前言

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我发现大家似乎都很喜欢清华、北大的题目，既然如此，今天就再给大家来几道北大考过的三道经典真题，放到当时很难，放到现在依旧也不简单哈！

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这些题目即便放到现在，也是很多名校重点的考察对象哦！所以认真做，一定可以学到东西哦！

北京大学数学分析考研真题

第一题（数列极限与渐近分析）

题目

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设 , . 证明：当  时，

解析

令 ，则 . 由  得 ，且

假设 ，则利用  得 ；又由  得 .故  单调递减有下界，从而收敛，且极限  满足 ，所以 .

当  时，由  的泰勒展开及交错级数估计有

于是

反复应用此不等式得

记 ，则 . 因此

由于  的增长速度远快于 ，即 ，故

从而 ，即 ，亦即

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碎碎念：放到现在依旧是经典的题型，永不过时，用到的知识也都是基础知识！

第二题（微分中值定理的逆问题）

题目

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设 ，且

证明：对任意 ，存在  使得

解析

令 ，则 . 由条件，

于是存在 ，当  时 ，即 ；存在 ，当  时 ，即 .

因此  和  都不是  在  上的最小值，最小值必在  内某点  处达到，且 ，.

若 ，则取  即得 。不妨设 （ 的情形类似）。

由于 ，在区间  上  连续，由介值定理存在  使得 ；若  则取 ；若  则存在  使 .

于是取 ，，则

若 ，类似地存在  使 ，取 ， 即得结论。

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碎碎念：只会拉格朗日中值定理可不行，介值定理也要重视，万一考到了呢？往往试卷上的送命题就是那些不太常考的考点，复习一定一定要全面才行哈！

第三题（凹凸函数的渐近性质）

题目

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设  是  上的凹函数或凸函数，且  存在有限。证明：

其中极限过程仅考虑  可导的点。

解析

先设  为凸函数。由凸性，对任意  及  有

取 ，，得

即

记 ，则

由夹逼定理得 .

若  为凹函数，则  为凸函数，且  存在有限。应用上述结论得

即 ，故 .

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碎碎念：凹凸函数是各大名校都很喜欢考察的一个点，这种类型的题型大家一定要多做哦！

曾几何时，清北也是多少人的梦想呢？

每当提到清华北大，心中的敬意油然而生，毕竟是中国的最高学府！

而北大的数院，更是全国公认top1的存在，那么它考的题目当然也值得我们好好研究啦！