2026年上外附中八年级数学真题解析
- 2026-11-14 03:29:59
2026年上外附中八年级数学真题解析2026学年第一学期初二年级数学期中测试 · 试卷分析与答案解析 一、试卷整体分析 本卷为初二年级数学期中测试，考试时间90分钟，满分100分，不得使用计算器。试卷分四部分：填空题（1—8题每题2分、9—14题每题3分，共34分）、选择题（15—18题每题3分，共12分）、解关于x的方程（19—22题每题4分，共16分）、解答题（23—27题，共38分）。整卷以二次根式、勾股定理、一元二次方程与分式方程、几何翻折与最值问题为主线，综合性较强。 重难点集中在三类：①分类讨论思想（第7、10题，高线在三角形内外、斜边不唯一时必须分情况）；②增根与根的判别式（第4、11、25题）；③翻折与“将军饮马”式最值（第12、13、14题）。建议动笔前先判断图形是否有多解。 二、填空题解析 第1题 等边三角形面积 边长为4的等边三角形，面积 = (√3/4)×4² = 4√3。 第2题 实数范围内分解因式 将原式看作关于 xy 的二次三项式 2(xy)²−5(xy)−1。令 t=xy，由求根公式 t=(5±√41)/4，故原式 = 2(xy−(5+√41)/4)(xy−(5−√41)/4)。 第3题 分式方程 去分母得 5x²=10x，即 5x(x−2)=0，解得 x=0 或 x=2。经检验 x=2 使分母为0，舍去，故方程的根为 x=0。 第4题 增根求参数 两边乘(x²−1)得 4+m(x−1)=2(x²−1)。增根只可能为 x=±1。代入 x=−1：4+m×(−2)=0，解得 m=2。 第5题 翻折求角度 由 AB⊥AC 得∠BAC=90°，∠C=24°，则∠B=66°。AD=AB 使△ABD为等腰三角形，∠ADB=∠B=66°，∠BAD=180°−2×66°=48°，故∠DAC=90°−48°=42°。 第6题 求AB边上的高 先求面积。把BC=4放在数轴上，设A(x,y)，由AB²=25、AC²=17 联立解得 x=3、y=4，故 S△ABC=½×4×4=8。AB边上的高 = 2S÷AB = 16/5。 第7题 求△ABC的面积 本题求面积，须分两种位置。在Rt△ABH中 BH=√(6²−4²)=2√5；在Rt△ACH中 CH=√(5²−4²)=3。 高在三角形内部：BC=BH+CH=2√5+3，面积=½×AH×BC=½×4×(2√5+3)=4√5+6； 第8题 高线交点与等腰直角 ∠C=45°、AD⊥BC，得△ADC为等腰直角三角形，AD=CD，∠DAC=45°。在Rt△AEH中∠EAH=45°，故AE=EH=2，AH=2√2。由AH=DH得DH=2√2，进而BD=DH，故 BH=√2×DH=4。 第9题 韦达定理变形 x₁+x₂=5。原式 x₁²−10x₁−x₂² =(x₁²−x₂²)−10x₁ =(x₁−x₂)(x₁+x₂)−10x₁ =5x₁−5x₂−10x₁ =−5(x₁+x₂) =−25。 第10题 斜边上的中线（分类） 直角三角形两边为2和2√3。①两直角边：斜边=√(2²+(2√3)²)=4，中线=2；②斜边为2√3、一直角边为2：中线=斜边÷2=√3。故中线为 2 或 √3。 第11题 换元与根的个数 
将原式整理为 (x+k/x)²−(x+k/x)=42，解得 x+k/x=7 或 −6，即 x²−7x+k=0 与 x²+6x+k=0 须凑出恰有两个实根。综合判别式与公共根讨论，k 的取值范围为 9<k<49/4 或 k=0。 第12题 翻折重叠面积 ∠A=30°、AC=12，沿DE翻折后由 DE=2√3 分两种落点位置，重叠部分为相似三角形，计算得 S = 6√3 或 3√3/2。 第13题 长方形折叠求CM AB=4、BC=5、AE=2。折叠使 BE 对应 EM，即 EM=BE，用勾股定理建立关于 CM 的方程，解得 CM=4−√11。 第14题 对称点最值 
D是B关于PM的对称点，故 MD=MB=BC+CM=7，即D在以M为圆心、半径7的圆上。在△ABM中 AB=6、BM=7、∠B=60°，AM=√(6²+7²−2×6×7×cos60°)=√43。因A在圆内，AD最小 = 半径−AM = 7−√43。 三、选择题解析 第15题 答案为D 12²+16²=400≠25²=625，不能构成直角三角形；A(9,12,15)、B(16,30,34)、C(7,24,25)均满足勾股定理的逆定理。 第16题 答案为C 到三条公路距离相等的点是三角形两条角平分线的交点（内心），故选C。 第17题 答案为A 由∠B=60°作高可推得∠C=45°⟺AB:AC=√2:√3，两个方向互推均成立，故甲、乙均为真命题。 第18题 答案为D 判别式=(a−b)²+4(ab+4)=(a+b)²+16>0，故x₁≠x₂（A对）；由 x₁+x₂=b−a、x₁x₂=−ab−4 推得B、C成立；而 (x₁+a)(x₂−b) 不恒为正，D错误。 四、解关于x的方程 第19题 x⁴+5x²−24=0 令 x²=t，则 t²+5t−24=0，(t+8)(t−3)=0，因 t=x²≥0 取 t=3，得 x=±√3。 第20题 3x/(x−2)+(x+1)/(x+2)=x²/(x²−4) 两边乘(x−2)(x+2)，去分母化简后解得 x=1/3，经检验分母不为0，成立。 第21题 2x/(x²+3)−(x²+3)/x=7/2 令 t=(x²+3)/x，则 2/t−t=7/2，解得 t=−4 或 1/2。由 t=−4 得 x²+4x+3=0，x=−1 或 x=−3；t=1/2 时 x²−2x+6=0 无实根。 第22题 3(x²+1/x²)−19(x+1/x)+12=0 令 t=x+1/x，则 x²+1/x²=t²−2，代入得 3t²−19t+6=0，解得 t=6 或 1/3。t=6 时 x²−6x+1=0，x=3±2√2；t=1/3 无实根。 五、解答题解析 第23题 提速问题（6分） 设原速为x km/h，列方程 3600/x−3600/(x+40)=3，解得 x=200，提速后为 200+40=240 km/h。因 240<280，故符合安全标准。 第24题 几何证明与求DF（8分） (1) 由∠A=30°、CD⊥AB、CD=AC，可证 Rt△CFG≌Rt△CEA，从而 GE=GF。(2) 结合 BD=1 与含30°的直角三角形比例关系，可求得 DF=3/2。 第25题 只有一个实根求k（8分） 去分母整理为 (k−3)x²+4x−1=0。分三类：①k=3 时退化为一次方程，得 x=1/4，经检验成立；②判别式 16+4(k−3)=0 得 k=−1；③方程产生增根 x=1，代回得 k=0。综上 k=0 或 k=−1 或 k=3。 第26题 台风影响时长（8分） 由AC=150、BC=200、AB=250 知△ABC为直角三角形，C到AB的高 CH=150×200÷250=120 km<125 km，海港C受影响。受影响路段 EF=2√(125²−120²)=2×35=70 km，影响时长 t=70÷15=14/3 h。 第27题 动点与等腰三角形（8分） 
(1) Rt△ABC中AB=8、AC=6、BC=10，由BD=4及AE=AD、EG⊥BC的相似关系可求得 DG=24/5。(2) 按BC为底或腰分类：FB=FC 时 BF=25/3；BC=BF 时 BF=10；BC=CF 时经计算 BF=4√5。故 BF=25/3 或 10 或 4√5。 六、复习建议 ①遇“两边及高”“两边定斜边中线”先画两种位置图，避免漏解；②分式方程务必检验增根，含参问题按“是否退化、判别式、增根”三层分类讨论；③翻折与对称最值题，抓住对称点到圆心距离不变，将动点最值转化为点到圆的距离。订正时应重画图形，并标注每种情形成立的边界条件。
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