四边中点连起来,会发生什么?复习题6拓广探索精讲
- 2026-09-20 12:39:04
随手画一个歪歪斜斜的四边形，把四边中点依次连起来，里面竟然总藏着一个平行四边形；在四边形内部选一点，让它到四个顶点的距离和最小，答案又落在两条对角线的交点。这两题都在提醒我们：图形可以变化，关系却可能始终不变。
教材原题
任意画一个四边形ABCD，记其四边的中点分别为E、F、G、H，连接EF、FG、GH、HE，并量出它们的长度，你发现了什么？量出图中∠1、∠2、∠3、∠4的度数，你又发现了什么？多画几个四边形试一试，你能得到什么猜想？
如图，在四边形ABCD内找一点O，使它与四边形四个顶点的距离的和OA＋OB＋OC＋OD最小，并说出你的理由。由本题你得到什么数学结论？举例说明它在实际中的应用。
先量长度：两组对边分别相等
先认真确定四条边的中点，再按E—F—G—H—E的顺序连接。用直尺测量，会发现EF与GH长度相等，FG与HE长度相等。也就是说，中点四边形EFGH的两组对边分别相等，看起来总是一个平行四边形。
只画一个图还不够。把ABCD改画成长条形、倾斜形或更不规则的四边形，每次重新找中点、连接并测量，再把结果记进表格。如果几组图中都出现EF≈GH、FG≈HE，我们就有理由提出猜想。
这里写“≈”，是因为画点和测量会产生小误差。例如理论上相等的两条线段，尺子读数可能相差1 mm。判断时要看差异是否来自操作误差，不能因为一次读数不完全相同就否定规律。
本题要求通过实验发现并提出猜想。重要的是让不同形状的四边形接受同样的检验，观察始终不变的关系。
对角相等，邻角互补
图中的∠1、∠2、∠3、∠4正是平行四边形EFGH的四个内角。测量后会发现∠1＝∠3，∠2＝∠4；相邻两个角的和是180°，四个角的总和是360°。
由此得到猜想：任意四边形四条边的中点依次连接，所得四边形总是平行四边形。原四边形即使很不规则，这个结论仍然成立。
“依次连接”不能打乱顺序，应沿四边形边界按E—F—G—H—E连接。只凭尺子量得相等是实验结果，还需要借助两条对角线说明为什么。
把四段距离分成两组
任取内部一点O，先看OA＋OC。点A到点C之间，经过O的折线路程不会短于直接连接的线段AC，所以OA＋OC≥AC；同理，OB＋OD≥BD。
这个不等式告诉我们，距离和不可能小于AC＋BD。什么时候恰好等于它？只有O同时在线段AC和线段BD上。因此，O应取为四边形两条对角线的交点。
此时OA＋OC＝AC，OB＋OD＝BD，四段距离的和正好达到最小值AC＋BD。这不是“看起来居中”，而是两次使用“两点之间线段最短”得到的严格结论。
先把实际对象变成几何点
假设四个村庄位于四边形四个顶点，需要在内部设置一个公共服务点，并用直线路线分别连接四村。如果目标是使四条路线总长最短，就可以选择两条对角线的交点。
类似地，还可以考虑校园内四栋建筑之间的线路汇接点、四个作业区共同使用的物资点。不过应用时必须先确认条件：四个地点围成凸四边形、按直线距离计算，并且服务点允许设在内部；如果有河流、道路或禁建区，模型就需要调整。
第13题：测量可发现EF＝GH，FG＝HE，∠1＝∠3，∠2＝∠4，相邻角互补；可猜想任意四边形的四边中点依次连接所得图形为平行四边形。第14题：O取两条对角线的交点，最小距离和为AC＋BD。
看中点：按顺序连接，多画几种图形并反复测量。
看距离：把四项分成OA＋OC与OB＋OD两组。
看等号：不仅要得到“不小于”，还要说明何时真正取到最小值。
内容依据：新人教版七年级上册数学第六章第188页，复习题6“拓广探索”第13—14题。本文为教学讲解与学习整理。
图形千变万化，中点、平行与最短线段把规律牢牢固定下来。
