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高二（8）班 左承东

你是数学王冠上的纽比斯环，
在循环中述说世界的无限，
在一个个波峰与波谷，
承载了多少求知的过客，
你用两个虚无碰撞，
激荡出四大皆空无物无我的境界。

笔下有一份试卷，心中还有一首诗。 从函数的边界，到最值的平衡，今天，我们跟随左承东同学的目光，望向了那个象征着无尽的“♾️”。

不等式综合题，本质上也是在有限的条件里，去寻找“无限”的可能——我们用“放缩法”无限逼近真理，用“作差法”探寻大小关系，用“待定系数法”精确锁定范围。今天，我们在不等式的综合运用中，去体会这份“循环与无限”的数学之美。

这份基础练习共12题，建议限时35分钟完成；每题只标难度，答案后附有必要的易错提醒与思想方法，做完再对照解析。

难度说明：★基础　★★中档　★★★提高

一、基础练习

1. 甲、乙两人同时从食堂走向教室，两人的步行速度均为 ，跑步速度均为 。甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。则先到教室的应是 ______。
【难度】★★

2. 若不等式  成立的充分条件是 ，则  的取值范围是 ______。
【难度】★★

3. 克糖水中有  克糖（），若再添加  克糖（）则糖水就变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式：______。
【难度】★

4. 与  的大小关系是 ______。
【难度】★★★

5. 已知  时，集合  有且只有3个整数，则  的取值范围是 ______。
【难度】★★★

6. 设关于  的不等式  的解集为 ，且 ，则实数  的取值范围是 ______。
【难度】★★★

7. 已知 ，若 ，则  之间的大小关系是 ______。
【难度】★★

8. “”是“”的 ______ 条件。
【难度】★

9. 已知  是实数，给出下列四个论断：
（1）；（2）；（3）；（4）。
以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______。
【难度】★★★

10. 设  且 ，则下列不等式中，不正确的是（　）
A. 
B. 
C. 
D. 
【难度】★★

11. 已知 ，且 ，，则  的取值范围是 ______。
【难度】★★★

12. 已知 ，。
（1）求证： 在  与  之间；
（2）问这三个数哪一个更接近于 。
【难度】★★★

二、参考答案

1. 答案：乙。
思想方法：作差比较法。设总路程为 。
甲的时间 ；
乙的时间：设总时间为 ，则 ，解得 。
作差：，故甲用时更多，乙先到。

2. 答案：。
易错提醒：注意端点能否取等号。 的解集为 ，由题意 ，需  且 ，解得 。
思想方法：集合的包含关系。充分条件转化为集合的子集关系。

3. 答案：。
思想方法：数学建模与作差法。“变甜”即浓度变大。作差通分得 。

4. 答案：。
思想方法：放缩法（裂项放缩）。因为 ，所以原式 。

5. 答案：。
易错提醒：注意区间长度和端点开闭。
思想方法：数轴法。区间  关于  对称且中点为整数。由于恰好包含 3 个整数，结合对称性，这3个整数只能是 0, 1, 2。因此区间的半长  必须满足 （若  则不到3个，若  则包含 -1 或 3，变成5个）。即 ，解得 。

6. 答案：。
思想方法：代入法。；
 或 。取交集得 。

7. 答案：。
思想方法：分子有理化。，。因为分母 ，故 。

8. 答案：充分不必要。
易错提醒： 等价于  或 。所以  能推出，但推不回来。

9. 答案： 或 （写出一个即可）。
思想方法：逻辑推理与三角不等式。由 (1) 知 ；由 (3) 知  很大，结合 (1) 必能推出 (4)；(3) 结合  可推得 (2) 成立。

10. 答案：B。
易错提醒：基本不等式的前提是“一正”。题中 ，若  均为负数（如 ），则 ，B选项显然错误。D选项的三角不等式  恒成立。
思想方法：特值排除法。

11. 答案：。
易错提醒：绝对不能先求  的范围再求 ！ 因为  是相互制约的，单独求范围会严重扩大解集。
思想方法：待定系数法。设 ，即 。解得 。所以 。代入范围计算得 。

12.【解析】
解：（1）令 ，。即证 。
因为 ，且 ，，，所以该式与  异号，得证。
（2） 更接近 。
比较距离：。因为 ，所以 ，且 ，所以 ，即后者到  的距离更短。
思想方法：换元法与分析法。把双变量化为单变量 ，利用绝对值的几何意义比较距离。

三、最后三句话

不等式综合题，记住三个核心技巧：
比较大小用作差，无限逼近靠放缩，求范围防扩大（待定系数法）。

期中加油，基础分尽量别丢。