专项训练-解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)-广西、湖南部分学校10月
- 2026-11-11 04:35:10
抛物线压轴题：从“面积范围”到“定点问题”的秒杀技巧
#广西湖南部分学校2027届高三上学期10月阶段性素质评价数学试题 #圆锥曲线定点定值问题 #高考数学 #高中数学
专项训练-解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)-广西、湖南部分学校10月
“导语：抛物线综合题是高考数学的“常客”，尤其是涉及面积范围和定点问题的压轴小题或解答题。 在做这类题时，往往陷入“设直线、联立、韦达定理、硬算”的泥潭，算到一半就放弃了。 这道题，完美展示了“几何直观”与“二级结论”的威力。
一、 解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)-广西、湖南部分学校10月
18.（广西、湖南部分学校2027届高三上学期10月阶段性素质评价）
已知抛物线 与直线 在第一象限交于点 ， 为坐标原点，。
(1) 求 的方程。
(2) 已知点 ，直线 与 交于另外一点 。
若 上恰有4个不同的点 ，使得 的面积均为定值 ，求 的取值范围。
(3) 已知点 是 上异于 的两点，且以 为直径的圆过点 ，证明：直线 过定点。
【条件翻译与破题眼】
| 核心突破口 | |
| 几何转化 |
二、 第(1)问：基础送分，秒杀即可
【规范解答】
联立 ，
消去 得 。
因为 在第一象限，，
所以 。
即 。
由
解得 。
所以抛物线 的方程为 。
三、 第(2)问：面积范围，几何法秒杀
这是本题的难点。常规做法是求弦长、设平行线、算距离，非常繁琐。
推荐：利用“切线距离”快速定界。
方法一：常规代数法（通性通法）
解法思路： 求出 ，设平行线 ，利用判别式确定 的范围，进而求距离 的范围。
完整推导：
求 点坐标：
直线 过 ，方程为 。
联立
解得 (点 ) 或 。
当 时，。所以 。
弦长
分析面积 与距离 的关系：
题目要求有4个点 ，说明对于给定的距离 ，有两条平行于 的直线，每条直线与抛物线有两个交点。
确定 的范围：
设平行线 。
联立
。
直线 方程为 (即 )。
切线方程为 (即 )。
抛物线被弦 分为两部分：
题目要求恰有4个点。 这意味着在 的两侧，各有一条平行线满足条件，且每条线贡献2个点。 对于部分2，只要 就有2个点。 对于部分1，必须 才有2个点。 所以，要同时满足两侧都有点，必须 。
部分1（弓形区域，切线侧）：。此时平行线与抛物线有2个交点。
距离 。因为 ，所以 ，
即 。
部分2（开口外侧）：。此时平行线与抛物线也有2个交点（因为 ）。
距离 。 可以取 。
当 时，直线与抛物线有两个交点。 当 时，直线与抛物线相切。 求 的范围：
因为
所以
答案：。
方法二：几何直观法（推荐，速解）
解法思路： 直接计算 到切线的最大距离 。 只要面积 对应的距离 ，那么在“弓形”一侧就能找到2个点，在“外侧”也能找到2个点（外侧距离可以无限大），共4个点。
完整推导：
直线 。 设切线 。联立 。。 切线为 。 两平行线距离 。 最大面积 。 要有4个点，面积必须小于最大弓形面积（否则弓形侧没点了），且大于0。 所以 。
四、 第(3)问：定点问题，多法破局
这是经典的“抛物线直角弦过定点”模型。
方法一：设点法 + 斜率公式（最推荐，计算量最小）
解法思路： 利用抛物线上两点斜率公式 ，结合 。
完整推导：设 。
已知 。
由抛物线性质，弦 的斜率 。
同理 。
因为 ，所以 。
设直线 。
联立
韦达定理：。
代入 式：
直线方程 。
令 ，此时 。
所以直线 过定点 ****。
方法二：二级结论秒杀法（竞赛/高阶学生必备）
结论内容：
对于抛物线 ，
若弦 对抛物线上一点 张角为 （即 ），
则直线 必过定点 。
本题应用：
。。
定点坐标 。
证毕。
“点拨：这个结论非常实用。推导过程其实就是方法一的过程。 记忆口诀：“横加 ，纵取反”。 如果是椭圆或双曲线，定点公式不同，但抛物线这个特别简洁。
五、 最优方法推荐与思维卡点分析
1. 方法横向比较
| 方法一（设点+斜率） | 最推荐 | |||
| 方法二（二级结论） | 秒杀 | |||
| 方法三（设线法） |
最终推荐：方法一。它展示了抛物线斜率公式的优越性，避免了设 带来的 等复杂项。
2. 思维卡点分析
卡点1：第二问为什么是4个点？ 解答： 很多学生只算了一侧。抛物线是无限延伸的。弦 把抛物线分成“弓形”和“无限支”。 在弓形侧，平行线移动距离有限（最大到切线），提供2个点。 在无限支侧，平行线移动距离无限，提供2个点。 要凑齐4个点，必须两侧都有，所以距离受限于弓形侧的最大距离。 卡点2：第三问斜率公式 怎么来的？ 解答：。 这个公式在抛物线题目中是“神器”，必须熟记。
六、 母题归档与变式训练
1. 母题归档
一级知识点： 抛物线 二级知识点： 直线与抛物线位置关系、面积范围、定点问题 三级题型： 弦长与面积、直角弦过定点 核心几何结构： 抛物线弦切距离、直角弦性质 对应二级结论： 平行弦切点距离最大。 抛物线 上点 引互相垂直弦 ，则 过定点 。 适合学生层次： 中高分学生、高分学生
2. 变式训练
变式题 1（基础巩固）：已知抛物线 ，点 。若 ，求直线 过的定点。
考查点： 二级结论直接应用。 解题方向：。定点 。
变式题 2（能力提升）：将第(2)问改为：若 上恰有2个点 使得面积为 ，求 的取值范围。
考查点： 对图形结构的深入理解。 解题方向： 情况A： 很大，只有外侧有2个点。。 情况B： 恰好等于最大弓形面积，弓形侧1个点（切点），外侧2个点，共3个（不符）。 情况C： 很小，两侧各2个，共4个（不符）。 等等，题目问“恰有2个”。 当 时，弓形侧无点（距离超过最大值），外侧有2个点。符合。 答案：。
“结语：抛物线题目，“设 不设 ” 是铁律。 看到 ，就要想到定点公式。 看到面积范围，就要想到切线距离。 把几何性质刻在脑子里，你的解题速度就能提升一倍。
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