HKU PHYS2150 Test 1复习
- 2026-10-08 05:23:57
HKU PHYS2150 Test 1复习一，直线与平面 二，二次曲面 三，柱坐标系与球坐标系 Chapter 2 多元微积分 一，极限、连续性和可微性 二，偏导数和链式法则 三，泰勒展开 四，全微分和误差估计 五，二元函数的极值与驻点 六，拉格朗日乘数法 七，二重积分 （三重积分和重积分中的换元法Test 1不考，阅读周时会单写一篇补充上） Chapter 1 三维坐标几何 一，直线与平面 基础公式记清楚，没有很难的题。 
求skew line之间的距离 (2019/20 Test 1) 
二，二次曲面 录了个视频简单过了一下六种二次曲面的式子和形状（主要给自己看） 三，柱坐标系与球坐标系 柱/球坐标系不等式 转 图像 将柱/球坐标系不等式换成直角坐标系不等式，可更快判断形状。 
直角坐标系不等式 转 柱/球坐标系不等式 球坐标系中，常用从原点射出的射线分开不同的边界 
柱坐标系中，可通过z=k平面将范围划分开，也可以考虑平行于z轴的直线经过的上下界 
Chapter 2 多元微积分 一，极限、连续性和可微性 求极限 证明极限不存在的方法： 1，证明在一条线（限制条件）上极限不存在 2，证明两条线（限制条件）上极限不相等 (Exercise 2 Q3) 
其它求极限的方法：因式分解、Sandwich Theorem和坐标系转换。有时也会忘记有些题直接把数代进去就可以求出来。 (Exercise 2 Q3) 因式分解和直接代入 
(HW1 Q4(a)) 坐标系转换 
证明连续性 最主要是去证明(c)，但(a)和(b)两个前提条件也要先满足。 
(HW1 Q4(c)) 函数在某点处极限存在是函数在某点处连续的必要条件。若函数在a点处极限不存在，则函数在a点处一定不连续。 
是否可微 (Exercise 2 Q7) 若f在a点处不连续，则f在a点处一定不可微。 
二，偏导数和链式法则 定义法求偏导数 (Exercise 2 Q4) 
链式法则 画树状图是使用链式法则的好方法（练习答案里的树状图是竖着的，我个人习惯画横着的） (Exercise 2 Q9) 
隐函数求导 
(Exercise 2 Q11) 
三，泰勒展开 
注意这里是默认了f是C2类函数，及f的二阶偏导数在邻域内连续，否则不可以写f_xy=f_yx。 求error (HW2 Q1(c)) 
注意这里求误差的时候，不要直接把展开点代入三阶偏导了，而要观察一下在x和y误差范围内，有没有能让error尽量大的点。 
四，全微分和误差估计 最大误差估计 只知道自变量增量的绝对值上限，计算时需要需对每一项都取绝对值。 (Exercise 2 Q14) 
实际变化量估计 自变量有明确的起点和终点，增量有确定的正负符号。计算时直接代入具体增量符号求近似变化量，不取绝对值。 (Exercise 2 Q15) 
五，二元函数的极值与驻点 
注意课程里学习的公式是用于二元函数的，所以如果列条件时列出了三个未知数，应该运用题目条件把其中一个未知数用另外两个表示。 另外一点就是计算上可能比较繁琐。我的个人感觉是不要着急把表达式拆开，因为后续直接代数进去算一定比当下拆表达式要快得多。最后验证时，先算D(x,y)，后算f_xx(x,y)会比较好，因为有可能算完D(x,y)就不用继续往下算了。 (HW2 Q2) 
六，拉格朗日乘数法 
如果有两个限制g(x,y,z)=k和h(x,y,z)=a，则共有5条方程和五个未知数。 
计算时的一个技巧是让联立方程组的等号右边相等（二阶偏导方法和拉格朗日乘数法的对比以及从下面这题总结到的东西稍后更新到评论区） 
七，二重积分 
平面直角坐标系 重点是先表示出范围R。注意选择一个simple的变量，积分时放在最外面。 常考计算面积、体积和质心： (HW2 Q5) 
极坐标系 道理是一样的，只是多一个用极坐标表示R的步骤。大多情况下取角度simple。有时可以把两个范围R1和R2合并成一个范围R简便计算。 
(HW2 Q4) 
求体积时，如果曲面是向外翻的，可能需要用相减的方法。计算前也可以先观察所求体积或面积是否有一定对称性，可以简化计算步骤。 (2019/20 Test1 Q2(c)) 
后续有空做更多题会再补充。
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Chapter 1 三维坐标几何
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