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一、选择题
1
若当 时， 是非零无穷小量，则以下的命题中，
① 若 ，则 ；
② 若 ，则 ；
③ 若 ，则 ；
④ 若 ，则 ，
真命题的序号为
解析： ①平方后仍等价；②取 即可否定；③由 ；④由 .故真命题为 ①③④.
答案：
2
解析： 区域为 ，交换积分次序得
再令 ，可得结果为 .
答案：
3
设 在 处有二阶导数，则
- A. 当 在 的某邻域内单调增加时，
- B. 当 时， 在 的某邻域内单调增加
- C. 当 在 的某邻域内是凹函数时，
- D. 当 时， 在 的某邻域内是凹函数
解析： 正确. 可取 在 ； 可取常数函数； 中 表示局部为凸而非凹.
答案：
4
已知 连续，令
则
解析： 设 ，则
故 只通过 依赖于 .于是
再求一次偏导得
答案：
5
设 为常数，若反常积分
收敛，则 的取值范围是
解析： 在 附近，被积函数同阶于 ，收敛条件为 ；在 附近，，故被积函数同阶于 ，收敛条件为 .综上 .
答案：
6
设数列 满足 ，则
- A. 若 存在，则 存在
- B. 若 存在，则 存在
- C. 若 存在，则 存在，但 不一定存在
- D. 若 存在，则 存在，但 不一定存在
解析： 因 ，且 在 上严格单调，所以若 有极限，则 必有极限.但 未必收敛，例如 .故选 .
答案：
7
若
则
解析： 先证 ，故 .又有 ，且 、，于是
故 .因此 .
答案：
8
设矩阵
则 的特征值为 的充分必要条件是
- A. 存在可逆矩阵 ，使得
- B. 存在可逆矩阵 ，使得
- C. 存在正交矩阵 ，使得
- D. 存在可逆矩阵 ，使得
解析： 矩阵的特征值为 当且仅当它与 相似，即存在可逆矩阵 使
答案：
9
设矩阵
则线性方程组 的解的情况为
- A. 无解
- B. 有解
- C. 有无穷多解或无解
- D. 有唯一解或无解
解析： 当 时，方程组有唯一解；当行列式为 0 时，逐一讨论可知增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，因此无解.所以只可能“有唯一解或无解”.
答案：
10
设
若 与 等价，则 的取值范围是
解析： 两组向量等价当且仅当秩相同.计算得
除 外，两组秩相同；其中 时两组秩同为 1，仍等价.故 .
答案：
二、填空题
11
解析： 设极限为 ，取对数：
又 、，故 ，从而 .
答案：
12
已知函数 由方程
确定，则
解析： 先由 得 .对方程 求导：
代入 得 .再求导并代入 ，解得 .
答案：
13
解析： 把分子拆成 ，并写成
前一部分积分为 0，后一部分是反正切型积分，结果为 .
答案：
14
微分方程
的通解为
解析： 特征方程为 ，即 ，根为 ，故通解为
答案：
15
已知曲线 的极坐标方程为
则 围成的有界区域的面积为
解析： 由极坐标面积公式
答案：
16
设 为 阶矩阵，交换 的第 行和第 行，再将第 列的 倍加到第 列，得到矩阵
则
解析： 记题设所得矩阵为 ，则 ，故
计算可得
因此 .
答案：
三、解答题
17
已知函数 在 处可导，且
求 .
解析： 极限存在先给出常数项满足 ，故 .
再由可导性得
代回原式：
故 .
18
设函数 是微分方程
的满足条件
的解，求曲线 在 上的弧长.
解析： 化为线性方程
积分因子为 ，解得
于是
故弧长
19
已知平面区域
计算
解析： 改用极坐标.区域边界为圆 与直线 ，后者化为
又
按 与 分段积分，得
20
已知可微函数 满足
且
（I） 记 ，求 ；
（II） 求 的表达式与极值.
解析： 设 .
（I）
由链式法则
（II）
对 积分得
代入 ，并利用 ，可求得 ，从而
再求偏导可得驻点为 与 ；其中 处取极小值 ， 不是极值点.
21
设函数 在 上有二阶连续导数，证明：
的充分必要条件是对任意不同的实数 ，都有
成立.
解析： 记 .
必要性： 若 ，则 为凸函数.在点 处有
两边在 上积分，且 ，即得
充分性： 反设存在 使 .由连续性，存在邻域 使 ，即该区间上 为凹函数，从而有
与题设矛盾.故 .
22
已知二次型
（I） 求正交矩阵 ，使正交变换 将二次型 化为标准形；
（II） 证明
解析： 二次型对应的对称矩阵为
其特征值为 .可取一组标准正交特征向量
令
则
故标准形为 .又
当 时取等号，因此最小值为 .
