高数考试复习必备

一、填空题（共 5 题，每题 6 分，共 30 分）

1. 求极限
2. 设函数  由方程确定，求在点  处的 。
3. 计算定积分
4. 设  为圆周 ，取逆时针方向，则第二类曲线积分
5. 求微分方程初值问题

二、计算题（共 3 题，每题 14 分，共 42 分）

1. 设  是第一象限内由曲线  围成的区域，计算二重积分

2. 求幂级数的收敛域以及和函数。

3. 计算曲面积分其中  是球面  的外侧。

三、证明题（共 2 题，每题 14 分，共 28 分）

1. 设  在  上连续，在  内可导，且满足证明：对任意给定正数 ，存在 ，使得

2. 设数列  满足 ，证明： 单调递减趋于 0，并且

详细分步解答

1. 填空第 1 题

等价无穷小：；泰勒展开分母：这里注意：分子主项是 ，分母是 ，极限为 。

2. 填空第 2 题

隐函数求导公式：代入 ：

3. 填空第 3 题

利用公式 

4. 填空第 4 题

格林公式：

5. 填空第 5 题

一阶线性方程：，积分因子初值 ：

6. 计算题第 6 题

换元：，则雅可比行列式：

7. 计算题第 7 题

收敛半径端点：，通项 ，发散；，通项同样不趋于 0，发散。收敛域：。

改写：记化简：

8. 计算题第 8 题

高斯公式： 为闭曲面外侧，包围球体 

9. 证明题第 9 题

取 ，使得介值定理保证这样的  存在，因为  连续，。

在  上用拉格朗日中值定理：

在  上用拉格朗日中值定理：

相加：

10. 证明分析

第一步：单调性与极限。

第二步：求 。 转化为 Stolz 定理：Stolz：当 ，令 ：于是证毕。