中考复习第六讲:函数(二)
- 2026-10-05 18:16:13
中考复习第六讲:函数(二)升入九年级，二次函数是中考数学里分量最重的模块，选择、填空、压轴大题都会考。很多同学混淆几种解析式、看不懂图像符号、区间最值经常踩坑。今天把全套核心考点整理好。 函数（二） 
一、二次函数基础定义 形如 y等于a乘以x平方，加上b乘以x，加上c的函数，其中a、b、c是常数，a不等于0。 - a决定开口方向；b和a共同决定对称轴；c代表抛物线和y轴交点纵坐标。 三种解析式 1. 一般式：y=ax²+bx+c（a≠0） 适合已知抛物线上3个普通点，用待定系数法求解。 2. 顶点式：y=a(x‑h)²+k（a≠0） 顶点坐标(h , k)，对称轴直线x等于h，适合已知顶点、对称轴、最值条件。 3. 交点式：y=a(x‑x₁)(x‑x₂)（a≠0） x₁、x₂是抛物线和x轴两个交点横坐标，仅当抛物线和x轴有交点才可以用。 特殊快速设式 顶点在原点：y=ax² 对称轴为y轴：y=ax²+k 顶点落在x轴上：y=a(x‑h)² 抛物线过原点：y=ax²+bx 二、图像与平移规律 基础图像y=ax² a大于0开口向上；a小于0开口向下；a绝对值越大，抛物线开口越窄。 平移口诀：左加右减，上加下减 y=ax²向上/向下平移c个单位得到 y=ax²+c y=a(x‑h)²+k，h控制左右平移，k控制上下平移。 一般式转顶点式配方 y=ax²+bx+c，可以配方变形为 y = a[ x + b/(2a) ]² + (4ac‑b²)/(4a) - 对称轴：直线 x = 负b除以2a - 顶点坐标：( -b/(2a) ，(4ac‑b²)/(4a) ) a、b、c符号判断 ✅a：看开口，上正下负 ✅b：看对称轴，左同右异；对称轴在y轴左边，a、b符号相同；对称轴在y轴右边，a、b符号相反；b等于0对称轴就是y轴。 ✅c：看抛物线和y轴交点，交点在y轴正半轴c大于0；交于原点c等于0；交于负半轴c小于0。 小技巧快速代值： x取1，得y=a+b+c x取‑1，得y=a‑b+c x取2，得y=4a+2b+c 三、二次函数和一元二次方程 判别式 Δ = b²‑4ac 1. Δ＞0：抛物线与x轴2个交点；对应一元二次方程两个不相等实数根 2. Δ＝0：抛物线与x轴只有1个交点（顶点落在x轴）；对应方程两个相等实数根 3. Δ＜0：抛物线和x轴没有交点；对应一元二次方程无实数解 二次函数解不等式 ax²+bx+c＞0：找图像在x轴上方部分对应的x取值 ax²+bx+c＜0：找图像在x轴下方部分对应的x取值 四、高频必考题型 题型1：求函数解析式 根据给的条件，选对解析式形式，代入点计算。 给三个普通点 → 选一般式 给顶点或者最值 → 选顶点式 给x轴上两个交点 → 选交点式 题型2：图像平移问题 关键点：只看顶点的平移，不要直接改动a的值。记住左加右减针对x，上加下减针对整体。 题型3：判断a、b、c相关式子正负 中考选择题高频考点，结合对称轴、特殊x代入、判别式综合判断。 题型4：交点问题 ①抛物线和坐标轴交点 和y轴交点直接令x=0；和x轴交点令y=0，解一元二次方程。 ②抛物线和一次直线交点 联立两个函数解析式，整理成一元二次方程，看判别式： Δ＞0，2个交点；Δ=0，1个交点；Δ＜0，无交点。 题型5：最值问题（考试重难点） 情况1：x取全体实数，最值直接在顶点取。 a大于0，顶点处取最小值；a小于0，顶点处取最大值。 情况2：x有取值范围 x₁ ≤ x ≤ x₂（区间最值，极易丢分） ⭐如果对称轴落在给定区间内部：最值出现在顶点；另一个最值出现在区间两个端点其中一个。 ⭐如果对称轴不在给定区间：整个区间y随x单调变大或者变小，最值直接在区间左右两个端点取得。 易错提醒：很多同学直接套顶点公式算最值，忽略题目给的x取值范围，直接丢整道题分数。 五、复习易错提醒 1. 写顶点式平移的时候，左加右减是只对x进行操作，不要给h符号搞反。 2. 交点式只能用于抛物线和x轴有交点的情况，Δ小于0不能写交点式。 3. 求最值先看题目有没有限制x的取值范围，不是所有题目都可以直接用顶点。 4. abc符号判断，牢牢记住口诀“左同右异”。 #杭州中考#九年级数学#二次函数#中考数学总复习#初中数学笔记
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