2026年10月高等教育自学考试(概率论与数理统计(经管类))(课程代码 04183)试卷·附答案解析

说明：本卷中 Φ(x) 表示标准正态分布函数，u₀.₀₂₅ 与 t₀.₀₂₅(n) 分别表示标准正态分布和自由度为 n 的 t 分布的上侧分位数，χ²(n) 表示自由度为 n 的卡方分布，E(X)、D(X) 分别表示随机变量 X 的数学期望与方差。

1．在古典概型中，将一枚均匀骰子连续抛掷两次，则两次点数之和为 7 的概率是（　　）。

A．1/6

B．1/9

C．1/12

D．5/36

2．设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，则下列结论中正确的是（　　）。

A．F(x) 是单调不增函数

B．F(x) 的取值可以大于 1

C．F(x) 是单调不减函数

D．F(x) 在 (-∞, +∞) 内处处连续

3．设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，则 P(X = 1) = （　　）。

A．0.1353

B．0.2707

C．0.3679

D．0.5000

4．设随机变量 X 的方差 D(X) = 3，则 D(2X - 1) = （　　）。

A．7

B．11

C．12

D．6

5．设随机变量 X 满足 E(X) = 10、D(X) = 4，则由切比雪夫不等式可得 P(|X - 10| ≥ 5) ≤ （　　）。

A．0.16

B．0.20

C．0.25

D．0.32

6．设 X₁, X₂, …, Xₙ 是来自正态总体 N(0, 1) 的简单随机样本，则统计量 n·X̄² 服从的抽样分布是（　　）。

A．χ²(n)

B．t(n)

C．F(1, n)

D．χ²(1)

7．在假设检验中，当原假设 H₀ 实际上成立时，却作出拒绝 H₀ 的判断，这类错误称为（　　）。

A．第一类错误

B．第二类错误

C．样本信息不足

D．随机误差

8．在显著性水平为 α 的假设检验中，若检验统计量的值落入了拒绝域，则应（　　）。

A．接受原假设

B．拒绝原假设

C．不能作出判断

D．需要重新抽取样本

9．对于一元线性回归方程 ŷ = ȃ + b̂x，回归系数 b̂ 表示（　　）。

A．x 每增加一个单位，y 一定增加 b 个单位

B．y 每增加一个单位，x 平均增加 b 个单位

C．x 每增加一个单位，y 平均减少 b 个单位

D．x 每增加一个单位，y 平均增加 b 个单位

10．设 A、B 为两个随机事件，若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 A 与 B（　　）。

A．互不相容

B．互为对立事件

C．相互独立

D．存在包含关系

11．设 A、B 为两个随机事件，由条件概率公式知 P(B|A) = 1/3，且 P(A) = 1/2，则 P(AB) = ______。

12．设随机事件 A₁、A₂ 互不相容且 A₁∪A₂ 为必然事件，P(A₁) = 0.3，P(A₂) = 0.7，P(B|A₁) = 0.4，P(B|A₂) = 0.6，则由全概率公式可得 P(B) = ______。

13．设随机事件 A 与 B 相互独立，P(A) = 0.5，P(B) = 0.4，则 P(A∪B) = ______。

14．设随机变量 X 服从二项分布 B(10, 0.3)，则其分布律中 P(X = 0) = ______（结果保留两位小数）。

15．设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = c·x（0 < x < 2），f(x) = 0（其他），则常数 c = ______。

16．设随机变量 X 在区间 [2, 6] 上服从均匀分布，则 P(X > 5) = ______。

17．设随机变量 X 服从正态分布 N(1, 4)，已知标准正态分布函数值 Φ(1) = 0.8413，则 P(X < 3) = ______（结果保留两位小数）。

18．由大数定律，设随机变量 X₁, X₂, …, Xₙ 相互独立且同分布，E(Xᵢ) = μ，则当 n → ∞ 时，样本均值 X̄ 依概率收敛于 ______。

19．设 X₁, X₂, …, Xₙ 相互独立且同分布，E(Xᵢ) = μ，D(Xᵢ) = σ²。由中心极限定理，当 n 充分大时，其算术平均值 X̄ 近似服从 N(μ, ______)。

20．设 X₁, X₂, …, Xₙ 是来自总体 X 的简单随机样本，X̄ 为样本均值，则样本方差 S² = ______。

21．设 X₁, X₂, …, Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的简单随机样本，X̄ 为样本均值，S² 为样本方差，则统计量 t = (X̄ - μ)/(S/√n) 服从自由度为 ______ 的 t 分布。

22．设随机变量 ξ ~ χ²(m) 与 η ~ χ²(n) 相互独立，则统计量 F = (ξ/m)/(η/n) 服从自由度为 ______ 的 F 分布。

23．设总体 X ~ N(μ, σ²)，μ 未知，检验原假设 H₀: μ = μ₀，备择假设 H₁: μ ≠ μ₀，显著性水平为 α，则在 σ² 已知时的拒绝域为 |u| > ______。

24．设总体 X ~ N(μ, σ²)，σ² 未知，在均值 μ 的假设检验中，应采用 ______ 检验。

25．在一元线性回归方程 ŷ = ȃ + b̂x 中，用最小二乘法估计参数时，是使残差平方和达到最小值；若样本观测值为 (xᵢ, yᵢ)（i = 1, 2, …, n），则残差平方和 Q = ______。

26．

某工厂甲、乙两条生产线生产同一种零件，甲线的产量占 60%，乙线的产量占 40%；甲线产品的次品率为 2%，乙线产品的次品率为 5%。现从该厂产品中任取一件。

（1）由全概率公式求取到次品的概率；

（2）若已知取到的是次品，由贝叶斯公式求它来自甲线的概率（结果保留两位小数）。

27．

设随机变量 X 的概率密度为

f(x) = c·x²（0 < x < 1），f(x) = 0（其他）。

（1）求常数 c；

（2）求 X 的期望 E(X)；

（3）求 P(X > 1/2)。

28．

设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布律如下表所示。

（1）求常数 a；

（2）求 X 和 Y 的边缘分布律；

（3）判断 X 与 Y 是否相互独立。

29．

设随机变量 X 的分布律为 P(X = -1) = 0.2，P(X = 0) = 0.3，P(X = 2) = 0.5。

（1）求 X 的数学期望 E(X)；

（2）求 X 的方差 D(X)；

（3）设 Y = 2X - 1，利用数学期望的性质与方差的性质求 E(Y) 与 D(Y)。

30．

某厂生产的零件长度（单位：mm）服从 N(μ, σ²)，σ² 未知。现从该批零件中随机抽取 16 件，测得样本均值 X̄ = 20.00，样本标准差 S = 0.40。已知 t₀.₀₂₅(15) = 2.131，u₀.₀₂₅ = 1.96。

（1）求 μ 的置信度为 0.95 的区间估计（即置信区间）；

（2）简述该置信区间的含义。