高三物理一轮复习·传送带模型母题变式复习讲义
- 2026-09-19 22:28:55
适用：高三复习 / 传送带专题突破
本讲义以“一个母题原型 + 五道递进变式”组织，难度由概念辨识逐步推向多过程综合压轴。变式全部选自近四年高考真题，每题标注年度·地区·题型·难度·核心考点，并附完整解析与方法点拨。
层级 | 题源（年度·地区） | 难度 | 能力增长点 |
母题（原型） | 水平传送带·标准模型（自编） | ★ | 共速判断·划痕·生热·电机做功四量关系 |
变式一 | 2024·安徽·4（选择） | ★ | 倾斜传送带加速→匀速；a-t / v-t 图像辨识 |
变式二 | 2025·福建·8（多选） | ★★ | 弹簧连接两物体；摩擦力相等⇒动量守恒；痕迹与压缩量 |
变式三 | 2024·湖北·14（计算） | ★★★ | 水平传送带+碰撞+圆周（钉）；动量守恒+临界 |
变式四 | 2025·海南·17（计算） | ★★★★ | 圆弧+碰撞+水平传送带；由生热反推带速（双解） |
变式五 | 2022·浙江(6月)·20（计算） | ★★★★★ | 水平传送带+圆弧管道+碰撞+最终静止位置范围（多过程临界） |
二、模型总览与核心方法
2.1 模型本质
传送带问题的核心是“相对运动”：物块与传送带间存在速度差 → 产生滑动摩擦力 → 摩擦力方向由相对运动方向决定（总是阻碍相对运动）→ 摩擦力改变物块运动状态。求解的突破口永远是两步判断：
·① 相对方向：先判断物块相对传送带的初速度方向（谁快、谁慢、同向还是反向）；
·② 共速临界：再判断物块能否在传送带长度内达到与带同速；共速后须进一步判断“能否一起运动”（静摩擦供需）。
2.2 水平传送带的运动情形
初始条件 | 相对运动 | 摩擦力方向 | 物块运动 | 共速后 |
物块轻放（v₀=0），带速 v | 物向右、带向右，物落后 | 向右（带→物） | 向右匀加速到 v | μ 足够则随带匀速 |
物以 v₀>v 滑上（同向） | 物比带快 | 向左（阻碍相对运动） | 向右匀减速到 v | 随带匀速 |
物以 v₀ 滑上、带反向 | 相对速度大 | 沿带运动反方向 | 先减速到 0 再反向加速到 v | 随带匀速 |
水平传送带加速度大小恒为 a = μ g（滑动摩擦阶段）。
2.3 倾斜传送带的运动情形
沿传送带建立坐标，重力分力 m g sinθ 沿带向下，滑动摩擦力 f = μ m g cosθ 方向由相对运动决定。是否“一直加速”还是“加速后匀速”，取决于共速后静摩擦能否平衡重力分力（即 μ 与 tanθ 的大小）。
情形 | 条件 | 运动过程 |
向上运送（带向上转） | μ > tanθ | 轻放后向上匀加速→ 共速后匀速上行 |
向上运送 | μ < tanθ | 轻放后向上加速，但共速后合力向下，最终向下加速（无法送达顶端） |
向下运送（带向下转） | μ > tanθ | 轻放后向下匀加速→ 共速后匀速下行 |
向下运送 | μ < tanθ | 向下匀加速（摩擦向上仍不足以抵消重力分力） |
2.4 四步解题法（通用流程）
·分段：按“轻放/滑上—加速—共速—匀速（或反向）”把运动切成若干阶段；
·受力：画出每阶段受力，重点是滑动摩擦力方向（由相对运动定），共速后看静摩擦供需；
·运动：对每段列牛顿第二定律求 a，用运动学公式求 t、x、v；
·验证：用能量/图像核算——相对位移决定划痕与生热，物块动能增量 + 生热 = 电机多做功。
2.5 核心公式清单
滑动摩擦加速度（水平）： a = μ g
倾斜传送带必须先由相对运动定出摩擦力方向，再沿带列牛顿第二定律，切忌死记。常见两种结果：
摩擦沿带向上、且μ > tanθ（向上运送）： a = g(μ cosθ − sinθ) 【详见变式一】
摩擦与重力分力同向（如相对带上滑、摩擦向下）： a = g(sinθ + μ cosθ)
判断口诀：两者沿带方向相反时取“大 − 小”，方向相同时取“两者之和”。
共速时间： t_共 = v_带 / a （轻放情形）
划痕长度 = 滑动阶段相对位移： Δx = |x_带 − x_物| （共速后不再增加）
摩擦生热： Q = f · Δx_相对 = μ m g · Δx_相对
物块动能增量：ΔEk = f · x_物(对地) 电动机多做功： W = f · x_带(对地) = ΔEk + Q
2.6 三大易错点
·错1：把“对地位移”与“相对位移”混用：划痕与生热都只与相对位移有关！
·错2：共速后想当然认为“一起匀速”：必须先校验 μ 与 tanθ，静摩擦能否提供所需力。
·错3：倾斜传送带摩擦力方向判反：方向由“相对运动”而非“运动”决定；向下滑时摩擦向上。
三、母题（基础原型）
年度·地区：自编·标准模型 | 题型：计算 | 难度：★ | 核心考点：水平传送带四量关系（共速/时间/划痕/生热/电机做功） |
原题
如图所示，一水平传送带长 L = 10 m，以 v = 4 m/s 顺时针匀速转动。质量 m = 1 kg 的物块无初速度轻放于左端，与传送带动摩擦因数 μ = 0.4，取 g = 10 m/s²。求：
·(1) 物块从左端运动到右端所用时间 t；
·(2) 此过程中传送带上留下的划痕长度 s；
·(3) 系统因摩擦产生的热量 Q；
·(4) 电动机多消耗的功 W。
图母题：水平传送带轻放模型
解析
物块轻放后相对传送带向左滑，受向右滑动摩擦力，向右匀加速：
a = μ g = 0.4 × 10 = 4 m/s²
共速所需时间 t₁ = v/a = 1 s，此阶段物块位移 x₁ = ½ a t₁² = 2 m < L，故物块先加速后匀速。
(1) 匀速段位移 x₂ = L − x₁ = 8 m，匀速时间 t₂ = x₂ / v = 2 s，总时间 t = t₁ + t₂ = 3 s。
(2) 滑动阶段传送带位移 x_带 = v t₁ = 4 m，相对位移（即划痕）
s = Δx = x_带 − x₁ = 4 − 2 = 2 m （共速后无相对滑动，划痕不再增加）
(3) 摩擦生热等于滑动摩擦力乘以相对位移：
Q = f · Δx = μ m g · s = 0.4 × 1 × 10 × 2 = 8 J
(4) 电动机多做功等于克服摩擦对传送带做的功（带对地位移 x_带）：
W = f · x_带 = μ m g · (v t₁) = 4 × 4 = 16 J
能量校验：物块动能增量ΔEk = ½ m v² = 8 J，Q = 8 J，ΔEk + Q = 16 J = W ✓。
母题结论（务必记牢）
·划痕长度 = 滑动阶段“相对位移”，不是对地位移；
·Q = f · Δx_相对；电机多做功 W = f · x_带(对地) = ΔEk_物 + Q；
·轻放情形先比较“共速位移 x₁”与“传送带长 L”：x₁ < L 才会出现“先加速后匀速”。
四、变式递进（近四年高考真题）
变式一 2024·安徽·4（选择题） 倾斜传送带的加速—匀速过程
年度·地区：2024·安徽 | 题型：选择题·第4题 | 难度：★ | 核心考点：倾斜传送带；加速度/速度图像；共速后匀速 |
原题
倾角为θ 的传送带以恒定速率 v₀ 顺时针转动。t = 0 时，将小物块无初速度轻放于传送带底端，如图所示。t₀ 时刻物块运动到传送带中间某位置、速度达到 v₀。不计空气阻力，则物块从底端运动到顶端的过程中，加速度 a、速度 v 随时间 t 变化的关系图线可能正确的是（ ）
图变式一：倾斜传送带（底端轻放，向上运送）
四个选项（a-t 与 v-t 关系图）
图变式一·选项：四个关系图（每个选项上为 a-t、下为 v-t）；正确答案为 C
