前言

今天来看一道北京大学数学分析考过的超级经典的证明题，之后中科院和重庆大学也都出现过，而且是原题，所以重要性不言而喻。

这道题目很多地方都给出了证法，但大多不太严谨，这里给出正确且严谨的证明方法！

北京大学数学分析考研真题

题目

设  为  上非负连续函数，且  收敛。证明：

分析

要证明积分平均  趋于 ，关键是将  的线性增长与  的可积性分离。

常用手法是固定一个大数 ，将积分拆成  和  两段。

前者因  有界而直接被  消灭，后者利用  放缩为 ，再由无穷积分的尾部任意小控制。这样就把复杂加权平均的极限问题，化为了有界量与尾部积分的简单估计。

解析

由于  收敛且 ，对任意给定的 ，存在 ，使得当  时，

将积分拆分为两部分，得

对于第一部分，因为  在  上连续，故有界。设 ，则

取 ，则当  时，

对于第二部分，利用  在  上成立，有

因此，当  时，

由  的任意性得

证毕。

注（条件可以减弱）

非负条件保证放缩  成立，且尾部积分可任意小；有界性仅需在固定区间上成立，故连续条件可减弱为局部可积。

但非负性的条件必须有，下面举个反例来说明若去掉非负性，原结论是不成立的。

对于 ，虽然  条件收敛，不是绝对收敛，但  不满足非负条件。

由于

当  时，，但  在  内振荡，极限不存在。因此若去掉非负性，原结论不成立。

这种思考模式就和一道题目有两问，去掉第一问是一样的，大家平时在做题的过程中，在做出一道题目之后，也可以思考看能不能把条件稍微变一下，比如减弱一下，看能不能得出原来的结果。