《第三章 函数的概念与性质》小结与复习课教学设计（3课时）

第1课时：函数概念与表示方法的系统梳理

一、内容和内容解析

1. 内容

本课时为第三章“函数的概念与性质”的小结与复习第1课时，重点围绕“函数概念”与“函数的表示方法”两大核心内容展开系统回顾与深化。具体包括：函数的三要素（定义域、对应关系、值域），函数的符号表示 ，函数的三种表示方法（解析法、图象法、列表法）及其特点比较，以及函数概念的发展脉络（从初中变量说到高中对应说）。

2. 内容解析

函数是现代数学最基本的概念之一，是贯穿整个高中数学课程的主线。本章中，学生首次用集合的语言与对应关系来刻画函数，完成了从“变量依赖关系”到“集合对应关系”的认知跃升。这种抽象层次的提高，使得函数概念具有了更广泛的包容性和更强大的运算功能——不同的函数可以进行加减乘除等运算，从而为后续研究函数性质、构造新函数奠定了基础。

函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法——各有其适用场景与优劣。解析法精确简洁，便于理论推导和运算；图象法直观形象，便于观察变化趋势和整体形态；列表法直接具体，便于查找对应值和分析离散数据。在实际问题中，能根据需求灵活选择恰当的方法表示函数，是函数素养的重要体现。

3. 知识联系或上下位关系

本课时处于“函数”单元总结提升的枢纽位置。在知识上承前启后：向前承接初中一次函数、二次函数、反比例函数的直观认识，向后为指数函数、对数函数、三角函数等具体函数模型的学习提供概念框架和方法论指导。在本章内部，函数概念与表示方法是后续学习函数基本性质（单调性、奇偶性、最值）、幂函数及其应用的知识前提。从更宏观的学科视角看，函数概念的学习为理解“映射”这一更一般的数学结构提供了类比基础，也与方程、数列、不等式等内容产生广泛联系。

二、目标和目标解析

教学目标：

知识目标：能够准确陈述函数的三要素，能用集合与对应的语言完整描述函数概念；能够列举函数的三种表示方法并说明各自特点；能够熟练求解具体函数的定义域。

技能目标：能够根据实际问题的不同需求，灵活选择恰当的表示方法；能够分析函数图象与解析式之间的对应关系；能够运用函数符号  进行准确的数学表达与推理。

素养目标：在回顾函数概念抽象历程中发展数学抽象素养；在比较不同表示方法的过程中提升数据分析与直观想象素养；在解决定义域等问题中强化数学运算与逻辑推理素养。

目标解析：

目标1达成的标志是：学生能用自己的话准确说出“函数是两个非空实数集之间的一种确定的对应关系”，并能辨别一个对应关系是否为函数；面对具体函数（如 ），能准确列出定义域的限制条件并求出定义域。

目标2达成的标志是：面对一个实际问题，学生能分析数据特征，选择合适的表示方式（如用列表法呈现离散数据、用图象法展示变化趋势、用解析法进行精确计算）；给定一个函数的图象，能描述其变化规律并据此推断可能的解析式。

目标3达成的标志是：学生能梳理函数概念从初中到高中的发展脉络，体会数学抽象的层次递进；能通过具体实例的对比分析，理解三种表示方法各自的优势与局限，形成根据情境选择方法的意识；在求解定义域的过程中能条理清晰地完成运算与推理。

三、教学重难点

教学重点：函数三要素的深入理解与定义域的求解；三种表示方法的特点比较与灵活选用。

教学难点：用集合与对应的语言准确刻画函数概念，理解函数概念由“变量说”到“对应说”的抽象化过程及其必要性；在具体问题情境中，根据实际需求恰当选择函数表示方法，并实现不同表示方法之间的转换。

四、教学问题诊断分析

1. 认知基础

学生在初中已经接触过函数概念，知道“在一个变化过程中，有两个变量  和 ，对于  的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与之对应”。在本章新课学习中，学生已经学习了用集合与对应的语言定义函数，会用解析法、图象法、列表法表示函数，也能求解简单函数的定义域。

2. 潜在困难

学生对函数概念的认识可能仍停留在“变量说”的层面，对“对应说”的理解不够深入，不能真正体会到两种定义的本质联系与差异。

在求定义域时，学生容易遗漏限制条件（如分母不为零、偶次根号下非负等），或对多个限制条件的交集处理不当。

对于三种表示方法的比较，学生可能停留在机械记忆层面，不能灵活根据问题情境选择恰当的方法。

3. 突破策略

通过设置具体实例对比“变量说”与“对应说”，制造认知冲突，引导学生体会“对应说”的普适性与精确性。

通过典型例题的规范求解，帮助学生总结求定义域的一般步骤和常见限制条件，形成程序化的解题策略。

设计开放性问题，让学生在具体情境中比较三种表示方法的优劣，通过讨论和反思形成深层理解。

五、教学过程设计

【环节一】创设情境，引入课题（约8分钟）

设计意图：以知识结构图为主线，帮助学生建立全章知识的整体框架，激活已有的认知结构，明确复习的方向和目标。同时，通过问题引发学生对函数概念的再思考，为深入复习做铺垫。

师生活动：

教师展示本章知识结构图（即教科书中的结构图）：

函数 → 函数的现实背景 → 函数的概念与表示 → 函数的基本性质

函数的基本性质 → 幂函数

函数的基本性质 → 函数的应用

问题1：请同学们观察这幅知识结构图，说说本章我们学习了哪些核心内容？它们之间有什么样的逻辑关系？

预设：学生回答：本章先学习了函数的概念与表示，然后学习了函数的基本性质（单调性、最值、奇偶性），接着学习了幂函数，最后是函数的应用。概念与表示是基础，性质是在概念基础上的深化研究，幂函数是具体函数模型的应用实例。

追问：你觉得“函数的概念与表示”在整个章节中起到了什么作用？

预设：学生回答：概念是后续研究性质的前提，表示方法是研究性质的工具。

教师总结：是的，函数的概念与表示是本章的基石。今天这节课，我们就来系统地梳理和深化对函数概念与表示方法的认识。

问题2：教科书在“回顾与思考”中提出：“通过本章学习，你对函数概念有什么新的认识？”请同学们对比初中的函数定义和本章的函数定义，谈谈你的理解。

预设：学生可能回答：初中的定义强调“变量之间的依赖关系”，本章的定义强调“两个数集之间的对应关系”。本章的定义更精确，适用范围更广。

追问：为什么说“对应说”比“变量说”的抽象层次更高？“对应说”的优势体现在哪里？

预设：学生可回答：“对应说”不需要依赖“变化过程”的直观，而是用集合的语言精确刻画了自变量与因变量之间的对应关系，这使得函数的定义更加严密。同时，“对应说”强调了两个数集之间的对应关系，而不仅仅是“变量依赖”，为后续研究函数运算等问题提供了可能。

教师总结并补充：教科书提到，在“对应说”下，不同的函数可以进行加减乘除等运算，这使得函数研究的内容和应用的范围得到了扩展。这正是“对应说”抽象层次提高的价值所在。

【环节二】师生互动，深化概念（约12分钟）

设计意图：通过问题串的形式，帮助学生深入理解函数的三要素，辨析函数概念中的关键点（对应关系的确定性、定义域的重要性），体会“对应说”的内涵。同时，通过对具体函数定义域的求解，复习求定义域的基本方法。

师生活动：

问题3：函数的三个构成要素是什么？它们在确定一个函数时各自起到了什么作用？

预设：学生回答：定义域、对应关系、值域。定义域是自变量的取值范围，对应关系描述了两个数集之间的对应规则，值域是函数值的集合。

追问：当判断两个函数是否为同一个函数时，我们应该比较哪些要素？为什么？

预设：学生回答：比较定义域和对应关系。因为值域由定义域和对应关系唯一确定。

追问（辨析）：判断以下各组中两个函数是否为同一函数，并说明理由：

 与 ；

 与 。

预设：第一个不是同一个函数，因为定义域不同；第二个也不是同一个函数，因为对应关系不同（）。

教师总结：判断两个函数是否为同一函数，关键在于定义域和对应关系是否完全相同，缺一不可。

问题4（复习参考题第1题）：求下列函数的定义域：

(1) ；

(2) 。

请同学们先独立思考，然后小组交流答案。

师生活动：

教师请学生先说出本题的问题类型与目标。

①这是什么问题？求函数定义域的问题，目标是确定使函数有意义的自变量的取值范围。

②题目给出了哪些条件？两个函数表达式：(1)中有两个二次根式的乘积；(2)中有分子为二次根式，分母含有绝对值。

③求解目标的数学含义是什么？求定义域即求使函数解析式中各部分都有意义的  的集合，需要同时满足所有限制条件。

教师引导学生逐步分析每个函数中的限制条件：

对于(1)：两个二次根式都需要被开方数非负，即  且 ，等价于  且 。取交集得定义域为  即 。

对于(2)：分子中  需要 ，即 ；分母 ，即 。综合条件为  且 ，所以定义域为 。

方法归纳：求函数定义域的核心步骤：

识别函数解析式中各部分的结构（分式、根式等）；

列出每一个限制条件（分母非零、偶次根号下非负等）；

将所有限制条件取交集，得到定义域。

问题5：在求定义域时，我们经常遇到哪几类限制条件？请同学们总结一下。

预设：学生回答：分式的分母不能为零；偶次根式的被开方数要大于等于零；零次幂的底数不能为零；实际问题中还要考虑实际意义。

教师展示一道综合性的定义域问题，引导学生实践：

设函数 ，求定义域。

预设：条件为  且  且 ，即  且  且 。定义域为 。

【环节三】比较方法，深化理解（约12分钟）

设计意图：通过具体实例，引导学生系统比较函数的三种表示方法的特点，体会在不同问题情境中选择不同表示方法的合理性。同时，通过对第14题（商场日销售量问题）的分析，学会从数据表格中猜想函数关系，初步体验建模思想。

师生活动：

问题6（复习参考题第14题）：某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价 （单位：元）与日销售量 （单位：件）之间有如下表所示的关系：

（1）根据表中提供的数据描出实数对  的对应点，根据画出的点猜想  与  之间的函数关系，并写出一个函数解析式；

请同学们先说出本题的问题类型与目标。

①这是什么问题？这是一个函数建模问题，目标是从数据表格中观察规律，猜想并写出函数解析式。

②题目给出了哪些条件？四组对应数据：，，，。

③如何建立条件与目标的联系？将数据点描在坐标系中，观察点的分布特征，判断函数类型。

师生活动：

教师引导学生在坐标系中描点，观察点的位置关系。

追问1：观察这四个点的位置，它们呈现出什么样的规律？你能猜测这是什么类型的函数吗？

预设：学生发现四个点大致落在一条直线上。当  从30增加到50时， 从60均匀减少到0。

追问2：若是线性关系，如何确定这条直线的解析式？

预设：学生可用两点式：设 ，代入  和  得：

所以 。

检验：验证其他点是否满足：当  时， ✓；当  时， ✓。

所以函数解析式为 。

追问3：这个实际问题的定义域是什么？是所有的实数吗？

预设：学生回答：不是，因为  表示日销售量，需要 。当  时，。同时  表示售价，要高于进价30元，所以 。定义域为 ，即 。

教师总结：在实际问题中，函数定义域不仅要满足数学条件（解析式有意义），还要满足实际意义（如非负性、现实约束等）。这体现了“数学来源于生活”的思想。

问题7：通过这个实例和之前的例题，请同学们比较函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法——各自的特点和适用场景。

师生活动：

教师组织小组讨论，然后请各组代表发言。

预设：

列表法：直接给出自变量与函数值的对应关系，不需要计算，适合数据量较少、离散的情形。优点是一目了然，缺点是不便于观察变化趋势，也不便于进行数学运算。

图象法：直观地展示函数的变化趋势和整体形态，适合观察函数的性质和规律。优点是直观，缺点是读取精确值不够方便。

解析法：精确地描述了自变量与函数值之间的数量关系，便于进行理论推导和精确计算。优点是精确简洁，但不够直观。

追问：在实际问题中，为什么我们常常需要在这三种方法之间进行转换？

预设：学生回答：因为不同的需求需要不同的表示方式。例如，要观察趋势用图象法，要精确计算用解析法，要快速查值用列表法。各种方法互补，灵活转换才能更好地解决问题。

教师结合教科书中“回顾与思考”的内容总结：在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。这正是函数表示方法的灵活运用能力。

【环节四】课堂练习，内化新知（约8分钟）

设计意图：通过即时练习，巩固求定义域的方法和对函数概念的理解，检测学生对本课时核心知识的掌握情况。

师生活动：

练习1：已知函数 ，求：

（1）（）；

（2）（）。

学生独立完成后交流答案。

预设：

（1）

（2）

注意：本题需注意分母不为零的限制条件。

练习2：设 ，求证：

（1）；

（2）（）。

预设：

（1）

（2）

【环节五】课堂小结，回顾反思（约5分钟）

设计意图：引导学生从知识、方法、思想三个层面总结本课收获，帮助学生建构系统化、结构化的知识体系。

师生活动：

问题8：请同学们从以下三个层面总结本节课的学习收获：

（1）知识层面：函数概念的本质是什么？三要素是什么？

（2）方法层面：求定义域的一般步骤是什么？如何选择函数的表示方法？

（3）思想层面：函数概念的“对应说”相比“变量说”有何进步？这对你的数学思维有何启示？

预设：学生总结：

知识：函数是两个数集之间的一种确定的对应关系，三要素为定义域、对应关系、值域；三种表示方法为解析法、图象法、列表法。

方法：求定义域需列出所有限制条件取交集；选择表示方法需根据问题需求。

思想：从“变量说”到“对应说”体现了数学抽象层次的提升，也拓展了函数研究的范围（如函数间的运算）。

教师补充并强调：函数概念的发展体现了数学追求精确性、一般性和结构性的特点。本章学习中我们经历的“从几何直观到自然语言描述，再到符号化刻画”的过程，也是今后研究数学问题的基本范式。

六、目标检测设计

检测题1：求函数  的定义域。

【设计意图】检测学生对求定义域方法的掌握，覆盖了“二次根式非负”和“分母非零”两个限制条件。通过学生的解答，可反馈其是否掌握了“列全限制条件、取交集”的步骤。对应教学目标1和2。

【答案】需满足  且 ，即  且 。定义域为 。

检测题2：判断下列各组中的两个函数是否为同一函数，并说明理由：

（1），；

（2），。

【设计意图】检测学生对“两个函数为同一函数需定义域和对应关系都相同”的理解。通过对比，可反馈学生能否准确比较定义域和对应关系。对应教学目标1和3。

【答案】

（1）不是同一函数。 的定义域为 ，而  的定义域为 ，定义域不同。

（2）是同一函数。 且定义域均为 ，定义域和对应关系都相同。

检测题3：某物体运动的路程 （单位：m）与时间 （单位：s）的关系如下表：

（1）请用图象法表示这个函数关系；

（2）猜想  与  之间的函数解析式，并写出定义域。

【设计意图】检测学生对三种表示方法的理解与转换能力，以及从数据中抽象函数关系的能力。通过学生的作图与解析式书写，可反馈其是否实现了列表法、图象法、解析法之间的灵活转换。对应教学目标2和3。

【答案】

（1）图象为过原点的直线上的五个离散点 ，，，，。

（2）猜想 ，其中  为非负实数。定义域为 （实际问题中可根据情境限制为  等）。检验： 时 ， 时 ， 时 ， 时 ， 时 ，均满足。

七、布置作业

基础巩固题：

复习参考题第1题（求定义域）；

复习参考题第2题（已知 ，求函数值）；

复习参考题第3题（证明函数性质）。

综合应用题：

1. 4. 复习参考题第14题（商场日销售利润问题，完整写出全过程）。

八、板书设计

第三章 函数的概念与性质 小结与复习（第1课时）

一、函数概念

1. 1. 三要素：定义域、对应关系、值域
2. 2. 同一函数：定义域和对应关系都相同
3. 3. “变量说”→“对应说”的抽象化

二、函数的表示方法

解析法    精确、便于运算

图象法    直观、便于观察

列表法    直接、便于查值

三、求定义域

1. 1. 限制条件：分母≠0；偶次根号下≥0等
2. 2. 步骤：列条件→取交集

四、典型例题

例1（复习题1）：求定义域        例2（复习题14）：函数建模

第2课时：函数基本性质（单调性、最值、奇偶性）的梳理与深化

一、内容和内容解析

1. 内容

本课时聚焦于函数的基本性质——单调性、最大（小）值、奇偶性的系统复习与深化。具体包括：单调性的定义与判定方法（定义法），函数最大（小）值的概念与求法，奇偶性的定义与判定，以及利用函数的性质解决综合问题的策略。

2. 内容解析

函数的基本性质是函数概念的具体体现和深化。教科书从几何直观出发，先用自然语言描述函数图象特征，再抽象为数学符号刻画数量特征，这一“直观感知→语言描述→符号刻画”的过程本身就是数学思维的典范。单调性刻画了函数值随自变量增大而变化的趋势，最值反映了函数在特定范围内的“极端”表现，奇偶性揭示了函数图象的对称特征。这三者构成了研究函数行为的基本维度，是后续研究各类具体函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）性质的工具和方法论基础。

3. 知识联系或上下位关系

本课时在上承“函数概念与表示”的基础上，对于函数性质的研究具有方法论示范意义。教科书特别指出：“在研究这些基本性质时，一般是先从几何直观（观察图象）入手，然后运用自然语言描述函数的图象特征，最后抽象到用数学符号刻画相应的数量特征。”这一研究范式将贯穿后续所有具体函数的研究。同时，函数的单调性与最值密切相关（单调函数在闭区间上的最值在端点取得），奇偶性与对称性联系紧密，这些性质的综合运用也是解决实际优化问题（利润最大、用料最省等）的数学工具。

二、目标和目标解析

教学目标：

知识目标：准确陈述函数单调性、最大（小）值、奇偶性的定义；能用自己的语言描述这些性质的几何意义；掌握用定义判断和证明函数单调性、奇偶性的基本步骤。

技能目标：能利用定义法证明函数在指定区间上的单调性；能判断简单函数的奇偶性；能利用函数性质求解参数取值范围和函数最值等综合问题。

素养目标：经历“从图象直观到符号刻画”的完整思维过程，体会数学抽象和逻辑推理的素养要求；在应用性质解决综合问题的过程中，培养数学运算和逻辑推理的素养。

目标解析：

目标1达成的标志是：学生能准确写出单调性的定义（对任意 ，若 ，则 ），能说明奇函数图象关于原点对称、偶函数图象关于  轴对称；能用自然语言解释“单调递增就是函数值随自变量增大而增大”。

目标2达成的标志是：面对一个具体函数（如 ），能通过对称轴与区间的位置关系判断其单调性，进而确定参数  的取值范围；能通过定义法证明函数  在其定义域上的单调性并判断奇偶性。

目标3达成的标志是：在复习过程中能主动回忆研究函数性质的一般路径（图象直观→语言描述→符号刻画→逻辑证明），并能将这一方法论迁移到后续学习新函数的过程中。

三、教学重难点

教学重点：函数单调性、奇偶性的定义回顾与判定方法；利用函数的性质（尤其是单调性）解决参数问题和实际优化问题。

教学难点：用严格的数学符号语言进行单调性的逻辑证明（定义法证明的完整书写）；综合利用函数的单调性、奇偶性解决较复杂的综合问题（如含参数的函数问题）。

四、教学问题诊断分析

1. 认知基础

学生在本章新课中已经学习了单调性、最大（小）值、奇偶性的定义和基本判定方法，能识别简单函数的单调区间，能判断常见函数的奇偶性。对于定义法证明单调性的基本步骤（设元、作差、变形、定号、结论）有初步的印象和操作经验。

2. 潜在困难

在定义法证明单调性时，学生往往在“变形”环节出现困难，尤其是涉及分式、根式的函数，不知道如何将  变形到能判断正负的形式。

在“定号”环节，学生容易忽略对参数或变量的分类讨论，导致证明不完整。

对于含参数的函数单调性问题（如复习参考题第4题），学生可能不知如何将“具有单调性”这一条件转化为关于参数的不等式。

在奇偶性的判断中，部分学生容易忽略定义域是否关于原点对称这一前提。

3. 突破策略

通过典型例题的完整示范，强化“设元→作差→变形→定号→结论”五步法的书写规范，引导学生总结针对不同类型函数（整式、分式、根式）的变形策略。

通过第4题的深度分析，帮助学生建立“二次函数在区间上具有单调性”与“对称轴不在区间内”之间的等价转化关系。

通过反例（如定义域不对称的函数）强化奇偶性判断中定义域的先行地位。

五、教学过程设计

【环节一】知识回顾，建构框架（约8分钟）

设计意图：引导学生回顾三类基本性质的定义和判定方法，梳理知识框架，为后续综合运用做好铺垫。关注从“几何直观→自然语言→符号刻画”的思维路径。

师生活动：

问题1：本章我们研究了函数的哪些基本性质？请用自己的语言描述每一种性质的核心含义。

预设：学生回答：单调性（函数值随自变量增大而增大或减小的趋势），最大（小）值（函数值在定义域内的最大值或最小值），奇偶性（函数图象的对称性）。

追问1：教科书在“回顾与思考”中说，研究函数性质的过程是“先从几何直观入手，然后运用自然语言描述，最后抽象到用数学符号刻画”。请同学们以单调性为例，说说这个过程的三个层次分别是什么？

预设：

几何直观：图象从左到右上升（或下降）；

自然语言：函数值随自变量的增大而增大（或减小）；

符号刻画：任意 ，有 （或 ）。

追问2：为什么要用严格的数学符号来刻画函数性质？自然语言已经能表达意思了，符号化的价值何在？

预设：学生可能回答：符号语言更精确，没有歧义；便于进行逻辑推理和运算。

教师补充：符号化使得我们能够对“是否具有某种性质”进行严格的逻辑判断，而不仅仅停留在直观感知层面。这是数学严谨性的体现。

问题2：请同学们填写以下关于三种性质的判定要点：

预设：学生补充填写，教师校对纠偏。

【环节二】例题精讲，方法提炼（约15分钟）

设计意图：通过对复习参考题第4题和第9题的深度分析，帮助学生建立“函数性质”与“参数求解”之间的联系，提炼利用函数性质解决问题的思维方法。

师生活动：

例题1（复习参考题第4题）：已知函数  在  上具有单调性，求实数  的取值范围。

教师引导学生按照“五步分析法”进行问题拆解：

第1步——明确问题本身：

①这是一个什么类型的数学问题？→ 求参数取值范围的问题；

②具体要求解的目标是什么？→ 求实数  的取值范围；

③这个目标的数学含义是什么？→ 找到  的取值范围，使得  在  上是单调的（单调递增或单调递减均可）。

第2步——拆解题设条件：

①题目给出了哪些已知条件？→  是二次函数，开口向上（二次项系数 ）；区间 ，函数在此区间上具有单调性。

②每个条件的数学含义是什么？→ 二次函数  的对称轴为 。二次函数在对称轴左侧单调递减，右侧单调递增。

③求解目标与已知条件的关联点在哪里？→ 函数在  上具有单调性意味着区间  完全位于对称轴的左侧或右侧，即对称轴不在区间内部。

第3步——建立条件与目标的联系：

将“具有单调性”转化为关于对称轴的不等式。

追问：二次函数在  上具有单调性的几何意义是什么？

预设：对称轴  不在区间  内部。即对称轴  或对称轴 。

即 

解得 

第4步——落实方法并验证：

追问：是否需要考虑端点处的情况？当  时对称轴为 ，此时函数在  上单调递增吗？

预设：当  时，，对称轴为 ，在  上单调递增 ✓。当  时，对称轴为 ，在  上单调递减 ✓。所以端点是允许的。

第5步——写出完整解答：

示范解答：

 是二次函数，其对称轴为 。

函数在  上具有单调性的充要条件是对称轴不在区间  的内部，即：

解得：

所以实数  的取值范围为 。

方法归纳：对于二次函数在给定区间上的单调性问题，关键是找对称轴，然后利用对称轴与区间的位置关系来确定参数范围。

例题2（复习参考题第9题）：

（1）已知奇函数  在  上单调递减，那么它在  上单调递增还是单调递减？

（2）已知偶函数  在  上单调递减，那么它在  上单调递增还是单调递减？

教师引导学生进行逻辑推理：

追问1：根据奇函数的定义和图象特征，奇函数在对称区间上的单调性有什么规律？

预设：奇函数的图象关于原点对称，在对称区间上单调性保持不变。

追问2：能否用符号语言来证明我们的结论？

预设：设  是  上的任意两个实数，则 ，且 。因为  在  上单调递减，所以当  时有 。由奇函数性质 ，，得 ，即 。所以  在  上单调递减。

结论：奇函数在对称区间上单调性相同（同为增或同为减）。

追问3：偶函数的结论是什么？请类比证明。

预设：偶函数在对称区间上单调性相反。设 ，则 ，由  在  上单调递减得 ，即 ，所以  在  上单调递增。

结论：偶函数在对称区间上单调性相反。

【环节三】综合探究，能力提升（约12分钟）

设计意图：通过复习参考题第12题的完整分析，综合运用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等多个知识点，实现知识的融会贯通。

师生活动：

例题3（复习参考题第12题）：试讨论函数  的定义域、值域、单调性、奇偶性，并画出函数图象。

教师引导学生完整分析：

第1步——定义域：

该函数由  和  两部分组成，其中分式部分要求分母 。所以定义域为 ，即 。

第2步——奇偶性：

设 ，则 。定义域关于原点对称，所以函数是奇函数。

第3步——单调性：

用定义法判断。在区间  上，任取 ：

因为 ，所以 ，且 。所以 ，即 。因此  在  上单调递增。

追问：在  上的单调性如何？能否利用奇偶性直接推出？

预设：因为  是奇函数，且  在  上单调递增，所以  在  上也单调递增。

（由第9题结论：奇函数在对称区间上单调性相同）

第4步——值域：

由单调性可知，当  时，；当  时，。所以  在  上的值域为 。由奇函数的对称性，在  上的值域也为 。因此函数的值域为 。

第5步——图象：

根据以上性质，描点连线画出图象（双曲型曲线，两支分别在一、三象限，均单调递增）。

方法归纳：研究一个函数的基本路径为：定义域→奇偶性→单调性→值域→画图象。其中奇偶性的判断可以帮助简化单调性的讨论（只需研究一半区间），这体现了性质之间的相互联系。

【环节四】课堂练习，巩固提升（约8分钟）

设计意图：通过即时练习巩固对性质的运用，检测学生的掌握程度，为后续教学提供反馈。

师生活动：

练习1：判断函数  的奇偶性，并讨论其在  上的单调性。

预设：，为奇函数。在  上任取 ：

当  均大于1时，，函数递增；当  时，，函数递减。所以在  上单调递增，在  上单调递减。（此处可引导学生认识到：若  还需进一步讨论，但分区间讨论已足以说明）。

练习2（复习参考题第5题）：已知幂函数  的图象过点 ，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性。

预设：设 ，代入  得 ，所以 ，即 。定义域为 ，不关于原点对称，所以非奇非偶。在  上单调递减。图象为过点  和  的下降曲线。

【环节五】课堂小结，回顾反思（约7分钟）

设计意图：引导学生系统总结本课所学知识和方法，深化对函数性质研究的理解，体会研究函数的一般方法论。

师生活动：

问题3：请同学们围绕以下三个问题回顾本课收获：

（1）函数的三大基本性质是什么？如何用符号语言刻画？

（2）研究函数性质的一般过程是什么（教科书“回顾与思考”中的描述）？

（3）奇函数和偶函数在对称区间上的单调性各有什么规律？证明的思路是什么？

预设：

（1）单调性、最大（小）值、奇偶性。

（2）先从几何直观（观察图象）入手，然后运用自然语言描述图象特征，最后抽象到用数学符号刻画数量特征。

（3）奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。证明利用了  将对称区间上的问题转化为已知区间上的单调性来判断。

追问：在研究函数  时，我们是按照什么样的顺序进行的？这种顺序有何合理性？

预设：先定义域（确定讨论范围），再奇偶性（利用对称性简化讨论），再单调性（刻画变化趋势），最后值域和图象。这个顺序能使讨论系统化、简洁化。

教师总结强调：这一研究路径——定义域先行、对称性辅助、单调性为核心、图象直观呈现——将成为我们后续研究幂函数、指数函数、对数函数等新函数的基本范式。希望同学们能有意识地将这一方法论内化为自己的研究工具。

六、目标检测设计

检测题1：已知函数  在区间  上具有单调性，求实数  的取值范围。

【设计意图】检测学生能否将“区间上具有单调性”转化为对称轴与区间的位置关系。这是对“二次函数单调性与对称轴关系”这一核心知识的迁移运用，考查逻辑推理与数学运算素养。对应教学目标2和3。

【答案】 的对称轴为 。在  上具有单调性等价于  或 。

检测题2：已知函数  是定义在  上的偶函数，且在  上单调递减，比较 ，， 的大小关系。

【设计意图】检测学生对偶函数对称性和单调性关系的综合理解。通过比较大小，可反馈学生是否掌握了“偶函数在对称区间上单调性相反”这一性质。对应教学目标2。

【答案】因为  是偶函数，在  上单调递减，则在  上单调递增。。又 ，且  在  上单调递增，所以 。

检测题3：判断并证明函数  的奇偶性。

【设计意图】检测学生对奇偶性判断步骤的掌握，尤其是定义域对称性的检验。对应教学目标1。

【答案】定义域为 ，关于原点对称。，所以  为奇函数。

七、布置作业

基础巩固题：

复习参考题第4题（二次函数单调性与参数范围）；

复习参考题第9题（奇偶函数对称区间单调性）。

综合提高题：

1. 3. 复习参考题第12题（讨论  的性质并画图）。

八、板书设计

第三章 函数的概念与性质 小结与复习（第2课时）

一、函数的基本性质

1. 1. 单调性：任意x₁<x₂，f(x₁)<f(x₂)（增）

任意x₁<x₂，f(x₁)>f(x₂)（减）

1. 2. 奇偶性：f(-x)=-f(x)（奇）；f(-x)=f(x)（偶）

前提：定义域关于原点对称

1. 3. 最大(小)值

二、研究函数性质的方法

几何直观→自然语言→符号刻画→逻辑证明

三、典型例题

例1（复习题4）：对称轴与区间位置关系

例2（复习题9）：奇偶性与对称区间单调性

例3（复习题12）：y=x-1/x的完整讨论

定义域→奇偶性→单调性→值域→图象

第3课时：函数应用与综合问题解决

一、内容和内容解析

1. 内容

本课时聚焦于函数知识的综合应用，重点解决实际应用问题与函数综合问题。具体包括：利用函数模型解决实际优化问题（利润最大问题、电力收益问题等），函数图象的应用（含图象法表示函数、图象分析），以及综合运用函数的概念、性质和图象解决较复杂的问题。

2. 内容解析

“函数的应用”是本章知识结构的落脚点。函数作为描述变量之间依赖关系的重要数学模型，其价值最终体现在解决实际问题上。教科书在本章最后的复习参考题中设置了多个实际应用问题（利润问题、电力收益问题、几何图形面积问题等），这些问题需要学生将实际问题抽象为函数模型，利用函数的概念和性质进行分析求解，再回到实际情境中解释和验证结果。这体现了数学建模的核心素养要求，也展示了函数作为“描述变量之间依赖关系的重要数学模型”的应用价值。

3. 知识联系或上下位关系

本课时是本章的收束课，在知识和方法上具有高度的综合性。实际应用问题需要使用函数的概念（建立函数模型）、函数的表示方法（选择恰当的表示方式）、函数的性质（单调性求最值、值域）等多方面知识。从学科核心素养的角度，本课时着重发展学生的数学建模素养和数学运算素养。从后续学习的角度看，这种“从实际问题中抽象函数模型→用函数知识解决问题→回到实际解释验证”的完整过程，是后续学习指数函数、对数函数等函数模型应用的典范。

二、目标和目标解析

教学目标：

知识目标：能够从实际问题中抽象出函数关系，明确函数的定义域（考虑实际意义）；能够利用函数的单调性求解函数在给定区间上的最大（小）值。

技能目标：掌握将实际问题转化为函数模型的一般步骤（审题→建模→求解→验证→回归）；能够分段函数、图象等方式描述实际问题的函数关系；能够综合运用函数概念、性质和图象解决较为复杂的综合问题。

素养目标：在“实际问题→函数模型”的转化过程中发展数学建模素养；在利用单调性求最值等运算中强化数学运算素养；在解释函数模型的实际意义中提升数学抽象与数据分析素养。

目标解析：

目标1达成的标志是：面对一个实际应用题（如复习参考题第6题、第10题），学生能准确识别自变量、因变量及其关系，写出函数解析式，并能结合实际情况确定函数的定义域（如在利润问题中注意  的非负性和整数性限制）。

目标2达成的标志是：学生能完整实现“审题建模→求解→回归解释”的流程；能求解分段函数在给定区间上的最值（如第6题中分段讨论利润函数的最大值）；对于含参的实际问题（如第10题），能根据题目条件列出不等式求解参数范围。

目标3达成的标志是：学生在解决实际问题时能主动抽象函数关系、选择恰当的函数模型、用数学方法求解并对结果进行实际意义的检验；在解决问题的过程中能清楚地阐述每一步的数学依据。

三、教学重难点

教学重点：应用问题的函数建模过程——从实际问题中识别变量关系并建立函数解析式；利用函数单调性求最值的策略。

教学难点：在复杂的实际问题中准确建立函数模型（尤其是分段函数和含参问题的处理）；综合运用函数的概念、表示、性质解决跨知识点的综合问题。

四、教学问题诊断分析

1. 认知基础

学生已经掌握了函数的概念、三种表示方法和基本性质，并能运用这些知识解决一些简单的函数问题。对于利润问题（总收入-总成本）等常见应用模型有一定的生活经验和数学经验。

2. 潜在困难

在实际问题的建模过程中，学生可能难以准确识别自变量和因变量，以及它们之间的依赖关系；对于复杂的实际情境（如第10题电价问题），可能不知如何提取关键信息。

对于分段函数的处理，学生可能在“分段讨论”和“整体把握”之间转换不灵活，容易遗漏某些区间的讨论或在分段点处出错。

在求最值问题时，学生可能只关注解析式的代数运算，而忽略定义域对最值的限制（如第6题中  的范围对利润表达式的影响）。

3. 突破策略

在例题教学中采用“审题引导→建模分析→数学求解→实际回归”四环节分析框架，每一步都明确目标和方法，帮助学生建立完整的建模流程。

通过分段函数的规范书写和讨论，强化“分段点”处取值的一致性和完整覆盖。

强调定义域的实际意义约束，在求最值前先明确函数的实际定义域，可避免脱离实际的错误。

五、教学过程设计

【环节一】回顾方法，引入课题（约6分钟）

设计意图：回顾函数应用的一般路径，帮助学生建立起解决应用问题的整体框架，明确数学建模的基本流程。

师生活动：

问题1：本章的知识结构图显示，函数的应用是最后的落脚点。请同学们回忆，在本章学习过程中，我们遇到过哪些函数的应用问题？解决这些问题的基本路径是什么？

预设：学生可举出课本中的实例（如平均成本问题等），总结为：实际问题→数学建模（解析式）→数学求解（性质分析）→实际问题答案。

追问：在建模过程中，最关键的一步是什么？最容易被忽略的一步是什么？

预设：建模最关键的是正确识别自变量和因变量之间的数量关系；最容易被忽略的是定义域的实际限制。

教师总结：今天这节课，我们将通过几个典型的应用问题和综合问题，来完整经历“建模→求解→回归”的全过程，巩固函数应用的方法。

【环节二】例题精讲——利润最优化问题（约12分钟）

设计意图：通过复习参考题第6题的深度解析，帮助学生建立利润问题的函数模型，掌握分段函数求最值的方法，体验“实际定义域”对最值的影响。

师生活动：

例题1（复习参考题第6题）：某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入 （单位：元）关于月产量 （单位：台）满足函数：

（），（）。

（1）将利润 （单位：元）表示为月产量  的函数；

（2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润）

教师引导学生进行五步分析：

第1步——明确问题：

①这是一个什么类型的问题？→ 实际应用问题，需要先建立利润函数模型，再求最大值。

②求解目标是什么？→ （1）写出利润  关于产量  的函数解析式；（2）求使利润最大的产量及最大利润。

③目标的数学含义是什么？→ 根据“利润=总收入-总成本”建立函数；在定义域内求函数的最大值。

第2步——拆解题设条件：

①固定成本：20000元（与产量无关）；每台增加投入100元，所以总成本 。

②总收入  是分段函数，当  时 ；当  时 （总收入不再随产量增加而增加——可能是市场饱和）。

③利润 。

第3步——建立条件与目标的联系：

当  时：

当  时：

所以利润函数为：

（），（）。

第4步——求解最大值：

当  时，

追问1：当  时， 何时取得最大值？

预设：，这是开口向下的抛物线，顶点在 ，属于  区间内。所以当  时，最大利润为  元。

当  时，，一次项系数为负， 单调递减。当  时，，远小于25000。所以  时利润为负且持续下降。

第5步——回归实际并写出完整解答：

示范解答：

（1）总成本为 ，利润为 。

当  时：

当  时：

所以：

（），（）。

（2）当  时：

当  时， 元。

当  时， 单调递减，，不可能超过25000元。

所以当月产量为300台时，利润最大，最大利润为25000元。

方法归纳：解决利润问题的基本路径：

分别确定收入函数和成本函数，利润=收入-成本；

注意分段函数的分段讨论，确保每段表达式正确；

分别求每段的最大值，再比较取最大；注意分段点处的衔接和定义域的限制。

【环节三】例题精讲——含参实际应用问题（约12分钟）

设计意图：通过复习参考题第10题的深度解析，引导学生处理含参数的实际应用问题，体会用不等式求解参数范围的方法，感受数学建模的完整过程。

师生活动：

例题2（复习参考题第10题）：某地区上年度电价为0.8元/(kW·h)，年用电量为  kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW·h)至0.75元/(kW·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW·h)。经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为 ）。该地区的电力成本价为0.3元/(kW·h)。

（1）写出本年度电价下调后电力部门的收益 （单位：元）关于实际电价 （单位：元/(kW·h)）的函数解析式；（收益=实际电量×(实际电价-成本价)）

（2）设 ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？

教师引导学生分析：

第1步——明确问题：

①这是什么类型的问题？→ 含参数实际应用问题，包括建模和求解两部分。

②求解目标是什么？→ （1）建立收益  关于电价  的函数；（2）求  时满足“收益比上年至少增长20%”的最低电价。

第2步——拆解题设条件：

①上年度收益：上年度电价为0.8元，用电量为 ，成本价为0.3元。上年度收益 =  元。

②新增用电量与实际电价和用户期望电价（0.4元）之差成反比：设实际电价为 ，则差为 ，新增用电量为 。

③本年度实际用电量 = 上年用电量 + 新增用电量 = 。

④电价下调范围为 。

第3步——建立函数模型：

第4步——求最低电价（ 时）：

追问1：“收益比上年至少增长20%”是什么意思？列成数学式子是什么？

预设：即本年度收益  上年度收益 。

将  代入收益函数：

要使 ，即：

因为 ，两边同除以 ：

追问2：如何解这个不等式？

预设：化简：

因为 ，所以 ，两边同乘  不等号方向不变：

因式分解：

解得  或 。

结合电价范围 ，得 。

所以电价最低定为  元/(kW·h)。

第5步——回归检验：

当  时，新增用电量为 ，本年度总用电量为 ，收益为 ，正好比上年增长 。

示范解答：

（1）本年度实际用电量为 ，所以收益函数为：

（2）上年度收益为 。收益至少增长20%，即 。

当  时：

所以 ，即：

化简得 ，即 。

结合 ，得 。

所以电价最低定为  元/(kW·h) 时可保证收益比上年至少增长20%。

方法归纳：含参实际应用问题的处理策略：

根据题意列出含参函数解析式，注意定义域的实际限制；

将题设条件（如“至少增长20%”）转化为不等式；

将参数赋值后，通过解不等式得到结果；

最终结果需回归实际意义进行检验。

【环节四】课堂练习，综合应用（约10分钟）

设计意图：通过独立练习，让学生尝试独立完成一个实际应用问题的建模与求解过程，巩固函数应用的方法。

师生活动：

练习（复习参考题第14题第（2）问）：设经营此商品的日销售利润为 （单位：元），根据上述关系，写出  关于  的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润。

提示：回顾第（1）问的结论：，定义域为 。日销售利润 = 单件利润 × 日销售量 = 。

预设：学生独立完成：

当  时， 元。所以销售单价为40元时，日销售利润最大，最大利润为300元。

【环节五】课堂小结，全章展望（约5分钟）

设计意图：对全章复习进行总结收束，帮助学生建立完整知识体系，明确函数学习的意义和后续发展方向。

师生活动：

问题2：通过本节应用问题的解决，你对“函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型”这句话有什么更深刻的理解？

预设：学生回答：函数不仅仅是抽象的数学对象，它可以用来描述和解决实际生活中的问题（利润最大化、电价调整等），而且我们需要根据实际问题确定定义域，用数学方法求解后再回到实际问题中解释。

问题3（教科书“回顾与思考”提问）：你能结合具体实例，分析、比较函数的各种表示方法的特点吗？函数的性质一般包括哪些方面？为什么要研究这些性质？

预设：学生结合全章复习内容做出回答，教师适当补充完善。

全章收束：教师总结本章的学习路径——从函数概念的抽象定义，到函数性质的符号化刻画，再到幂函数的具体研究，最后到实际应用——这条路径体现了数学研究的基本范式，也为下一阶段学习指数函数、对数函数等新函数提供了方法论框架。请同学们在后续学习中自觉运用这些方法。

作业布置与结束语：完成剩余的复习参考题（第7题、第8题、第11题、第13题），在解题过程中注意运用本章所学的概念、性质和方法。

六、目标检测设计

检测题1：某工厂生产一种产品，每日最多生产100件。每日固定成本为500元，每件产品的可变成本为20元。已知日销售收入 （单位：元）与日产量 （单位：件）的关系为 。求日利润  关于产量  的函数解析式，并求日产量为多少时利润最大。

【设计意图】检测学生是否掌握了利润问题的建模方法和利用函数性质求最值的策略。通过“每日最多100件”这一条件考查学生确定实际定义域的能力。对应教学目标1和2。

【答案】利润 ，定义域为 。

配方：，因  且对称轴  不在区间内，所以  在  上单调递增， 时  元。日产量为100件时利润最大。

检测题2：设函数 （），（），求 ，， 的值。

【设计意图】检测学生对分段函数求值的掌握，以及用字母表示自变量时进行分段讨论的能力。对应教学目标1。

【答案】

；

；

当  即  时，；

当  即  时，。

七、布置作业

基础巩固题：

复习参考题第7题（分段函数求值）；

复习参考题第10题（电价问题，完整书写全过程）。

综合提高题：

1. 3. 复习参考题第13题（正三角形面积函数，完成解析式与图象）；
2. 4. 复习参考题第14题（商场利润问题，完整书写全过程）。

八、板书设计

第三章 函数的概念与性质 小结与复习（第3课时）

一、函数应用的一般路径

实际问题→建立函数模型→利用性质求解→回归实际检验

二、典型应用问题

例1（复习题6）：利润最优化问题

利润=总收入-总成本

分段函数求最大值

例2（复习题10）：电价调整问题

收益=实际电量×(实际电价-成本价)

含参不等式求解

三、方法总结

1. 1. 建模时注意定义域的实际限制
2. 2. 分段函数分段讨论，注意衔接
3. 3. 含参问题将条件不等式化

整体教学说明（贯穿三课时的设计理念）

本教学设计严格遵循普通高中教科书《数学（A版）必修第一册》第三章“函数的概念与性质”的“小结”与“复习参考题”的编写意图和教学要求：

忠实于教材整体结构：教学设计以教科书中的知识结构图（函数→函数的现实背景→函数的概念与表示→函数的基本性质→幂函数→函数的应用）为主线，分三课时依次覆盖“概念与表示”“性质”“应用”三大板块，不改变教材整体逻辑。

紧扣课程标准要求：依据《普通高中数学课程标准（2017年版）》，本章教学应帮助学生“用集合与对应的语言刻画函数概念”“理解函数的单调性、最大（小）值、奇偶性”“结合具体函数了解幂函数的概念”，教学设计旨在促进数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养的发展。

体现“回顾与思考”的引领作用：教学设计以教科书“回顾与思考”部分的三个核心问题为线索——函数概念的新认识、函数表示方法的特点比较、函数性质研究的意义与方法——将其融入各个课时的问题串设计中。

系统利用复习参考题：三课时精选了复习参考题中的典型题目，按照“复习巩固→综合运用→拓广探索”的层次逐步深入，所选例题覆盖了函数概念、表示方法、单调性、奇偶性、分段函数、实际应用等多个维度，并按照“五步分析法”对每道例题从明确问题、拆解题设、建立联系、确定方法、落地验证五个层面进行深度解析。

注重知识生成过程与思维发展：每个课时都遵循“问题驱动”的原则，通过问题串引导学生主动思考、小组讨论、方法归纳，在复习过程中完成知识的系统化和方法的内化，使复习课不止于“做题”，而是实现“结构化理解”和“素养提升”。

第三章函数的概念与性质小结与复习(回归教材ima版)教学设计（二）

【注意：1.由于使用教材出版年份不同，文中教材页码与学生课本页码可能不同，仅供各位教师学习研究；2.由于微信公众号对数学公式中中文字符的兼容性，部分公式可能不能正确显示。】

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