王永喜大神的北大数院期末复习题,正式告破!
- 2026-09-24 09:50:17
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来看一道有趣的级数问题，这也是2025年元旦时候王永喜为北大数院学生们命制的一道期末复习题，也是一道高数题，十分创新，当然难度也不低
王永喜，人称西神，是大学数学辅导圈的开创人（2009-2015），后转战高中数学竞赛，现已成为圈内顶流，知名做题战神，尤其擅长代数表达式，其实力或许可以与ChatGPT 6Pro一战！运气好说不定能平分秋色
本题从诞生至今已经有两年历史了，目前为止全网还无一人做出？也是真的菜啊，包括当年西群也是这样子，那么多的清北华五数学系解题大神，在此都惨遭滑铁卢，毫无操作空间，名校做题家来了也只能干瞪眼！
其实本题并没有很困难，它只是需要一点点复变函数理论，学过留数定理就可以做出，下面我们来讲解一下
问题与解析
设 为方程 的全部正实根。证明：
记
注意到 ，。对正整数 ，取 ，以正方形 、 的正向边界为 。在竖边上直接计算，再利用旋转对称性，可得整个围道上
由儒歇定理， 与 在围道内的零点个数相同，按重数计均为 。另一方面， 交替变号，故每个区间 内至少有一个正根。结合 ，已得到 个不同零点，因此围道内的全部零点恰为 （），且均为单零点。
在正根 处，由 ，化简得
由 ，同组 处的四个留数相等。又在原点处 ，故留数定理给出
由前述围道上的估计，一致地有
令 ，即得
这样我们就完成了证明，是不是感觉也不算困难呢！最后，聪明的读者：你有数学分析解法吗？
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作者：柯西永远爱你
