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中科院 2026 年数分真题解答

1.计算极限.(1) .(2) .

解. (1) 利用Stolz-Cesaro定理可得，

或者利用夹逼放缩

(2) 令 ，则有

所以

2.设数列  满足 , , 证明:  收敛, 并求其极限值.

证. (方法一) 易知

由数学归纳法可得，即

• 如果可得，即当此条件成立时，单调递增且有上界. 所以根据单调有界可得极限存在设为，对递推公式两边取极限得，则，由于，则.
• 如果即或，此时单调递减且有下界，所以根据单调有界可得极限存在设为，对递推公式两边取极限得，则，由于，则.

综上得.

(方法二)观察到

可知  递增但  递减, 且  事实上明显的不等式  推出  和  更进一步

令  和  得到  且  从而有  即 

(方法三)易得

即

3.设  均为非零实数，证明：

在限制条件  下的最小值存在，并求之．

解. 利用Cauchy-Schwarz不等式得到

故  的最小值为  ，等号成立当且仅当

时成立，此时  ，其中  ．

4.设  在  上二阶连续可导，在  内取得最大值，且在  上 （  为正常数）．证明

证. 设  在  处取得极大值，由费马引理可知

分别在区间  和  上应用拉格朗日中值定理

于是

5.计算第二型曲面积分

其中  为上半椭球面 , 取上侧.

解. 利用高斯公式可得

其中  表示整个椭球体. 令 ，则椭球  变为单位球  ，此时  ，故

其中

所以

6.设  在全平面上有连续偏导数, 且对以任意  为中心，以任意正数  为半径的上半圆周  恒有

求证： .

证. 由题设条件对平面上任意一点  ，以  为中心，任意  为半径作一上半圆域 ，则对  内的一点  有

又有

所以

令  ，取极限得 . 由  的任意性，可知  ．

从而有  ．令  ，取极限得  ．由  的任意性，可知  ．

因此

7.求含参积分 .

解. 这是Laplace积分，对任意的  有

故  在  上一致收敛． 显然， 在  上一致收敛．由可微性定理知，  对  的微商可在积分号下进行，并有

上式又可对  在积分号下求微商，于是又有

这是一个二阶常系数线性微分方程，求得通解为

其中  为任意常数．其初值 ，所以可得

故得到

8.已知 , 证明:

证. 令 ，所以有

9.证明:

其中 .

证.  所证结论的左端积分，即为单位球面  上的曲面积分

要证结论应将  变成  ．

令  ，作坐标旋转．

在  的平面上取正交轴  ，使  成右手系，这时  变成  ．或将  写为柱面坐标，即

这时

因此

10.设，证明: .

证. 这个题但凡考中科院的同学都知道这是22年中科院考研真题，竟然这次命题又出一次. 此题其实这就是用一下Riemann引理的推论(令)就可以了,此处简单叙述并证明:

若,且以为周期,且,则

证明: 先设,将等分为份,根据积分中值定理可知,,其中,

使得

其中.令,再由以为周期,则可知

根据定积分定义可知

于是

对于一般的,可设是其在区间上的下确界(最小值),则且

并以为周期.于是

两边消去,即可证明结论.

所以此题就是一句话的事(的周期为):

注释: Riemann引理，即: 若,且以为周期,且,则

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