阿慢几何 · 八年级全等三角形复习

全等三角形压轴题，期中复习。

看到全等压轴题，很多同学能说出 SAS、ASA，却迟迟画不下第一条辅助线。试着先把目标说具体一点。要证两条边相等，就找它们可能属于哪两个三角形。要求面积，就先问哪条边能作底，还缺哪一段高。

这篇用三道考试题的核心小问，练三种不同的判断。第一道从已知等边找夹角，第二道从已知等边倒推垂线，第三道主动造一组等边，把散开的线段放进同一个三角形。

六个常见入口，各从哪里下手

先看图里已经有什么，再问全等能帮你得到什么。下面六张图可以对照着看，尤其留意每一种方法最容易卡住的那一步。

01　手拉手模型

两个等腰图形，哪两条边对应？

考什么　能不能从共顶点的两个等腰图形里，认出一对全等三角形。

卡在哪　一眼能看出 OA＝OB、OC＝OD，但 SAS 要用的是这两组等边夹出的角。图形交叉后，∠AOC、∠BOD 通常得从已知角算出来。

怎么破　先写对应 OA ↔ OB、OC ↔ OD。按图，∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠BOD＝∠BOC＋∠COD。两组等腰结构的顶角相等，便得到夹角相等。用 SAS 可证 △AOC≌△BOD，再读出 AC＝BD。

02　一线三垂直

为什么一补垂线，就能求坐标？

考什么　能不能用直角三角形全等，把两条斜边的关系换成横向、竖向的长度关系。

卡在哪　图里已经有三个直角，仍然需要找一对对应的锐角。把两条水平边直接配在一起，会配错。

怎么破　如图，OA 逆时针旋转 90° 到 OB，向 x 轴作垂线得到 H、K。∠AOH 与 ∠OBK 都等于 90°－∠KOB，再用斜边 OA＝OB 和两个直角，证 △OHA≌△BKO。得到 OH＝BK、AH＝OK。若 A＝(a, b)，图中 B 在第二象限，所以 B＝(−b, a)。

03　轴对称构造

折完以后，哪个等量还能用？

考什么　能不能从对应点和不动点出发，找到原图里可以用的等边或等角。

卡在哪　看出 P 和 P′ 对称以后，容易只把这两个点圈出来，却没追问待证线段的另一个端点在哪里。

怎么破　先标折痕 AM。A、M 都在折痕上，折过去位置不变，因此 AP＝AP′、MP＝MP′。题目若涉及 P 到 M 的距离，就把 MP 换成 MP′，看看它能接上哪个已知条件。遇到角平分线上的点，也可以向角的两边作垂线，把等角用来证明两段距离相等。

04　倍长中线

有中点，为什么要延长一倍？

考什么　能不能借中点造出一对全等，把分开的边搬到同一个三角形里。

卡在哪　M 是 BC 的中点，只有 BM＝CM。要凑出 SAS，还差一组等边。

怎么破　延长 AM 到 D，使 MD＝AM。这样两组等边齐了，夹角 ∠AMB＝∠DMC 又是一对对顶角，因此 △ABM≌△DCM，得到 AB＝DC。若要比较 AB、AC 和中线 AM，就把 AB 换成 DC，在 △ACD 中用三边关系。

05　截长补短

三条线段，怎样变成两条？

考什么　能不能把一条长段与两条短段的和，变成两条线段相等的问题。

卡在哪　截完只得到一条自己规定的等边。余下的一段能否与另一条短段对应，还得回到图里找条件。

怎么破　要证 x＝y＋z，可先在长段 x 上截出 y，把目标改为「余段等于 z」。接着检查截点附近能不能利用已知等角、等边或直角构造全等。若接不上，可试着在一条短段后补上另一条，再比较拼成的线段与 x。

06　动中找定

点在动，哪些关系还能用？

考什么　能不能从两个位置猜出不变量，再说明它为什么对所有允许的位置都成立。

卡在哪　图上两个位置看着一样，只够提出猜想。只在某个位置出现的共线、垂直或相等，不能用来证明整个运动过程。

怎么破　图中 P、P′ 都在与 AB 平行的同一条直线上，底 AB 固定，垂直距离也固定，因此两个三角形的面积相等。做全等动点题时也这样检查：先列出始终成立的边角条件，再用它们证明所求量不变。

三道例题，练三种突破口

例1　两组等边都有了，夹角在哪？

【2025—2026学年八上期末·第23题第（1）问改编】

如图，△ABD 和 △ACE 都是等边三角形。求证 BE＝CD。

目标是 BE＝CD。先把这两条边放进含共同顶点 A 的两个三角形，看看题目已经给了哪些条件。

1. AB＝AD，AE＝AC。现在缺的是 ∠BAE 与 ∠DAC 的关系。

2. 按图，∠BAE＝∠BAC＋∠CAE，∠DAC＝∠DAB＋∠BAC。两边都是 ∠BAC＋60°。

3. 由 SAS，△ABE≌△ADC，所以 BE＝DC。

判断夹角时，先把两组等边的对应写出来。图形转到别的位置，角的和差也要重新检查。

例2　为什么偏偏从 B 点作垂线？

【2024—2025学年八上期中·第23题第（1）问改编】

在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC。D 是 BC 上一点，且与 B、C 不重合。过 C 作 AD 的垂线，与 AB 交于 F。过 B 作 BC 的垂线，与 CF 的延长线交于 G。找出与 BG 相等的线段，并说明理由。

先看 BG 所在的直角三角形 CBG。从 B 作垂线，恰好让已知的 BC 成为一条直角边，能和原图中的 AC 配对。

1. AC⊥BC，AD⊥CG，所以 ∠CAD＝∠BCG。这两个锐角的两边分别垂直。

2. ∠ACD＝∠CBG＝90°，AC＝CB。由 ASA，△ACD≌△CBG。

3. BG 对应 CD，所以 BG＝CD。

同一道题里出现好几条垂线时，先找哪一条能把已有的等边放进待证的直角三角形。

例3　为什么非要把中线延长一倍？

【2024—2025学年八上10月月考·第23题第（1）问改编】

在 △ABC 中，AB＝5，AC＝3，D 是 BC 的中点。求中线 AD 的取值范围。

三边关系只能比较同一个三角形的三条边。AD 是中线，不能直接拿它和 AB、AC 套三边关系。要想用上两条已知边，可以把 AC 搬到 B 旁边，再让 AD 的两倍成为第三条边。

1. 延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 BE。

2. BD＝CD，AD＝ED，∠ADC＝∠EDB。由 SAS，△ADC≌△EDB，得到 BE＝AC＝3。

3. 在 △ABE 中，5－3＜AE＜5＋3。因为 AE＝2AD，所以 1＜AD＜4。端点分别对应三点共线，不能取。

倍长中线得到全等之后，还要回到目标。这里全等负责把 AC 搬成 BE，三边关系负责求范围。

先自己做一道

【2023—2024学年八上期中·第20题第（2）问改编】

在 △ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°。AB 的垂直平分线交 AC 于 D、交 AB 于 E。连接 BD，求 ∠DBC。

先在图上找出两个等腰三角形，各自的底角是哪两个？

练习解析

1. D 在 AB 的垂直平分线上，所以 DA＝DB。在 △ADB 中，∠ABD＝∠DAB＝40°。

2. 在 △ABC 中，AB＝AC，所以 ∠ABC＝(180°－40°)÷2＝70°。

3. BD 位于 ∠ABC 内部，因此 ∠DBC＝70°－40°＝30°。

垂直平分线给出的是 D 到 A、B 的距离相等。先把 DA＝DB 标回题图，才知道该在哪个三角形里追角。

做题卡住时，问自己五个问题

1. 最后一问还缺哪条边、哪个角，或哪一段高？

2. 前一问已经证明了什么？把它标回图上。

3. 想把哪个量搬到哪里？先写出希望得到的对应关系。

4. 辅助线要补的是一组等边、一对等角，还是一个直角？

5. 证完全等后，还差线段加减、追角，还是三边关系？

复习错题时，选一道已经会做的题，把辅助线遮住。再试着说出它补了哪一个条件，以及证完全等后还要做什么。能自己说出这两步，下次遇到变式就有了可以尝试的方向。