[JLU-真题] 吉林大学 2023-2024 学年《多元统计分析》期中试题解析(补档,仅供参考)

【解析】

由独立标准正态分布的性质，，其特征函数为

对于线性变换 ，其中  为  常数矩阵， 为  维常数向量，有

二、(满分 20 分) 设 ，其中  为  维， 为  维. 证明当  给定时， 的条件分布为

其中

【解析】

将均值向量与协方差阵分块：

构造一个辅助向量

注意到  是  的线性变换，故服从正态分布. 计算  与  的协方差：

正态分布下零协方差等价于独立，故  与  相互独立.  的均值和协方差阵为

因此 . 原向量可分解为

由  与  独立，在给定  的条件下， 的条件分布即为其边际分布. 于是

证毕.

三、(满分 20 分) 设 ，其中

试问下列 5 对随机变量中哪几对是相互独立的，为什么？

(1)  与 ；

(2)  与 ；

(3)  与 ；

(4)  与 ；

(5)  与 ．

【解析】

正态分布下，分量或线性组合相互独立当且仅当它们的协方差为零. 计算各对协方差：

(1)

故不独立.

(2)

故独立.

(3)  与  的协方差向量为

故独立.

(4)

故独立.

(5)

故不独立.

综上，相互独立的为 (2)，(3)，(4).

四、(满分 20 分) 设 , , 即  具有退化的正态分布. 试求一个矩阵 , 使 , 且 .

【解析】

由  的谱分解求其平方根. 矩阵  的特征方程为

特征值为 , . 对应的标准正交特征向量为

记 , 则 . 取

对任意 , 有 , 且

故  成立.

五、(满分 20 分) 叙述最长距离法的聚类分析和主成分分析的步骤.

【解析】

最长距离法的聚类分析步骤. 设  个样品, 初始  个类, 每个类含一个样品. 类间距离定义为两类中样品之间的最大距离. 步骤如下.

第 1 步: 计算初始距离矩阵 , 其中  为样品  与  的欧氏距离或其它选定的距离.

第 2 步: 找出当前距离矩阵中最小的非对角线元素, 将对应的两类合并为一新类.

第 3 步: 按最长距离法更新新类与其余各类的距离. 若类  与  合并为 , 则对任意其它类 ,

第 4 步: 重复第 2、3 步, 直至所有样品合并为一类, 画出谱系图.

第 5 步: 根据谱系图及实际背景确定分类数, 给出分类结果.

主成分分析的步骤. 设  为  维随机向量, 协方差阵 .

第 1 步: 对原始数据标准化(若使用相关阵), 计算样本协方差阵  或相关阵 .

第 2 步: 求  (或 ) 的特征值  及对应的标准正交特征向量 .

第 3 步: 计算累积贡献率确定主成分个数 , 通常取使  的最小 .

第 4 步: 写出主成分表达式 , .

第 5 步: 结合实际背景对主成分进行解释.