对数运算统一于“底数、指数（对数）、幂（真数）之间互相转化”：）；数形结合；类比（对数函数的研究以指数函数为参照）。

反思：本课的重点不在“多做几道题”，而在把一章的知识装进一个可复述、可迁移的结构里——“由厚到薄”是复习的第一重境界，下节课我们在此基础上“由薄到厚”。

第2课时 应用巩固，深化理解

教学内容：指数与对数运算、指数函数和对数函数的图象及性质应用。

【环节一】创设情境，引入新知

设计意图：以“复习中哪些地方最容易出错”这一元认知问题启动，把学生的注意力引向疑点、易错点，明确本课任务。

师生活动：

问题1： 上节课我们对本章的知识结构有了更深的理解，请回顾做题经历——你在哪些地方最容易出错？

学生回答（预设）： 忘记真数必须大于零；对数运算性质用错（如把写成）；比较大小遇到含参数底数时忘记分类讨论；把零点当成“一个点”。

教师引导语：上一节课我们通过复习，对本章的知识结构有了更深的理解，本节课我们将通过具体问题的解决掌握本章的基本思想方法。

【环节二】师生互动，探究新知——梳理三类问题的方法主线

设计意图：以方法主线统领例题，让学生“做一题、通一类”。

师生活动：

问题2： 本章的问题大致可以归为哪几类？每一类问题对应研究什么对象、用什么方法？

师生共同梳理（板书）：

• • 运算类：指数幂运算、对数运算——核心是“互相转化”，注意前提条件；
• • 性质类：比较大小、求定义域值域、判断单调性——核心是“构造相应函数，用单调性”；
• • 方程（零点）类：判断解的个数与所在区间——核心是“转化为函数零点，用零点存在定理＋单调性”；
• • 不等式类：解指数、对数不等式——核心是“化同底，用单调性，先定定义域”。

问题3： 这四类问题中，哪一类最能体现“函数与方程思想”？哪一类最能体现“化归思想”？

学生回答： 方程（零点）类体现函数与方程思想；运算类与不等式类体现化归思想。

【环节三】例题讲解，巩固新知

设计意图：通过类型化例题规范解题流程，重点落实“两类运算互化”的解题思路与含参分类讨论意识。

师生活动：

题组一（运算类）：

1. 1. 计算：；
2. 2. 计算：；
3. 3. 已知对数式（如 ，），用 ， 表示其他对数式的值。

（题组取自教材复习参考题，教师结合学情选用）

分析（以第1、2题为例）：

明确「问题本身」：①这是一个化简求值问题；②目标是求出式子的值；③数学含义是——利用指数幂运算性质与对数运算性质把式子化到最简数值。

拆解「题设条件」：①第1题各项底数均为正数，指数含分数与负数；②第2题各项均为常用对数，真数可分解为，。

建立「条件与目标的联系」：①第1题把各底数化为分数指数幂形式：，，；②第2题利用凑出完全平方结构。

研究「核心对象的方法」：①需要运用分数指数幂的意义、指数幂与对数的运算性质；②关键是把“不同形式”统一为“同底形式”——第1题厘清分数指数幂的意义，第2题直接运用对数运算性质并体会“对数运算把乘方转化为乘法、把乘法转化为加法的降阶作用”。

落地方法并验证逻辑：①第1题原式（注意与恰好抵消）；②第2题原式；③检查每一步运算均满足“底数大于零、真数大于零”的前提，无遗漏。

示范解答：

解：第1题，原式；

第2题，原式。

方法归纳：运算类问题的通法——分析已知与所求式子的结构特征，将对数式化成指数式，或将指数式化成对数式，并结合运算性质解决；善用换底公式。

例题（性质类，含参分类讨论）：比较大小问题——已知且，讨论与的大小。

分析：

明确「问题本身」：①这是一个含参数的比较大小（求范围）问题；②目标是确定使成立的的取值范围；③数学含义是——确定底数的集合，使不等式成立。

拆解「题设条件」：①，；②不等式两端在同一对数函数的不同函数值处。

建立「条件与目标的联系」：把化为同底对数值，使不等式成为。

研究「核心对象的方法」：①需要研究的单调性；②单调性取决于还是——必须分类讨论。

落地方法并验证逻辑：①当时递增，且无解；②当时递减，，结合得；③检查两类是否覆盖全部情形，讨论完备；④检验——取，，成立。

示范解答：

解：由且，将化为，原不等式即。

当时，在上递增，故，与矛盾，无解；

当时，在上递减，故，结合得。

综上，的取值范围是。

方法归纳：含参数底数的比较大小与解不等式，第一步必判底数与的关系，分类讨论；不等号方向随单调性而改变。

例题（方程零点类，源自章学业水平测试题）：在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）。

（A） （B） （C） （D）

分析：

明确「问题本身」：①这是一个判断方程解所在区间的问题；②目标是确定解位于哪个区间；③数学含义是——求相应函数的零点所在区间。

拆解「题设条件」：①方程可化为；②与都在上递增，故在上递增——若有零点必唯一。

建立「条件与目标的联系」：寻找使的函数值异号的区间端点（逐项试值，先看选项给出的端点）。

研究「核心对象的方法」：①用零点存在定理判断存在性；②用单调性保证唯一性。

落地方法并验证逻辑：①；②（不选B）；；③故，由零点存在定理，零点在内，即解在内；④由单调性知解唯一，结论可靠。（本题选项按教材原文给出，B为，据试值解应在之间更精确——教学中以“解在内、再细分区间”的思想为重。）

示范解答：按上述过程规范书写，答“解所在的区间为（含于内）”。

方法归纳：判断零点（方程解）所在区间的通法——设函数→验单调（定唯一）→试端点找异号（定存在）。

【环节四】课堂练习，内化新知（第2课时）

设计意图：用教材章学业水平测试题检验综合运用能力。

师生活动：学生独立完成以下教材章测试题，教师巡视指导后讲评。

1. 1. 设满足，满足，则 ______ 。

答案要点： 利用两式结构对称，结合函数图象的对称关系进行转化，得。

1. 2. 若函数（，且）在上的最大值比最小值大，则 ______ 。

答案要点： 当时，得；当时，得。

1. 3. 已知函数，若，且，则的取值范围是 ______ 。

答案要点： 由且得，即，故（），取值范围为。

【环节五】课堂小结，回顾反思（第2课时）

设计意图：从“做题”上升到“方法”，帮助学生完成从知识到能力的转化。

师生活动：

• • 知识层面：指数幂运算与对数运算的前提条件与常用结构；指数函数、对数函数性质在比较大小、解不等式中的运用；函数零点与方程解的关系及其运用。
• • 方法层面：四类问题的通法——运算类“化同底、凑结构”；性质类“构造函数用单调性，含参必分类”；方程类“单调定唯一、端点定存在”；不等式类“化同底、先定域、用单调”。
• • 思想层面：化归与转化、函数与方程、数形结合、分类讨论。

反思：本章的方法主线始终是“用函数的眼光看问题”——把运算看作函数的运算，把方程看作函数的零点，把不等式看作函数值的大小比较。下节课我们把眼光投向真实世界。

第3课时 函数与数学建模

教学内容：函数的应用——求方程近似解及函数模型。

【环节一】创设情境，引入新知

设计意图：以真实数据情境唤起建模需求，明确本课“从整体的高度理解函数知识，掌握数学建模的基本方法与步骤”的任务。

师生活动：

问题1： 本章我们已经用函数模型解决了人口增长、碳14测年、投资选择、奖励设计等问题。回顾一下：当面对一堆真实的观测数据时，我们怎样找到合适的函数模型？

学生回答（预设）： 画散点图，观察数据的分布特征，再选择与之接近的函数类型。

教师引入：这节课我们完整经历一次数学建模活动——借助信息技术，通过散点图确定函数模型，再检验所求模型的合理性。

【环节二】师生互动，探究新知——建模流程的整体建构

设计意图：把第1课时梳理的“应用”板块具体化为可操作的建模流程，突出信息技术与数形结合的作用。

师生活动：

问题2： 请用结构图表示建立函数模型解决实际问题的基本过程。

师生共同板书（结构图）：

实际问题→（分析、联想、抽象、转化）→建立函数模型→（运算、推理）→函数模型的解→（解释说明）→实际问题的解。

问题3： 不同类型的函数具有不同的增长方式。请说出指数函数、对数函数、线性函数增长速度的差异，并指出各自适应哪类实际问题。

学生回答： 线性函数匀速增长（“直线上升”），适合增量近似不变的现象；指数函数增长越来越快（“指数爆炸”），适合增长率近似不变的现象；对数函数增长越来越慢（“对数增长”），适合初期增长快、后期趋于平缓的现象。

问题4： 为什么“检验”这一步不能省？请用本章学过的例子说明。

学生回答： 如马尔萨斯人口模型只依据1950~1959年的数据建立，用它对1990年作预测就与实际不符——模型有它的使用条件，必须用实际数据检验，必要时修正模型。

【环节三】例题讲解，巩固新知——一次完整的建模活动

设计意图：利用教科书数学建模活动的案例，让学生完整走一遍“散点图—选模型—求模型—检验”的全流程，掌握数学建模的基本方法与步骤。

师生活动：

例题（数学建模活动案例）：某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表（节选）：

试根据表中数据，选择一个恰当的函数模型刻画身高与体重的关系。

分析：

明确「问题本身」：①这是一个函数模型选择与建立问题；②目标是找一个函数模型刻画身高与体重之间的关系；③数学含义是——找一个解析式，使它与数据的吻合程度较高。

拆解「题设条件」：①给出了与的成对数据；②的变化范围约为；③求解目标与条件的关联是——数据的“形状”（散点分布特征）决定候选模型。

建立「条件与目标的联系」：以身高为横轴、体重为纵轴，借助信息技术作散点图；观察散点是否近似分布在一条直线、一条指数型曲线或一条对数型曲线附近。

研究「核心对象的方法」：①比较若干候选模型与散点的接近程度；②常用方式是取若干数据点用待定系数法求参数，再用其余数据检验；③也可借助信息技术直接选择函数类型进行拟合观察。

落地方法并验证逻辑：①若散点在前期上升较快、后期趋于平缓，可尝试增长较缓的模型（如对数型）；若散点整体近似直线，则用一次函数；②求出模型后，把各代入模型算出预测值，与原数据逐一对照；③若偏差整体较小，则模型合理；若某段偏差明显偏大，则应调整模型类型或缩小适用范围；④写出模型及适用范围的说明。

示范解答（以一次函数模型为例示范“求模—检验”流程）：按上述思路规范书写散点图判断、设模型、求参数、代值检验、给出结论及适用范围。

方法归纳（分析—归纳—总结）：建模的基本步骤为——

①收集数据、作散点图：直观认识数据的分布与变化趋势；

②选择函数模型：依据散点特征与“直线上升、指数爆炸、对数增长”的判断，选定候选类型；

③求函数模型：用待定系数法或信息技术由数据确定参数；

④检验模型：将模型结果与原数据对照，判断吻合程度；

⑤给出结论：明确模型、参数的实际含义与适用条件。

【环节四】课堂练习，内化新知（第3课时）

设计意图：通过教材复习参考题中的模型应用题，检验学生独立建模的能力。

师生活动：学生分组完成教材复习参考题“综合运用”“拓广探索”中的模型应用问题（如按给定数据选择函数模型刻画变化规律并预测），借助信息技术计算、作图，之后各组交流展示建模过程与结论。

【环节五】课堂小结，回顾反思（第3课时）

设计意图：完成3课时复习的整体收束，回顾本章的研究路径并反思建模的适用边界，呼应教材“回顾与思考”的总结性表述。

师生活动：

• • 知识层面：本章的核心结构——指数的拓展与运算、对数的概念与运算、两类基本初等函数的概念、图象与性质、函数零点与二分法、函数模型的应用。
• • 方法层面：函数研究的一般路径“背景—概念—图象和性质—应用”；建模的基本步骤“散点图—选模型—求模型—检验—结论”。
• • 思想层面：数学抽象（从现实情境抽象出函数概念）、数学运算（指数与对数运算的统一）、数学建模（用函数模型刻画客观世界）、数形结合与化归思想。

反思：总结本章的研究路径——“实际问题—函数概念—图象与性质—应用”。指数函数与对数函数是刻画“指数爆炸”“对数增长”等现象的重要数学模型；建议在学习与应用中注意分析实际问题的增长类型，理解函数建模过程，善用图象与信息技术把握函数本质，从而有效解决实际问题。

六、目标检测设计

题目（第1课时检测）：下列关系式中，正确的是（ ）。

A.  B. 

C.  D. 

【设计意图】：检测对数运算性质的准确记忆与“积、商、幂”三类形式的区分，反馈学生对运算性质的掌握情况。考查数学运算素养。

【答案】：C。解析：A、B、D均把对数运算形式与普通代数运算形式混同，属于典型易错点；只有C正确（均需，，，）。

题目（第2课时检测，改编自章学业水平测试题）：已知，，，则，，的大小关系是（ ）。

【设计意图】：检测“同指比较用幂函数单调性、异底异指借中间值传递”这一比较方法的运用能力，检验学生对指数函数、幂函数性质的综合掌握。考查逻辑推理与数学运算素养。

【答案】：。解析：，；，且，故；而需进一步比较——由，故。（注：本题结构源自教材章测试题第1题的“知，，比大小”题型。）

题目（第2课时检测，教材章学业水平测试题）：在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）。

（A） （B） （C） （D）

【设计意图】：检测“零点存在定理＋单调性”判断方程解所在区间的方法，本题直接取自教师用书所附章学业水平测试题，反馈学生对函数与方程思想的掌握情况。考查逻辑推理素养。

【答案】：B。解析：令，，，故解在内；再细分：，而……结合选项逐一验证，正确选项为B。

题目（第3课时检测）：某市近几年的年人均收入（单位：万元）数据逐年近似按“增长速度逐渐变慢”的规律变化。下列函数模型中最适合刻画这一变化规律的是（ ）。

A. （） B. （） C. （） D. 

【设计意图】：检测对不同函数增长方式（匀速、加速、减速增长）的识别能力与模型选择意识，反馈学生能否依据“增长类型”选择函数模型。考查数学建模素养。

【答案】：C。解析：“增长速度逐渐变慢”为对数增长的特征，（）递增且增长越来越慢；A匀速，B越来越快，D在较大时增长加快。

七、布置作业

第1课时作业（基础题目严格按教科书）：

• • 教科书第158~161页复习参考题“复习巩固”中指数与对数运算、指数函数与对数函数性质相关的题目；
• • 整理本章知识结构图与指数函数、对数函数的性质对照表（作业一的意图是对本节内容的整理与反思，作业二的设计为下一节教学做准备）。

第2课时作业（基础题目严格按教科书）：

• • 教科书复习参考题“复习巩固”“综合运用”中比较大小、求定义域、解不等式、判断零点所在区间等类型题（典例均选自教材复习参考题）；
• • 教科书第158~161页章学业水平测试题中的选择题与填空题。

第3课时作业（基础题目严格按教科书）：

• • 教科书复习参考题“综合运用”“拓广探索”中函数模型选择与应用题；
• • 请按“散点图—选模型—求模型—检验—结论”的步骤，自行采集一组真实数据（如身高与体重、时间与温度），借助信息技术完整写出一份建模报告。

八、板书设计

第四章《指数函数与对数函数》复习小结（3课时）

第一课时 梳理知识，构建网络

研究路径：背景 → 概念 → 图象与性质 → 应用

运算线索（结构图）：正整数指数幂 → 整数指数幂 → 分数指数幂 → 无理数指数幂 → 实数指数幂；指数幂运算性质；对数概念与运算性质；换底公式 

性质对照表：

内在关联：定义域与值域互换；定点横纵坐标交换；单调性分两类且一致；图象关于对称 → 互为反函数

应用两分支：数学内部（零点、二分法）／实际应用（增长差异、建模）

第二课时 应用巩固，深化理解

四类问题通法：

• • 运算类：化同底、凑结构（）
• • 性质类：构造函数用单调性，含参必分类
• • 方程类：单调定唯一＋端点定存在
• • 不等式类：化同底 → 先定域 → 用单调

例题：； 解在  内

第三课时 函数与数学建模

建模流程（结构图）：实际问题 →（分析、联想、抽象、转化）→ 建立函数模型 →（运算、推理）→ 函数模型的解 →（解释说明）→ 实际问题的解

建模步骤：收集数据作散点图 → 选模型 → 求模型 → 检验模型 → 结论与适用范围

增长差异：直线上升（线性）／指数爆炸（指数）／对数增长（对数）

提醒：模型有使用条件，必须检验

（图象区：画出指数函数与对数函数关于直线对称的图象；画出某真实数据的散点图与所选模型的拟合曲线）