高三二轮复习 · 复数与逻辑用语专题
- 2026-10-09 17:39:11
考点题型图谱｜例题解析｜全题型覆盖
第一部分复数与逻辑用语重点高考考点题型图谱（先看图，再刷题）
复数的命题空间极小——本质是「代数形式与几何意义 × 四则运算与共轭模 × 两类逻辑判定」的有限组合。下面两张表覆盖高考复数与逻辑用语的全部考点题型：2019—2025 八年云南所用卷中，复数题恒为全卷第 1、2 题（5 分），题型高度收敛于「复数四则运算／相等／共轭／模」；逻辑用语（量词命题、充分必要条件）近年以综合题形式回归。先记住图谱，再带着图谱刷后面的题。
表1 考点—题型—考查频率—破题钥匙（覆盖全部考点）
模块 | 具体考点 | 考查频率与说明 | 破题钥匙 |
复数表示 | z=a+bi、实部虚部、纯虚数 | 必考：题目必含，需与几何互转 | 先写出a、b，再谈实部虚部 |
复数相等 | a+bi=c+di ⇔ a=c且 b=d | 高频：求参数首选 | 实部、虚部分别相等，列方程组 |
共轭复数 | z的共轭复数=a-bi； | 高频：与四则运算结合考 | 虚部变号；乘共轭即分母实数化 |
模 | |z|=√a²+b² | 必考：与运算、几何意义结合 | 先算a²+b² 再开方 |
四则运算 | 加减乘除、除法分母实数化 | 必考：第1、2 题几乎必考其一 | 除法：分子分母同乘分母的共轭 |
i 的幂 | ；i 的幂以 4 为周期 | 高频：化简先降幂 | 见到i 高次幂先按 4 取余 |
几何意义 | |z−z0|=r 是圆 | 中频：与轨迹、最值交汇 | 化复数为点(a,b) 或向量 |
复数与方程 | 实系数方程虚根成对；含参复数方程 | 中频：与相等、判别式结合 | 虚根成对；设z=a+bi 代入 |
量词命题 | ∀、∃ 量词命题及其否定 | 必考：新高考后多次出现 | 量词互换+ 结论同时否定 |
充分必要 | 充分、必要、充要条件判断 | 高频：与函数、三角、向量结合 | 定义法或集合包含法 |
命题真假 | 全称命题举反例、存在命题找实例 | 高频：真假判断是逻辑题核心 | 全称举反例，存在找实例 |
表2 三大母题类型与标准动作（覆盖 95% 以上变式）
母题类型 | 标准动作 | 典型形式 |
复数化简运算型 | 化简→ 分母实数化／i 降幂 → 与共轭、模结合 | 标准形式、除法、模长 |
复数几何意义型 | 对应点坐标→ 判象限／轨迹 → 与模长结合 | 的圆 |
逻辑判断型 | 判命题真假→ 量词否定改写 → 充分必要、复合命题判定 | 全称存在命题、充要条件 |
※ 图表使用方法：拿到复数题先归类——它属于表 2 的哪一类母题、动用了图谱里哪几个模块；每做完一题回图谱打一个勾，全部模块打勾即全题型覆盖。
第二部分基础例题解析
一、典型例题分析（例1—例 10）
例 1 复数运算与实轴定位
设 a∈ℝ，若复数 (1+i)(a+i) 在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=______。
解析
(1+i)(a+i)=a−1+(a+1)i；复数对应的点在实轴上，则虚部等于 0，a+1=0，解得 a=−1。
答案：−1
例 2 复数相等与模
设 (1+i)x=1+yi，其中 x,y 是实数，则 x+yi=（ ）
A.1 B.2 C.3 D.2
解析
原式展开 x+xi=1+yi，根据复数相等条件，实部、虚部分别相等：x=1，y=1。x+yi=1+i=12+12=2。
答案：B
例 3 复数对应点的象限
已知 z=(m+3)+(m−1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是（ ）
A.(−3,1) B.(−1,3) C.(1,+∞) D.(−∞,−3)
解析
复数对应点在第四象限，满足 m+3>0 且 m−1<0，解得 −3<m<1。
答案：A
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