中考数学复习第五讲:函数(一)
- 2026-09-26 20:05:54
中考数学复习第五讲:函数(一)中考一轮复习第五讲：函数入门全梳理。平面直角坐标系、一次函数、反比例函数，重点讲清图像性质、解析式求法、平移变换和实际应用。 函数（一） 
一、平面直角坐标系 1. 基础定义 平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。 点的坐标记作：(x, y)。 2. 各象限点的符号 第一象限：(+, +) 第二象限：(-, +) 第三象限：(-, -) 第四象限：(+, -) 坐标轴上的点不属于任何象限： x轴上的点：(a, 0) y轴上的点：(0, b) 3. 对称变化 点 (a, b) 关于： x轴对称 → (a, -b) y轴对称 → (-a, b) 原点对称 → (-a, -b) 4. 平移变化 左右平移改变横坐标： 向左移n个单位 → (a-n, b) 向右移n个单位 → (a+n, b) 上下平移改变纵坐标： 向上移n个单位 → (a, b+n) 向下移n个单位 → (a, b-n) 5. 距离公式 点 (x, y) 到： x轴距离 = |y| y轴距离 = |x| 原点距离 = √(x²+y²) 两点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) 的距离： AB = √[(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²] 6. 面积问题 求坐标系中图形面积，常用割补法： ① 先确定各顶点坐标； ② 求出相关线段长度； ③ 用大图形面积减去周围小图形面积； ④ 或分割成几个三角形分别计算再相加。 二、一次函数 1. 定义 一次函数：y = kx + b，其中 k、b 为常数，k≠0。 正比例函数：y = kx，其中 k≠0，是 b=0 的特殊一次函数。 2. 图像与性质 一次函数的图像是一条直线。 k 决定直线的倾斜方向和倾斜程度； b 决定直线与 y 轴的交点位置。 直线 y = kx + b 一定经过点 (0, b)。 当 k＞0 时，y 随 x 的增大而增大： - k＞0，b＞0：图像经过一、二、三象限 - k＞0，b＜0：图像经过一、三、四象限 当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小： - k＜0，b＞0：图像经过一、二、四象限 - k＜0，b＜0：图像经过二、三、四象限 3. 待定系数法求解析式 步骤： ① 设函数解析式； ② 把已知点坐标代入； ③ 解方程或方程组； ④ 求出 k、b 并写出解析式。 正比例函数只需一个点。 一次函数通常需要两个点。 4. 平移变换 平移口诀：上加下减，左加右减。 上下平移： 向上平移n个单位：y = kx + b + n 向下平移n个单位：y = kx + b - n 左右平移： 向左平移n个单位：y = k(x+n) + b 向右平移n个单位：y = k(x-n) + b 5. 对称变换 一次函数 y = kx + b 关于： x轴对称 → y = -kx -b y轴对称 → y = -kx + b 原点对称 → y = kx -b 三、反比例函数 1. 定义 形如 y = k/x 的函数叫做反比例函数，其中 k 是常数，k≠0。 也可以写成： xy = k y = kx⁻¹ 2. 图像与性质 反比例函数的图像叫做双曲线。 图像关于原点中心对称，并且永远不会与 x 轴、y 轴相交。 当 k＞0 时： 图像位于第一、三象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小。 当 k＜0 时： 图像位于第二、四象限； 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大。 注意： 描述增减性时，必须强调“在每个象限内”。 3. k 的几何意义 过反比例函数图像上任意一点 P(x, y)： 向 x 轴、y 轴分别作垂线，围成矩形面积为 |k|； 连接原点后，形成直角三角形面积为 (1/2)|k|。 4. 一次函数与反比例函数综合 求交点时，把两个函数解析式联立，转化为一元二次方程求解。 判别式 Δ＞0，有两个交点； Δ=0，有一个交点； Δ＜0，没有交点。 比较函数值大小时： 先找交点，再以交点横坐标为分界，观察图像位置。图像在上方的，函数值更大。 四、高频易错提醒 1. 坐标轴上的点不属于任何象限。 2. 写点的坐标时，横坐标在前，纵坐标在后。 3. 关于 x 轴对称，纵坐标变号；关于 y 轴对称，横坐标变号。 4. 一次函数中，k≠0 是前提条件。 5. 平移变换时，上下平移改 b，左右平移改 x。 6. 反比例函数增减性必须“在每个象限内”讨论。 7. 反比例函数中 |k| 越大，图像离原点越远。 8. 求面积时，注意线段长度一定是非负的。 #杭州中考#中考一轮复习#函数#平面直角坐标系#一次函数#反比例函数#初中数学#九年级数学#中考数学笔记#杭城数学笔记
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