一道高联二试模拟题

       前天晚上和苏老师交流了一道几何题，他是运用反演变换做的，他问我是否有不用反演的方法？由于水平有限我只好画一个准确的图形进行思考，具体题目和链接🔗如下：运用反演变换解一道竞赛题

      这道题的解题思路好想，设 难点在于证明 昨天中秋节我用空余时间陆续的在想这题，本想用三弦定理去做这题，但感觉太难算了，

另一种思路是利用共轴圆组与开世圆幂定理，只须证明两点分别到两圆的幂的比值相等即可，准确图形如下：

 证明：设 记点 关于 的幂为 ，根据开世圆幂定理，我们只需证明：

 =，  即 ，另一方面由

     梅涅劳斯定理有 ，故只需证明 ，注意到

 ， ，

   故只需证 ，熟知 ，

 ,

 ， ,

显然等式成立，故命题得证。

解后反思:这道题颇为不易，思路简单，计算却有一定的技巧性。本题的共圆实际上2012届IMO预选题的特例，参考资料共轴圆组与开世圆幂定理